周如瑞，盧　迪，王本德，周惠成（.大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院，大連 6024；　2.中國(guó)電建集團(tuán)華東勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，杭州 322）

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基于貝葉斯定理與洪水預(yù)報(bào)誤差抬高水庫汛限水位的風(fēng)險(xiǎn)分析

周如瑞1，盧迪2※，王本德1，周惠成1
（1.大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院，大連 116024；2.中國(guó)電建集團(tuán)華東勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，杭州 311122）

摘要：水文氣象預(yù)報(bào)技術(shù)的發(fā)展為水庫防洪調(diào)度動(dòng)態(tài)控制汛限水位提供了可能。抬高水庫汛限水位可提高水庫興利效益，但有一定防洪風(fēng)險(xiǎn)。該文基于貝葉斯定理與洪水預(yù)報(bào)誤差特性，提出確定汛限水位動(dòng)態(tài)控制域上限的風(fēng)險(xiǎn)分析方法。以清河水庫為實(shí)例，當(dāng)汛限水位動(dòng)態(tài)控制域上限遭遇設(shè)計(jì)頻率洪水時(shí)，該文分析在不同洪水預(yù)報(bào)誤差范圍內(nèi)，調(diào)洪最高水位超過各設(shè)計(jì)頻率特征水位的概率，并應(yīng)用貝葉斯定理得出各設(shè)計(jì)頻率洪水發(fā)生時(shí)遭遇不同洪水預(yù)報(bào)誤差的風(fēng)險(xiǎn)。結(jié)果表明，清河水庫實(shí)施預(yù)報(bào)調(diào)度方式確定的汛限水位動(dòng)態(tài)控制域上限127.80 m是安全的。該文提出的風(fēng)險(xiǎn)分析方法彌補(bǔ)了目前預(yù)報(bào)調(diào)度方式風(fēng)險(xiǎn)分析中不能直接得知不同洪水預(yù)報(bào)誤差的風(fēng)險(xiǎn)的不足，充實(shí)了水庫調(diào)度風(fēng)險(xiǎn)分析的理論基礎(chǔ)，具有一定的理論意義和實(shí)用價(jià)值，可供同類型水庫參考應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：風(fēng)險(xiǎn)；水庫；洪水控制；汛限水位動(dòng)態(tài)控制域上限；貝葉斯定理；洪水預(yù)報(bào)誤差

周如瑞，盧迪，王本德，周惠成. 基于貝葉斯定理與洪水預(yù)報(bào)誤差抬高水庫汛限水位的風(fēng)險(xiǎn)分析[J]. 農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2016，32（3）：135－141.doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2016.03.019http://www.tcsae.org

Zhou Rurui, Lu Di, Wang Bende, Zhou Huicheng. Risk analysis of raising reservoir flood limited water level based on Bayes theorem and flood forecast error[J]. Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering (Transactions of the CSAE), 2016, 32(3): 135－141. (in Chinese with English abstract)doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2016.03.019 http://www.tcsae.org

0　引　言

隨著水庫洪水預(yù)報(bào)水平的提高，將洪水預(yù)報(bào)信息應(yīng)用于水庫防洪調(diào)度方式中已經(jīng)成為可能。利用洪水預(yù)報(bào)信息的水庫防洪預(yù)報(bào)調(diào)度方式，是選擇前期信息（如預(yù)報(bào)凈雨或峰前量信息，此信息獲取時(shí)間早于入庫洪峰信息，更早于調(diào)洪最高水位信息）作為判斷水庫遭遇洪水的量級(jí)和改變泄流量的指標(biāo)，采取提前均勻泄流，達(dá)到降低調(diào)洪最高水位的目的[1-3]?；诖藱C(jī)理，采用預(yù)報(bào)調(diào)度方式可實(shí)現(xiàn)在保持原設(shè)計(jì)最高水位不變的前提下抬高水庫汛限水位，達(dá)到增加水庫洪水資源利用率的效果。目前，抬高水庫汛限水位的方法已在全國(guó)尤其是北方地區(qū)調(diào)節(jié)性能較好的大型水庫得到廣泛應(yīng)用[4-5]，該方法能夠在滿足原設(shè)計(jì)防洪安全的前提下，增加水能或洪水資源利用量。

