江蘇 吳 俊

自主招生電學(xué)專題講解

江蘇 吳 俊

自招的直通車——講真題，練真題，圍繞真題做文章。

電學(xué)內(nèi)容在高考命題中，占據(jù)40%左右的分值，在自主招生的考查中依然占有非常大的份額，經(jīng)過前幾期中對自主招生的知識講解和典例熟悉以及配套的練習(xí)，大家對自主招生的考查難度、題型等有了一定的了解，在此基礎(chǔ)上，我們進(jìn)一步濃縮范圍，講究綜合，以便大家有效復(fù)習(xí)。

一、近4年三大聯(lián)盟電學(xué)考點(diǎn)分布情況

1.華約

2011年 2012年 2013年 2014年庫侖定律、曲線運(yùn)動（選擇題）、線圈在磁場中的運(yùn)動、動量定理、微元法（選擇題）、帶電粒子在復(fù)合場中的運(yùn)動（計(jì)算題）非平行板電容器的電場線的描繪（選擇題）、電源的輸出功率、U-I圖象的應(yīng)用（選擇題）、法拉第電磁感應(yīng)定律的應(yīng)用——圖象問題（選擇題）、電磁感應(yīng)定律的應(yīng)用——導(dǎo)體單桿問題、微元法（論證題）、帶電粒子在組合場中的運(yùn)動（計(jì)算題）楞次定律、能量守恒定律的應(yīng)用（計(jì)算題）、電偶極子、庫侖定律的應(yīng)用（計(jì)算題）靜電問題（計(jì)算題）、電磁繼電器（計(jì)算題）

2.北約

2011年 2012年 2013年 2014年帶電粒子在磁場中的運(yùn)動（計(jì)算題）、電磁感應(yīng)規(guī)律的應(yīng)用——導(dǎo)體雙桿問題（計(jì)算題）電磁感應(yīng)條件的理解（選擇題）、電容器的連接以及其中的粒子運(yùn)動（計(jì)算題）電功率計(jì)算（填空題）、楞次定律、法拉第電磁感應(yīng)定律（填空題）、帶電粒子在磁場中的復(fù)雜運(yùn)動（計(jì)算題）電場疊加（填空題）、帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動（計(jì)算題）

3.卓越

2011年 2012年 2013年 2014年靜電感應(yīng)求電荷量、平行板電容器動態(tài)變化問題、帶電粒子在磁場中的運(yùn)動、變壓器的應(yīng)用（皆為選擇題）、電學(xué)實(shí)驗(yàn)——光敏電阻測量儲液罐液體高度（實(shí)驗(yàn)題）等量負(fù)電荷的相關(guān)判斷、電磁感應(yīng)定律的應(yīng)用——導(dǎo)體桿問題、庫侖定律和共點(diǎn)力平衡、相似三角形（選擇題）、測電阻（實(shí)驗(yàn)題）電荷做圓周運(yùn)動時供需關(guān)系的理解、帶電粒子在平行板電容器中的運(yùn)動（皆為選擇題）、變壓器的計(jì)算（填空題）、電壓補(bǔ)償法測量電動勢（實(shí)驗(yàn)題）、電磁感應(yīng)定律的應(yīng)用及圖象問題（計(jì)算題）靜電平衡（選擇題）、電學(xué)黑箱（實(shí)驗(yàn)題）、帶電粒子在平行板中的運(yùn)動（計(jì)算題）

上述三表可見，庫侖定律、平行板電容器中的粒子、閉合電路的歐姆定律、楞次定律、法拉第電磁感應(yīng)定律的應(yīng)用等高考主干知識依然為自主招生命題的熱點(diǎn)，但是像電偶極子、靜電問題、帶電粒子在磁場中的復(fù)雜運(yùn)動、電壓補(bǔ)償法測量電動勢等邊緣化甚至超綱內(nèi)容也是作為選拔優(yōu)秀人才的命題材料，像微元法、疊加法、矢量分解等方法的應(yīng)用要高于高考難度。

二、重?zé)狳c(diǎn)問題講解

1.帶電粒子在電場中的運(yùn)動

【例1】（2010·華約）如圖1所示，三個面積均為S的金屬板A、B、C水平放置，A、B相距d1，B、C相距d2，A、C接地，構(gòu)成兩個平行板電容器。上板A中央有小孔D。B板開始不帶電。質(zhì)量為m、電荷量為q（q＞0）的液滴從小孔D上方高度為h處的P點(diǎn)由靜止一滴一滴落下。假設(shè)液滴接觸B板可立即將電荷全部傳給B板。油滴間的靜電相互作用可忽略，重力加速度取g。

