江蘇 秋 飏

巧用v-t圖象速解“變速類”問題

江蘇 秋 飏

巧借圖象搭橋，優(yōu)化解題過程。

在近幾年各地高考中，出現(xiàn)了一類變速問題。過程變化復(fù)雜，利用解析法分析比較麻煩，而且題型為選擇題，需要大家在短時(shí)間內(nèi)作答，所以要另辟途徑巧用圖象。為此本文就此類問題歸類講解，希望讀者掌握方法并靈活運(yùn)用。

一、巧用v-t圖象比較物體運(yùn)動的時(shí)間

【例1】如圖1所示，甲、乙兩物體分別從A、C兩地由靜止出發(fā)做加速運(yùn)動，B為AC中點(diǎn)，兩物體在AB段的加速度大小均為a1，在BC段的加速度大小均為a2，且a1＜a2。若甲由A到C所用時(shí)間為t甲，乙由C到A所用時(shí)間為t乙，則t甲與t乙的大小關(guān)系為 （ ）

A.t甲＝t乙

B.t甲＞t乙

C.t甲＜t乙

D.無法確定

【解析】由本題所給條件，可巧用圖象法求解。畫出甲、乙運(yùn)動的v-t圖象，如圖2所示，可得t甲＞t乙，B項(xiàng)正確。

【答案】B

【例2】（2014·上海高考）如圖3所示，豎直平面內(nèi)的軌道Ⅰ和Ⅱ都由兩段細(xì)直桿連接而成，兩軌道長度相等。用相同的水平恒力將穿在軌道最低點(diǎn)B的靜止小球，分別沿Ⅰ和Ⅱ推至最高點(diǎn)A，所需時(shí)間分別為t1、t2；動能增量分別為ΔEk1、ΔEk2，假定球在經(jīng)過軌道轉(zhuǎn)折點(diǎn)前后速度大小不變，且球與Ⅰ、Ⅱ軌道間的動摩擦因數(shù)相等，則 （ ）

A.ΔEk1＞ΔEk2，t1＞t2

B.ΔEk1＝ΔEk2，t1＞t2

C.ΔEk1＞ΔEk2，t1＜t2

D.ΔEk1＝ΔEk2，t1＜t2

【解析】小球從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)受到摩擦力做功Wf＝μmgcosαL＝μmgx水平，與斜面傾角無關(guān)；水平拉力為恒力，水平位移相同，所以拉力做功相等，根據(jù)動能定理可知，兩球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度相同，動能相等，A、C項(xiàng)錯誤；將小球的運(yùn)動看作直線運(yùn)動，畫出其速率隨時(shí)間變化的圖象，如圖4所示，可知，沿Ⅱ軌道運(yùn)動的小球先到達(dá)，B項(xiàng)正確。

【答案】B

【例3】（2013·廣東高考）如圖5所示，游樂場中，從高處A到水面B處有兩條長度相同的光滑軌道，甲、乙兩小孩沿不同軌道同時(shí)從A處自由滑向B處，下列說法正確的有（ ）

A.甲的切向加速度始終比乙的大

B.甲、乙在同一高度的速度大小相等

C.甲、乙在同一時(shí)刻總能到達(dá)同一高度

D.甲比乙先到達(dá)B處

【解析】在曲線上任取一點(diǎn)，作切線，設(shè)切線與水平方向成的銳角為θ，則切向力為mgsinθ＝mat，可以看出甲的切向加速度一直減小，乙的切向加速度一直增大，在B點(diǎn)，就有甲的切向加速度小于乙，當(dāng)然這樣的地方還有很多，A項(xiàng)錯誤；當(dāng)甲、乙下降相同的高度h時(shí)，由動能定理得，即，B項(xiàng)正確。畫切向速度圖象如下：

經(jīng)分析甲、乙開始一段時(shí)間，切向加速度甲比乙大，切向速度存在上面3種可能，假設(shè)圖6（b）成立，從0到末時(shí)刻有s甲＞s乙，末時(shí)刻速度大小相同，表示甲、乙下降同一高度，然后用水平線去截甲、乙軌跡，如圖6（d）所示，則有s甲＜s乙，與上面結(jié)論相矛盾，故假設(shè)不成立，同理圖6（c）也不成立，只有圖6（a）成立，即C項(xiàng)錯誤，D項(xiàng)正確。

【答案】BD

【點(diǎn)悟】（1）上述三例看到，不管物體是做直線運(yùn)動還是曲線運(yùn)動，過程皆為變速態(tài)，首選圖象法解答快捷方便。

（2）物體在平直的粗糙面上運(yùn)動，摩擦力做功為μmgx水平（如【例2】所示），在曲面上運(yùn)動時(shí)，因?yàn)橛谐е噩F(xiàn)象發(fā)生，所以不能用此結(jié)論計(jì)算摩擦力做功多少，只能利用轉(zhuǎn)換的思想如動能定理解決。