然而，基于目前人類對(duì)水文現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)和現(xiàn)有的預(yù)報(bào)水平，水文預(yù)報(bào)誤差是客觀存在不可避免的，通過抬高水庫汛限水位以提高水庫興利效益的防洪調(diào)度屬于風(fēng)險(xiǎn)調(diào)度，必須回答相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)問題。風(fēng)險(xiǎn)分析為預(yù)報(bào)調(diào)度決策提供風(fēng)險(xiǎn)量化參考值，因而關(guān)系著汛限水位動(dòng)態(tài)控制理論方法能否推廣應(yīng)用和發(fā)展。文獻(xiàn)[6]以三峽水庫為例，得出應(yīng)用汛限水位動(dòng)態(tài)控制方法可提高水資源利用率，提高發(fā)電量，并未增加防洪風(fēng)險(xiǎn)。文獻(xiàn)[7]對(duì)復(fù)雜防洪要求條件下的水庫進(jìn)行多目標(biāo)防洪風(fēng)險(xiǎn)分析，得出預(yù)報(bào)調(diào)度的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)小于常規(guī)調(diào)度。抬高汛限水位風(fēng)險(xiǎn)分析的關(guān)鍵問題是對(duì)顯著性風(fēng)險(xiǎn)源-徑流預(yù)報(bào)誤差的分析與處理[8-9]。一般假定徑流預(yù)報(bào)誤差服從正態(tài)或P-III分布，但也有很多學(xué)者提出質(zhì)疑，預(yù)報(bào)誤差至少應(yīng)有上限值[10]。由于極大熵原理可將常用的概率分布進(jìn)行統(tǒng)一的變分處理[11]，且極大熵模型計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際洪水預(yù)報(bào)誤差規(guī)律[12]，洪水預(yù)報(bào)誤差分布研究已由傳統(tǒng)經(jīng)驗(yàn)型的正態(tài)分布和P-III分布處理轉(zhuǎn)為基于極大熵的預(yù)報(bào)誤差分布研究[13]。文獻(xiàn)[14]在應(yīng)用極大熵原理對(duì)誤差分析的基礎(chǔ)上，得出洪水預(yù)報(bào)分布規(guī)律及預(yù)報(bào)誤差范圍，定量分析洪水預(yù)報(bào)信息用于水庫汛限水位實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)控制的風(fēng)險(xiǎn)。但該研究并未推斷出各設(shè)計(jì)頻率洪水發(fā)生時(shí)遭遇不同誤差的風(fēng)險(xiǎn)，而此風(fēng)險(xiǎn)能更加全面的反映抬高汛限水位對(duì)水庫防洪風(fēng)險(xiǎn)的影響，對(duì)于水庫抬高汛限水位有著至關(guān)重要的作用。

貝葉斯定理已廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，在水文中的應(yīng)用開始于1970s[15-16]，主要包括水文頻率分析、水文模型等方面[17-18]。應(yīng)用貝葉斯定理計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)，是考慮互斥完備事件的發(fā)生條件，并采用加權(quán)的組合概率進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分析，因而采用貝葉斯定理進(jìn)行的風(fēng)險(xiǎn)分析比常規(guī)不考慮后驗(yàn)概率的計(jì)算結(jié)果更切合實(shí)際。針對(duì)單一條件下預(yù)報(bào)調(diào)度風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算的問題，文獻(xiàn)[19]提出將貝葉斯定理應(yīng)用于降雨預(yù)報(bào)漏報(bào)風(fēng)險(xiǎn)分析，文獻(xiàn)[20]提出將貝葉斯定理應(yīng)用于風(fēng)險(xiǎn)分析，用后驗(yàn)概率描述汛限水位動(dòng)態(tài)控制風(fēng)險(xiǎn)，證明了其合理性。

綜上，本文利用極大熵原理確定洪水預(yù)報(bào)誤差分布和范圍的優(yōu)勢(shì)，吸取貝葉斯定理的思想，針對(duì)文獻(xiàn)[14]存在的問題，在分析以凈雨為判別指標(biāo)的防洪預(yù)報(bào)調(diào)度主要風(fēng)險(xiǎn)源-產(chǎn)流預(yù)報(bào)誤差分布規(guī)律的基礎(chǔ)上，首先采用極大熵原理方法計(jì)算洪水預(yù)報(bào)誤差范圍，進(jìn)而提出基于貝葉斯定理與預(yù)報(bào)誤差特性，確定汛限水位動(dòng)態(tài)控制域上限的風(fēng)險(xiǎn)分析方法。分析在不同洪水的凈雨預(yù)報(bào)誤差范圍內(nèi)，調(diào)洪最高水位超過各設(shè)計(jì)頻率特征水位的概率，以及各設(shè)計(jì)頻率洪水發(fā)生時(shí)遭遇不同凈雨預(yù)報(bào)誤差的風(fēng)險(xiǎn)，以期取得更有實(shí)用價(jià)值的成果。

1　研究方法

1.1貝葉斯定理概述

貝葉斯定理是在部分未知的不確定性信息下，先對(duì)目前的狀態(tài)用主觀概率估計(jì)，然后利用新信息發(fā)生概率進(jìn)行修正，最后利用期望值和更為客觀的修正概率決策的方法，描述了2個(gè)條件概率之間的關(guān)系[20]。假設(shè)樣本空間I由互斥事件Ai(i=1,2,…,n)組成，存在另一事件B，且事件B的發(fā)生以Ai中任一事件的發(fā)生為條件。貝葉斯定理描述了B發(fā)生時(shí)Ai發(fā)生的概率與Ai發(fā)生時(shí)B發(fā)生的概率二者的聯(lián)系[21]，即