（1）若某帶電液滴在A、B板之間做勻速直線運(yùn)動，此液滴是從小孔D上方落下的第幾滴？

（2）若發(fā)現(xiàn)第N滴帶電液滴在B板上方某點(diǎn)轉(zhuǎn)為向上運(yùn)動，求此點(diǎn)與A板的距離H。

（以空氣為介質(zhì)的平行板電容器電容C＝S/（4πkd），式中S為極板面積，d為極板間距，k為靜電力常量）

【解析】（1）根據(jù)題意，A、B板與B、C板構(gòu)成的兩個平行板電容器的電容分別為

設(shè)第n滴帶電液滴可在A、B板之間做勻速直線運(yùn)動，當(dāng)?shù)趎滴帶電液滴處于A、B板之間時，B板所帶電荷量為

式中，Q1和Q2分別為金屬板B上、下兩個表面上的電荷量。設(shè)B板電勢為U，則

由于第n滴帶電液滴在A、B板之間做勻速直線運(yùn)動，有qE1＝mg⑦

（2）當(dāng)?shù)贜-1滴帶電液滴在B板上時，（1）中①～⑤仍有效，相應(yīng)的B板電勢以及其上、下表面所帶電荷量分別記為U′、Q′1和Q′2。B板所帶電荷量為

按題意，第N滴帶電液滴會在下落到離A板距離為H（H＜d1）時，速度為零，此時液滴所在位置的電勢為

【點(diǎn)評】帶電粒子在平行板電容器中運(yùn)動的主要類型及解答技巧如下：

（2）粒子在平行板電容器中處于平衡狀態(tài)時，利用F合＝0解決問題，常用方法有正交分解法、三角形法、圖解法等；粒子處于直線運(yùn)動狀態(tài)時，利用牛頓運(yùn)動定律和動能定理解決；若涉及多過程問題借用圖象法輔助分析；粒子在平行板電容器中做類平拋運(yùn)動是利用合成與分解思想解決，解答時要分清兩個分運(yùn)動的方向和物理量的大小，要注意區(qū)分各種不同的臨界狀態(tài)。

2.帶電粒子在組合場中的運(yùn)動

【例2】（2014·北約自招）如圖2所示，區(qū)域中一部分有勻強(qiáng)磁場，另一部分有勻強(qiáng)電場，磁場方向垂直于紙面向里，電場方向與電、磁場分界線平行向右。一帶正電粒子從A點(diǎn)以速度v射入勻強(qiáng)磁場，方向未知，經(jīng)過t1時間運(yùn)動到磁場與電場交界處B點(diǎn)，此時速度方向垂直于兩個場的分界線，此后粒子在電場力的作用下，經(jīng)過t2時間從C點(diǎn)離開電場，已知磁場寬度與電場寬度分別為l1和l2，A與B點(diǎn)的水平距離為d，不計(jì)粒子的重力。

（1）求整個運(yùn)動過程中粒子的最大速度；

【解析】（1）如圖3所示，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由于垂直從交界處進(jìn)入電場，故在電場中做類平拋運(yùn)動。

（2）設(shè)在磁場中做圓周運(yùn)動所對應(yīng)的圓心角為θ，

【點(diǎn)評】處理帶電粒子在組合場中運(yùn)動的一般思路和方法：

（1）明確組合場是由哪些場組合成的。

（2）判斷粒子經(jīng)過組合場時的受力和運(yùn)動情況，并畫出相應(yīng)的運(yùn)動軌跡簡圖。

（3）帶電粒子經(jīng)過電場時利用動能定理和類平拋運(yùn)動知識分析。

（4）帶電粒子經(jīng)過磁場區(qū)域時通常用圓周運(yùn)動知識結(jié)合幾何知識來處理。

要注意在兩種區(qū)域的交界處的邊界問題與運(yùn)動的連接條件，根據(jù)受力情況和運(yùn)動情況分析，大致畫出粒子的運(yùn)動軌跡圖，從而有利于直觀地解決問題。