（3）在利用速度圖象解決問題時(shí)一定要領(lǐng)悟圖象的含義。圖線的斜率表示加速度，圖線下方的面積表示位移或路程。

二、巧用v-t圖象比較彈簧參與的過程

【例4】如圖7所示，兩質(zhì)量相等的物塊A、B通過一輕質(zhì)彈簧連接，B足夠長，放置在水平面上，所有接觸面均光滑。彈簧開始時(shí)處于原長，運(yùn)動過程中始終處在彈性限度內(nèi)。在物塊A上施加一個水平恒力，A、B從靜止開始運(yùn)動到第一次速度相等的過程中，下列說法中正確的有 （ ）

A.當(dāng)A、B加速度相等時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能最大

B.當(dāng)A、B加速度相等時(shí)，A、B的速度差最大

C.當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，A的速度達(dá)到最大

D.當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，彈簧的彈性勢能最大

【答案】BCD

【點(diǎn)評】從圖象中不僅能比較加速度相等時(shí)速度的大小，也可以比較速度相等時(shí)加速度的大小。

三、巧用v-t圖象比較摩擦漸變的過程

【例5】如圖9所示，平直木板AB傾斜放置，板上的P點(diǎn)距A端較近，小物塊與木板間的動摩擦因數(shù)由A到B逐漸減小。先讓物塊從A由靜止開始滑到B。然后，將A著地，抬高B，使木板的傾角與前一過程相同，再讓物塊從B由靜止開始滑到A。上述兩過程相比較，下列說法中一定正確的有 （ ）

A.物塊經(jīng)過P點(diǎn)的動能前一過程較小

B.物塊從頂端滑到P點(diǎn)的過程中因摩擦產(chǎn)生的熱量，前一過程較少

C.物塊滑到底端的速度，前一過程較大

D.物塊從頂端滑到底端的時(shí)間，前一過程較長

【解析】兩個過程中小物塊到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，設(shè)前一過程中合力做功為mgl1（sinα-μ1cosα），后一過程中合力做功為mgl2（sinα-μ2cosα），因l1＜l2，前一過程中任一位置的動摩擦因數(shù)μ1大于后一過程中任一位置的動摩擦因數(shù)μ2，所以mgl1（sinα-μ1cosα）＜mgl2（sinα-μ2cosα），因此根據(jù)動能定理知物塊經(jīng)過P點(diǎn)的動能前一過程較小，A項(xiàng)正確；因兩個過程中摩擦力做的功一樣大，所以產(chǎn)生的熱量也一樣大，B項(xiàng)錯誤；又因?yàn)閮蓚€過程中合力做的功一樣大，所以物塊滑到底端的速度一樣大，C項(xiàng)錯誤；前一過程物塊做加速度增大的加速運(yùn)動（圖線1），后一過程物塊做加速度減小的加速運(yùn)動（圖線2），而物塊到底端的速度又相等，v-t圖象如圖10所示，可見后一過程運(yùn)動時(shí)間短，D項(xiàng)正確。

【答案】AD

【點(diǎn)評】上述幾例看到，在畫出速度圖象時(shí)，不僅要注意加速度的變化，還要利用動能定理或能量守恒定律判斷出末速度的大小，上述幾例都是利用與橫軸平行的速度線結(jié)合加速度變化判斷的。

即時(shí)演練

1.（2013·安徽高考）如圖所示，有一內(nèi)壁光滑的閉合橢圓形管道，置于豎直平面內(nèi)，MN是通過橢圓中心O點(diǎn)的水平線。已知一小球從M點(diǎn)出發(fā)，初速率為v0，沿管道MPN運(yùn)動，到N點(diǎn)的速率為v1，所需時(shí)間為t1；若該小球仍由M點(diǎn)以初速率v0出發(fā)，而沿管道MQN運(yùn)動，到N點(diǎn)的速率為v2，所需時(shí)間為t2，則 （ ）

A.v1＝v2，t1＞t2

B.v1＜v2，t1＞t2

C.v1＝v2，t1＜t2

D.v1＜v2，t1＜t2

參考答案

1.A 【解析】由于小球在運(yùn)動過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，到達(dá)N點(diǎn)時(shí)速率相等，即有v1＝v2；若小球經(jīng)過MPN途徑，先減速后加速，若經(jīng)過MQN途徑，先加速后減速，根據(jù)路程相等，相同傾斜度的接觸面的加速度大小相等，末速度大小相等作出如圖所示圖象，可以得到t1＞t2，A項(xiàng)正確。

（作者單位：江蘇省江陰市第一中學(xué)）