式中p(Ai)為事件Ai發(fā)生的先驗(yàn)概率，一般情況下可根據(jù)事件主體的經(jīng)驗(yàn)判斷確定，如歷史大量樣本統(tǒng)計(jì)、極大熵技術(shù)或邊際分布密度以及相互信息原理等方法來確定；p(B|Ai)為條件概率，即事件Ai發(fā)生條件下B發(fā)生的概率；p(B)?p(B|Ai)為事件B和互斥事件Ai同時(shí)發(fā)生的概率；p(B)表示全概率，由計(jì)算；p(Ai|B)表示后驗(yàn)概率。

綜上，在p(B|Ai)和p(Ai)已知時(shí)，利用公式（1）可計(jì)算出其后驗(yàn)概率p(Ai|B)，這是貝葉斯定理的核心思想。

1.2貝葉斯定理構(gòu)建考慮洪水預(yù)報(bào)誤差的風(fēng)險(xiǎn)分析方法

1.2.1洪水預(yù)報(bào)誤差分布描述

預(yù)報(bào)誤差是不可避免的，其分布特性對(duì)水庫及上下游的防洪安全有重要影響。必須先得出凈雨預(yù)報(bào)誤差的范圍并分級(jí)，求出不同量級(jí)內(nèi)誤差的先驗(yàn)概率，再進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算。

首先通過水文模型確定合理的洪水預(yù)報(bào)方案，得到m場(chǎng)洪水的凈雨預(yù)報(bào)絕對(duì)誤差分布，根據(jù)實(shí)際需要將誤差范圍A分級(jí)為n個(gè)區(qū)間。不同量級(jí)的誤差范圍可分別視為一互斥事件Ai(i=1,2,…,n)，Ai構(gòu)成完備樣本空間I，即。統(tǒng)計(jì)不同量級(jí)內(nèi)預(yù)報(bào)誤差發(fā)生的次數(shù)mi，假定頻率替代概率，可求出互斥事件Ai的先驗(yàn)概率p(Ai)：

由于場(chǎng)次洪水資料有限，無法通過概率理論直接推導(dǎo)出誤差變量的先驗(yàn)分布。而極大熵原理在滿足已知信息約束下，以熵最大為準(zhǔn)則求得洪水預(yù)報(bào)誤差的概率密度函數(shù)，所獲得的結(jié)果是最合乎自然、偏差最小的。本文推薦極大熵原理模擬所有凈雨預(yù)報(bào)誤差的概率密度函數(shù)，得出各量級(jí)凈雨預(yù)報(bào)誤差的概率。應(yīng)用洪水總量預(yù)報(bào)誤差的概率密度函數(shù)解析形式如式（3）所示，其極大熵模型及推導(dǎo)過程具體參考文獻(xiàn)[11,13]。

式中x為洪水預(yù)報(bào)誤差，f(x)為概率密度值；λj(j=1,2,…,k)表示拉格朗日乘子，求解方法見文獻(xiàn)[11]。

預(yù)報(bào)誤差范圍的確定步驟如下[22]：首先計(jì)算出凈雨預(yù)報(bào)誤差的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差σx，確定初始基準(zhǔn)區(qū)間D ∈[-5σx，+5σx]。以基準(zhǔn)區(qū)間的0.1倍作為初始積分區(qū)間[x1,x2]，其中x1和x2代表誤差值，即[x1,x2]= [0.1(-5σx)，0.1(+5σx)]，繪制積分區(qū)間[x1,x2]和基準(zhǔn)區(qū)間[-5σx，+5σx]的誤差分布曲線，比較這2個(gè)誤差分布曲線上相同橫坐標(biāo)的縱坐標(biāo)，若其差值的絕對(duì)值≤0.05%，則確定誤差域?yàn)榉e分區(qū)間[x1,x2]上下限各乘1.2；若其差值的絕對(duì)值＞0.05%，則將積分區(qū)間[x1,x2]擴(kuò)大1個(gè)基準(zhǔn)區(qū)間重新判斷，直到滿足條件結(jié)束，最終取其為預(yù)報(bào)誤差范圍A。

1.2.2防洪風(fēng)險(xiǎn)分析

對(duì)于多年調(diào)節(jié)大型水庫，因設(shè)計(jì)洪水以量控制為主，決策者在防洪調(diào)度中十分關(guān)心凈雨量預(yù)報(bào)精度。本文構(gòu)建基于貝葉斯定理的洪水凈雨預(yù)報(bào)誤差的風(fēng)險(xiǎn)分析方法，具體如下：