3.電磁感應(yīng)規(guī)律的綜合性應(yīng)用

【例3】（2013·卓越）如圖4所示，兩根電阻不計(jì)的光滑金屬導(dǎo)軌豎直放置，相距為L，導(dǎo)軌上端接有阻值為R的電阻，水平條形區(qū)域Ⅰ和Ⅱ內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直導(dǎo)軌平面向里的勻強(qiáng)磁場，其寬度均為d，Ⅰ和Ⅱ之間相距為h且無磁場。一長度為L、質(zhì)量為m、電阻不計(jì)的導(dǎo)體棒，兩端套在導(dǎo)軌上，并與兩導(dǎo)軌始終保持良好接觸?，F(xiàn)將導(dǎo)體棒由區(qū)域Ⅰ上邊界H處靜止釋放，在穿過兩段磁場區(qū)域的過程中，流過電阻R上的電流及其變化情況相同。重力加速度為g，求：

（1）導(dǎo)體棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ的瞬間，通過電阻R的電流大小與方向；

（2）導(dǎo)體棒穿過區(qū)域Ⅰ的過程中，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q；

（3）下面四個圖象定性地描述了導(dǎo)體棒速度大小與時間的關(guān)系，請選擇正確的圖象并簡述理由。

【解析】（1）設(shè)導(dǎo)體棒進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ的瞬間的速度大小為v，通過電阻R的電流為I，感應(yīng)電動勢為E，由機(jī)械能守恒定律得

由法拉第電磁感應(yīng)定律得E＝BLv

由楞次定律判斷通過R的電流方向由右向左。

（2）設(shè)導(dǎo)體棒穿出區(qū)域Ⅰ的瞬時速度大小為v′，根據(jù)能量守恒定律有

由題意知，導(dǎo)體棒穿過兩端磁場過程中，流過電阻R的電流及變化情況相同，所以，導(dǎo)體棒在進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ和Ⅱ的瞬時速度相同。導(dǎo)體棒在兩磁場之間運(yùn)動時只受到重力的作用，因?yàn)闄C(jī)械能守恒定律，有

以上聯(lián)立解得Q＝mg（h＋d）。

（3）導(dǎo)體棒由靜止進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ之前，只受到重力作用，導(dǎo)體棒做自由落體運(yùn)動，加速度為g，因?yàn)樵?～t1時間段內(nèi)v-t圖象為直線。導(dǎo)體棒在兩磁場之間運(yùn)動時也只受重力的作用，同理在t2～t3時間段內(nèi)v-t圖象也為直線。

兩磁場區(qū)域的寬度相同，導(dǎo)體棒穿過兩端磁場的過程中，流過電阻R的電流及其變化情況相同，可知導(dǎo)體棒在進(jìn)入Ⅰ和Ⅱ瞬間的瞬時速度相同，且在兩磁場區(qū)域內(nèi)速度的變化相同，因此導(dǎo)體棒在t1～t2和t3～t4時間段內(nèi)v-t圖象相同，而且導(dǎo)體棒在磁場區(qū)域內(nèi)做加速度減小的減速運(yùn)動，C項(xiàng)正確。

【點(diǎn)評】電磁感應(yīng)規(guī)律的綜合性應(yīng)用在自主招生和高考中都是重點(diǎn)。涉及的形式有單桿、雙桿、線圈等，與之結(jié)合的軌道可以水平放置、傾斜放置，還可以豎直放置。題給條件有文字?jǐn)⑹?、圖文結(jié)合等。解決之道是利用物理學(xué)中的三把金鑰匙，即牛頓運(yùn)動定律、功能規(guī)律和動量定理及動量守恒定律，貫穿的方法有圖象法、極值法、微元法、整體與隔離法等，讀者可以在對應(yīng)的試題中領(lǐng)悟體會。

小試身手

1.（2011·華約）如圖所示，帶電質(zhì)點(diǎn)P1固定在光滑的水平絕緣桌面上，在桌面上距離P1一定距離有另一個帶電質(zhì)點(diǎn)P2，P2在桌面上運(yùn)動，某一時刻質(zhì)點(diǎn)P2的速度沿垂直于P1P2的連線方向，則 （ ）