1）計(jì)算考慮不同量級(jí)預(yù)報(bào)誤差的防洪風(fēng)險(xiǎn)，即條件概率p(Ai|B)和全概率p(B)。假定在水庫防洪調(diào)度時(shí)發(fā)生各頻率設(shè)計(jì)洪水的特征水位為事件B，則事件B的發(fā)生以預(yù)報(bào)調(diào)度方式調(diào)節(jié)相應(yīng)頻率凈雨及Ai之一的發(fā)生為前提?？赏ㄟ^計(jì)算不同預(yù)報(bào)誤差量級(jí)下，各頻率設(shè)計(jì)洪水特征水位所能抵御洪水的頻率，得出條件概率p(B|Ai)和全概率p(B)。不同凈雨預(yù)報(bào)誤差量級(jí)下水庫水位超過特征水位的概率，可通過預(yù)報(bào)調(diào)度方式調(diào)節(jié)相應(yīng)設(shè)計(jì)頻率凈雨和某一固定誤差ei對(duì)應(yīng)的洪水過程得到最高水位與頻率關(guān)系曲線，再對(duì)曲線采用內(nèi)插或者外延的方法求出。誤差發(fā)生在某一區(qū)間Ai時(shí)，水庫水位大于各頻率設(shè)計(jì)洪水調(diào)洪最高水位Zs的概率， 采用文獻(xiàn)[23]中提出的區(qū)間2個(gè)邊界點(diǎn)對(duì)應(yīng)的概率算術(shù)平均值計(jì)算：

2）各設(shè)計(jì)頻率洪水發(fā)生時(shí)遭遇不同凈雨預(yù)報(bào)誤差的風(fēng)險(xiǎn)，即計(jì)算后驗(yàn)概率p(Ai|B)。由式（1）可得到各設(shè)計(jì)頻率洪水發(fā)生時(shí)遭遇不同凈雨預(yù)報(bào)誤差的風(fēng)險(xiǎn)p(Ai|B)，即各特征水位發(fā)生時(shí)各量級(jí)預(yù)報(bào)誤差的風(fēng)險(xiǎn)率：

p(B|Ai)給出不同預(yù)報(bào)誤差量級(jí)下各頻率設(shè)計(jì)洪水特征水位所能抵御洪水的頻率，p(Ai|B)表明各頻率設(shè)計(jì)洪水發(fā)生于某一量級(jí)預(yù)報(bào)誤差的概率決策者便可根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)大小決策相應(yīng)的汛限水位動(dòng)態(tài)控制上限值。

2　實(shí)例分析

2.1工程背景

清河水庫位于遼寧省鐵嶺市清河區(qū)境內(nèi)，遼河支流清河下游，地處123°52'～125°10'E、42°18'～43°02'N。水庫于1958年5月開始興建，1966年9月26日溢洪道落成，水庫工程全部竣工投入使用。清河水庫在遼河流域的防洪控制工程中具有極其重要的作用，水庫控制流域面積2 376 km2，多年平均徑流量5.08億m3。原設(shè)計(jì)時(shí)，防洪標(biāo)準(zhǔn)按1 000 a一遇洪水設(shè)計(jì)，10 000 a一遇洪水校核。2010年除險(xiǎn)加固后清河水庫的校核防洪標(biāo)準(zhǔn)確定為10 000 a一遇，設(shè)計(jì)防洪標(biāo)準(zhǔn)為500 a一遇。水庫正常蓄水位131.00 m，興利庫容6.30×108m3，設(shè)計(jì)洪水位135.10 m，校核洪水位138.06 m，總庫容9.68×108m3，汛限水位127.00 m，死水位109.70 m。清河水庫下游防洪任務(wù)為遼河干流20 a一遇防洪錯(cuò)峰任務(wù)、鐵嶺市清河區(qū)50 a一遇安全泄量＜5 500 m3/s，鐵嶺控制斷面100 a一遇洪水組合流量小于鐵嶺堤防安全泄量6 779 m3/s要求。流域圖如圖1所示。

圖1　清河水庫流域圖Fig.1　Basin map of Qinghe reservoir

清河水庫以上流域多年平均降雨量約為790 mm，汛期6－9月為降雨集中期，占全年降雨量的73%左右。常發(fā)生汛期棄水，而汛后無水可蓄的情況。根據(jù)清河水庫的實(shí)際運(yùn)行情況可知，目前清河水庫流域水雨情自動(dòng)測(cè)報(bào)系統(tǒng)可靠；流域洪水預(yù)報(bào)精度較高，為甲級(jí)水平；洪水預(yù)報(bào)調(diào)度系統(tǒng)完善，水庫閘門泄洪洞啟閉靈活。該水庫設(shè)計(jì)洪水是以量控制，降雨后可迅速做出入庫凈雨量預(yù)報(bào)結(jié)果，并模擬出水庫調(diào)度過程?？梢?，清河水庫研究水庫預(yù)報(bào)調(diào)度方式抬高汛限水位，增加洪水資源利用是可能的。

文章采用資料為清河水庫管理局提供的1964－2013 年21場(chǎng)洪水的實(shí)測(cè)凈雨和預(yù)報(bào)凈雨，包括各量級(jí)洪水，具有一定代表性。

2.2清河水庫風(fēng)險(xiǎn)分析方法

洪水預(yù)報(bào)誤差的分布規(guī)律依據(jù)1.2.1節(jié)中的極大熵原理，建立清河水庫產(chǎn)流預(yù)報(bào)誤差的極大熵模型。本文在計(jì)算誤差概率分布時(shí)，采用樣本的前3階原點(diǎn)矩建立約束條件即可滿足精度要求。為求得全局最優(yōu)解，采用試算法確定Lagrange乘子λ1、λ2、λ3的初始范圍為[?0.1，0]，λ0為[?10,10]，采用選擇概率0.7、交叉概率0.7、變異概率0.2的遺傳算法優(yōu)化得到相應(yīng)的Lagrange乘子，確定洪水預(yù)報(bào)誤差的概率密度函數(shù)。然后按照1.2.1節(jié)確定產(chǎn)流預(yù)報(bào)誤差范圍，用積分的方法求區(qū)間對(duì)應(yīng)的概率求出相應(yīng)的先驗(yàn)概率。

對(duì)遭遇凈雨預(yù)報(bào)誤差A(yù)i時(shí)，調(diào)洪最高水位Zsi超過各特征水位Zs的風(fēng)險(xiǎn)P(Z＞Zs|A=Ai) 可通過水位與頻率關(guān)系曲線Zs～Ps內(nèi)插或外延求出，然后利用式（5）可求出各頻率設(shè)計(jì)洪水遭遇不同預(yù)報(bào)誤差的風(fēng)險(xiǎn)。

2.3結(jié)果與分析

2.3.1基于極大熵原理的洪水預(yù)報(bào)誤差特性分析

1）產(chǎn)流預(yù)報(bào)誤差概率密度函數(shù)

根據(jù)清河水庫21場(chǎng)洪水的實(shí)測(cè)凈雨和預(yù)報(bào)凈雨計(jì)算出凈雨預(yù)報(bào)誤差的均值x為-0.14，標(biāo)準(zhǔn)差σx為9.38。求得λ0、λ1、λ2、λ3分別為?3.1571、3.7558×10-3、?5.6811×10-3、?2.1345×10-5。將參數(shù)λ0、λ1、λ2、λ3代入式（3）可得清河水庫流域產(chǎn)流預(yù)報(bào)誤差的概率密度函數(shù)的解析表達(dá)式為

2）確定產(chǎn)流預(yù)報(bào)誤差范圍

根據(jù)2.1預(yù)報(bào)誤差范圍確定步驟，由清河水庫凈雨預(yù)報(bào)誤差均值為?0.14和標(biāo)準(zhǔn)差σx為9.38，得出D∈[47.04,46.77]，取整數(shù)初始積分區(qū)間為[?5,5]，最終確定清河水庫產(chǎn)流預(yù)報(bào)誤差范圍A為（mm）

A∈[-25,25]×1.2=[-30,30] 。

其中1984年8月13日的降雨量級(jí)為174.6 mm，實(shí)際徑流深136.1 mm，相當(dāng)于全流域10 a一遇標(biāo)準(zhǔn)洪水，預(yù)報(bào)絕對(duì)誤差僅為1.5 mm。1995年7月25日的降雨量為359.8 mm，實(shí)際徑流深303 mm，相當(dāng)于全流域100 a一遇設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)洪水，預(yù)報(bào)偏小誤差為9.2 mm；根據(jù)清河水庫的下墊面條件和洪水特征可知隨著降雨量級(jí)的增大，產(chǎn)流系數(shù)呈增加趨勢(shì)，產(chǎn)流預(yù)報(bào)誤差減小。由此可見，預(yù)報(bào)誤差極限值取30 mm滿足設(shè)計(jì)量級(jí)洪水的產(chǎn)流預(yù)報(bào)誤差要求。

3）產(chǎn)流預(yù)報(bào)誤差概率

根據(jù)實(shí)際需要將產(chǎn)流預(yù)報(bào)誤差范圍[-30,30]劃分為6個(gè)小區(qū)間，并利用式（6）積分得各個(gè)區(qū)間內(nèi)產(chǎn)流預(yù)報(bào)誤差分布的概率P(Z>Zs|A=Ai)，即為洪水預(yù)報(bào)誤差分布的先驗(yàn)概率，如表1所示。

表1　先驗(yàn)概率-產(chǎn)流預(yù)報(bào)誤差區(qū)間劃分及其相應(yīng)的概率Table 1　Prior probability-divisions of net rain forecast error interval and its corresponding probability