A.若P1、P2帶同種電荷，以后P2一定做速度變大的曲線運(yùn)動

B.若P1、P2帶同種電荷，以后P2一定做加速度變大的曲線運(yùn)動

C.若P1、P2帶異種電荷，以后P2的速度大小和加速度大小可能都不變

D.若P1、P2帶異種電荷，以后P2可能做加速度、速度都變小的曲線運(yùn)動

2.（2011·華約）空間某區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場的上下邊界水平，方向和豎直平面（紙面）垂直，兩個由完全相同的導(dǎo)線制成的剛性線框a和b，其形狀分別為周長為4l的正方形和周長為6l的矩形，線框a和b在豎直平面內(nèi)從如圖所示的位置開始自由下落，若從開始下落到線框完全離開磁場的過程中安培力對兩線框的沖量分別為Ia、Ib，則Ia∶Ib為 （ ）

A.3∶8 B.1∶2 C.1∶1 D.3∶2

3.（2015·第32屆全國高中物理競賽預(yù)賽）某同學(xué)用電荷量計(jì)（能測出一段時間內(nèi)通過導(dǎo)體橫截面的電荷量）測量地磁場強(qiáng)度，完成了如下實(shí)驗(yàn)：如圖所示，將面積為S、電阻為R的矩形導(dǎo)線框abcd沿圖示方位放置于地面上某處，將其從圖示位置繞東西軸轉(zhuǎn)180°，測得通過線框的電荷量為Q1；將其從圖示位置繞東西軸轉(zhuǎn)90°，測得通過線框的電荷量為Q2；該處地磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 （ ）

4.（2013·卓越）如圖所示，理想變壓器有兩個接有電阻的獨(dú)立副線圈甲、乙，其匝數(shù)分別為n1和n2。現(xiàn)測得線圈甲上的電流與電壓分別為I1和U1，線圈乙上的電流為I2，則線圈乙上的電壓U2＝________，原線圈上的輸入功率P＝________。

（1）求兩個電荷q1和q2的位置；

6.（2015·第32屆全國高中物理競賽預(yù)賽）電子感應(yīng)加速器利用變化的磁場來加速電子。電子繞平均半徑為R的環(huán)形軌道（軌道位于真空管道內(nèi)）運(yùn)動，磁感應(yīng)強(qiáng)度方向與環(huán)形軌道平面垂直。電子被感應(yīng)電場加速，感應(yīng)電場的方向與環(huán)形軌道相切。電子電荷量為e。

參考答案

1.ACD 【解析】若P1、P2帶同種電荷，斥力做功，斥力方向與速度方向不在一直線上，以后P2一定做速度變大的曲線運(yùn)動，A項(xiàng)正確；若P1、P2帶同種電荷，斥力做功，二者距離逐漸增大，庫侖力減小，加速度減小，P2一定做加速度變小的曲線運(yùn)動，B項(xiàng)錯誤。若P1、P2帶異種電荷，某一時刻質(zhì)點(diǎn)P2的速度沿垂直于P1P2的連線方向，若正好滿足庫侖力等于向心力，P2圍繞P1做勻速圓周運(yùn)動，以后P2的速度大小和加速度大小都不變，C項(xiàng)正確；若庫侖力小于所需的向心力，P2圍繞P1做離心運(yùn)動，以后P2做加速度、速度都變小的曲線運(yùn)動，D項(xiàng)正確。

5.【解析】（1）由于在x＝0處，電勢趨于正無窮，可知在原點(diǎn)有一個正電荷，即q1或q2在x＝0處。假設(shè)q1在原點(diǎn)，則q2在正半軸，此時在正半軸q2所在處的電勢應(yīng)為無窮大，與題目所給的圖象矛盾，則可知q2在原點(diǎn)，q1在負(fù)半軸。又由于總電勢可以為負(fù)值，則q1帶負(fù)電，設(shè)q1的坐標(biāo)為（x2，0）

6.【解析】（1）設(shè)電子做圓周運(yùn)動的圓軌道上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向與環(huán)面垂直。由牛頓第二定律和洛倫茲力公式得

設(shè)在圓軌道切線方向作用在電子上作用力為F，按照動量定理有

（2）按照法拉第電磁感應(yīng)定律，在電子運(yùn)動的圓軌道上的感應(yīng)電動勢為

式中圓軌道所張的面上的磁通量Ф為

這里，為圓軌道所張的面上的平均磁感應(yīng)強(qiáng)度。由④⑤式得

考慮電子運(yùn)行一圈感應(yīng)電場所做的功，由電動勢的定義可得

電子在圓軌道切向所受到的力為

由⑥⑦⑧式得

（3）③和⑨式所表示的是同樣的力的大小。聯(lián)立③⑨式得

（作者單位：江蘇省江陰市第一中學(xué)）