2.3.2基于貝葉斯定理的汛限水位上限風(fēng)險(xiǎn)分析

目前清河水庫利用防洪預(yù)報(bào)調(diào)度方式及規(guī)則，根據(jù)文獻(xiàn)[2]的方法確定清河水庫的汛限水位動(dòng)態(tài)控制范圍為127.00～127.80 m，但上限127.80 m起調(diào)會(huì)有多大風(fēng)險(xiǎn)沒有研究。應(yīng)用3.3.1分析結(jié)果，具體計(jì)算步驟及相應(yīng)結(jié)果如下：

1）繪制水位與頻率關(guān)系曲線。以127.80 m為起調(diào)水位，對(duì)遭遇凈雨預(yù)報(bào)誤差A(yù)i時(shí)的各設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的洪水進(jìn)行調(diào)洪演算，得出調(diào)洪最高水位Zsi與設(shè)計(jì)洪水頻率Ps的關(guān)系曲線。例如當(dāng)各設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)洪水均發(fā)生凈雨預(yù)報(bào)偏小20 mm的誤差時(shí)，采用防洪預(yù)報(bào)調(diào)度規(guī)則由127.80 m起調(diào)，得出各設(shè)計(jì)頻率洪水調(diào)洪最高水位與頻率關(guān)系曲線如圖2。

圖2　洪水預(yù)報(bào)誤差偏小20 mm時(shí)的調(diào)洪最高水位與頻率關(guān)系曲線Fig.2　Curve of highest flood water level and frequency when flood forecast error is 20 mm lower than design net rain

2）產(chǎn)生預(yù)報(bào)誤差時(shí)各特征水位發(fā)生的概率，即條件概率。根據(jù)圖2求出清河水庫洪水預(yù)報(bào)誤差偏小20 mm時(shí)，各調(diào)洪最高水位發(fā)生的概率和調(diào)洪最高水位超過各特征水位的風(fēng)險(xiǎn)。同理可計(jì)算遭遇其他預(yù)報(bào)誤差時(shí), 水庫水位大于各特征水位的概率，如表2所示。對(duì)誤差發(fā)生在某一區(qū)間Ai時(shí)，調(diào)洪最高水位大于各頻率設(shè)計(jì)洪水調(diào)洪最高水位Zs的概率，采用式（4）計(jì)算，得到清河水庫各量級(jí)洪水預(yù)報(bào)發(fā)生時(shí)可能發(fā)生水庫水位超過特征水位的風(fēng)險(xiǎn)如表3所示。

3）求各頻率設(shè)計(jì)洪水遭遇不同預(yù)報(bào)誤差的風(fēng)險(xiǎn)，即后驗(yàn)概率。將表1誤差先驗(yàn)概率和表3超水位風(fēng)險(xiǎn)代入式（5）即可算出后驗(yàn)概率-事件B發(fā)生條件下各量級(jí)洪水預(yù)報(bào)誤差的風(fēng)險(xiǎn)，如表3所示?；诖私Y(jié)果，決策者很容易知道發(fā)生設(shè)計(jì)頻率洪水時(shí)遭遇哪一量級(jí)預(yù)報(bào)誤差的風(fēng)險(xiǎn)最大，發(fā)生于哪一量級(jí)預(yù)報(bào)誤差風(fēng)險(xiǎn)最小，可根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)大小決策相應(yīng)的汛限水位動(dòng)態(tài)控制域上限值。

表2　產(chǎn)生預(yù)報(bào)誤差時(shí)各特征水位發(fā)生的概率Table 2　Possibilities of flood occurrence while highest water levels are lower than designed levels

表3　各量級(jí)洪水預(yù)報(bào)發(fā)生時(shí)的超水位風(fēng)險(xiǎn)和各量級(jí)洪水預(yù)報(bào)誤差風(fēng)險(xiǎn)Table 3　Risks of highest water levels higher than corresponding designed levels within different flood forecast error bounds and risks of design flood frequency in different prediction error

2.3.3預(yù)報(bào)調(diào)度方式風(fēng)險(xiǎn)與原設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)比較

通過分析風(fēng)險(xiǎn)率計(jì)算結(jié)果、本文風(fēng)險(xiǎn)分析方法與常用風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算的比較結(jié)果，可得出預(yù)報(bào)調(diào)度方式確定的汛限水位是否安全、可行。根據(jù)式（5）、表1、表3和表4的成果，計(jì)算遭遇不同預(yù)報(bào)誤差，清河水庫采用防洪預(yù)報(bào)調(diào)度方式將汛限水位控制在127.80 m時(shí)，各設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)特征水位的風(fēng)險(xiǎn)率結(jié)果見表4，原設(shè)計(jì)特征水位的設(shè)計(jì)頻率列于第2列。

表4　考慮洪水預(yù)報(bào)各特征水位的風(fēng)險(xiǎn)率Table 4　Risks of each design level considering flood forecast information

由表4可知，考慮洪水預(yù)報(bào)各特征水位的風(fēng)險(xiǎn)率均低于原設(shè)計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)率，如對(duì)于校核洪水位138.06 m,利用防洪預(yù)報(bào)調(diào)度方式抬高汛限水位為127.80 m的風(fēng)險(xiǎn)率為0.00077%，小于原設(shè)計(jì)的風(fēng)險(xiǎn)率0.01%. 說明采用洪水預(yù)報(bào)結(jié)果為判別指標(biāo)抬高水庫汛限水位后的防洪風(fēng)險(xiǎn)反而比原常規(guī)調(diào)度的風(fēng)險(xiǎn)要小，充分驗(yàn)證了清河水庫實(shí)施預(yù)報(bào)調(diào)度方式確定的汛限水位是安全可行的。

2.3.4貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)與單一條件風(fēng)險(xiǎn)結(jié)果比較

單一條件風(fēng)險(xiǎn)是現(xiàn)行常用的一種風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算方法，依據(jù)P(X＞Ai)×P(Bi)計(jì)算概率描述風(fēng)險(xiǎn)，本文方法是依據(jù)貝葉斯推斷的后驗(yàn)概率替代風(fēng)險(xiǎn)，表5列出2種方法概率計(jì)算比較，作為其安全性的評(píng)價(jià)依據(jù)。

從表5可以看出，單一條件風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算結(jié)果小于貝葉斯計(jì)算的后驗(yàn)概率，且各互斥事件概率之和不等于1。這是因?yàn)閱我粭l件風(fēng)險(xiǎn)沒有考慮時(shí)間的完備性，是風(fēng)險(xiǎn)不完備條件下的計(jì)算結(jié)果；另外，P(X＞Ai)是洪水預(yù)報(bào)誤差的分布概率，P(Bi)是年最大法推求的設(shè)計(jì)洪水的頻率，二者相乘的合理性缺乏論證。而貝葉斯公式計(jì)算的后驗(yàn)概率，是考慮互斥完備事件的發(fā)生條件，并加權(quán)的組合概率，比常規(guī)不考慮后驗(yàn)概率的計(jì)算結(jié)果更合理，有規(guī)律且互斥事件概率之和歸一，可為決策者提供安全的信息。

3　結(jié)論與討論

本文在總結(jié)已有的防洪調(diào)度風(fēng)險(xiǎn)分析方法的基礎(chǔ)上，提出基于貝葉斯定理與預(yù)報(bào)誤差特性，確定汛限水位動(dòng)態(tài)控制域上限的風(fēng)險(xiǎn)分析方法。通過比較分析，文中單一條件風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算結(jié)果小于防洪預(yù)報(bào)調(diào)度的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)，而采用貝葉斯定理計(jì)算的后驗(yàn)概率是考慮洪水預(yù)報(bào)誤差和調(diào)度風(fēng)險(xiǎn)相關(guān)性的防洪預(yù)報(bào)調(diào)度風(fēng)險(xiǎn)分析方法，經(jīng)過在清河水庫的驗(yàn)證，是合理可行的。

本文提出基于貝葉斯定理與洪水預(yù)報(bào)誤差特性，確定汛限水位動(dòng)態(tài)控制域上限的風(fēng)險(xiǎn)分析方法，可推斷出各預(yù)報(bào)設(shè)計(jì)頻率洪水發(fā)生時(shí)遭遇不同預(yù)報(bào)誤差的風(fēng)險(xiǎn)。應(yīng)用此方法證明清河水庫實(shí)施預(yù)報(bào)調(diào)度方式確定的汛限水位動(dòng)態(tài)控制域上限127.80 m是安全的。

本文研究方法具有理論意義和實(shí)用價(jià)值，可為同類大型水庫確定汛限水位動(dòng)態(tài)控制域上限的風(fēng)險(xiǎn)分析提供參考。文章已研究確定單個(gè)水庫汛限水位動(dòng)態(tài)控制域上限的風(fēng)險(xiǎn)分析方法，為汛限水位動(dòng)態(tài)控制理論的發(fā)展提供理論支持。下一步的研究可從確定可利用的預(yù)報(bào)信息預(yù)見期、復(fù)雜庫群預(yù)報(bào)調(diào)度風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算、實(shí)用的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系3個(gè)關(guān)鍵問題展開：

1）當(dāng)降雨預(yù)報(bào)或洪水預(yù)報(bào)預(yù)見期延長(zhǎng)，可結(jié)合本文抬高汛限水位的風(fēng)險(xiǎn)方法，分析不同預(yù)報(bào)預(yù)見期、不同預(yù)報(bào)誤差范圍下抬高汛限水位的風(fēng)險(xiǎn)，從而確定預(yù)報(bào)信息的可利用預(yù)見期。

2）當(dāng)并聯(lián)或串聯(lián)水庫群抬高汛限水位時(shí)，預(yù)報(bào)調(diào)度風(fēng)險(xiǎn)源不唯一，包括各水庫入流的預(yù)報(bào)誤差，區(qū)間入流預(yù)報(bào)誤差。在建立誤差聯(lián)合概率分布后，貝葉斯計(jì)算條件更復(fù)雜，風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算值需深入研究。

3）一般風(fēng)險(xiǎn)分析方法都是只考慮單一因素或者幾個(gè)因素，缺乏對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)體系構(gòu)建的科學(xué)合理性分析，造成風(fēng)險(xiǎn)分析的結(jié)論缺乏客觀實(shí)用性。今后應(yīng)建立基于貝葉斯定理的，適應(yīng)水庫汛限水位動(dòng)態(tài)控制的完整風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)體系。

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·農(nóng)業(yè)信息與電氣技術(shù)·

Risk analysis of raising reservoir flood limited water level based on Bayes theorem and flood forecast error

Zhou Rurui1, Lu Di2※, Wang Bende1, Zhou Huicheng1
(1. School of Hydraulic Engineering , Dalian University of Technology, DaLian 116024,China;
2. PowerChina Huadong Engineering Corporation Limited, Hangzhou 311122, China)

Abstract:The development of hydrometeorological forecast technology offers important opportunities for reservoir dynamic control of flood limited water level. Economic benefits can be improved by raising the flood limited water level, but there is certain flood control risk. The purpose of this study was to propose a risk analysis method of upper bound of dynamic control of flood limited water level in order to provide the support for the development of dynamic control of flood limited water level. The proposed risk analysis method was based on Bayes theorem and flood forecast error characteristics. Qinghe reservoir, located in the northeast of China, was taken as an example. 21 flood events of actual and forecast runoff from the year 1964 to 2013 were used. For large reservoirs that has the ability for multi-year regulation, decision makers of flood control operation concern a lot about runoff forecast accuracy because the design flood is controlled by the flood volume. First, maximum entropy method was selected to simulate the runoff prediction error probability density function of 21 flood events, also forecast error range was calculated. According to the actual need of runoff forecast error in Qinghe reservoir, the range was divided into 6 zones, and distribution probabilities of runoff forecast errors in each zone, namely the prior probability distributions of flood forecasting errors were obtained by integrating the density function. Then, the probabilities of the highest water levels being higher than corresponding designed levels within different flood forecast error bounds were studied, and the risks of different flood forecast errors were inferred by Bayes theorem when the highest water level in flood regulation met with the design flood frequency. Based on the risk analysis method, risks of each design water level considering flood forecast information were compared with risks of conventional mode. The proposed risk analysis method of upper bound of dynamic control of flood limited water level was compared with the conventional mode risk calculation results, which could be concluded that upper bound of dynamic control of flood limited water level considering forecast errors was safe and feasible. The risk method of single condition calculation was compared with Bayesian risk, which could be concluded that the proposed method was reasonable. The results showed that for the design flood level of 138.06 m, the risk rate of raising the flood limited water level as 127.80 m for flood forecast operation was 0.00077%, smaller than the original design risk rate (0.01%). It demonstrated that the risk of taking flood forecast results as discriminant index to raise the reservoir flood control level was smaller than the original routine operation risk. It was also fully proved that the Qinghe reservoir forecast operation mode used to determine the water level of reservoir flood control was safe and feasible. The upper bound of dynamic control of flood limited water level 127.80 m according to forecast operation mode in Qinghe reservoir is safe. The calculation results of single condition risk were smaller than the Bayesian posterior probability calculation, and the sum probability of mutually exclusive events was not equal to 1. Because the single condition of the completeness of time was irrespective, and the risk was calculated under the condition of incomplete calculation results. In addition, the distribution probability of flood forecast error multiplying the design flood frequency was lack of rationality. Using Bayesian formula to calculate the posterior probability had not only considered the conditions of mutually and complete event occurrence, but also combined the weighted probability, which was more reasonable than conventional irrespective of the posteriori probability calculation results. Above all, the proposed risk analysis method has certain theoretical meaning and practical value, and it can be used as the reference of the same type reservoir.

Keywords:risks; reservoirs; flood control; upper bound of dynamic control of flood limited water level；Bayes theorem；flood forecast error

作者簡(jiǎn)介：周如瑞，女，河南南陽，博士生，主要從事水文水資源方向的研究。大連大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院，116024。Email：zhoururui@126.com※通信作者：盧迪，男，吉林省永吉縣，工程師，博士，主要從事水文水資源方向的研究。杭州中國(guó)電建集團(tuán)華東勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院有限公司，311122。Email：ludi_dlut@aliyun.com

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51279021）

收稿日期：2015-09-07

修訂日期：2015-12-10

中圖分類號(hào)：P731.34

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1002-6819(2016)-03-0135-07

doi：10.11975/j.issn.1002-6819.2016.03.019