紀(jì)祥飛， 郭　明

(1.山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院， 山東 淄博 255049;

2.山東玲瓏輪胎股份有限公司， 山東 煙臺(tái) 264000)

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桁架結(jié)構(gòu)的倒變量響應(yīng)面法研究

紀(jì)祥飛1， 郭明2

(1.山東理工大學(xué) 交通與車輛工程學(xué)院， 山東 淄博 255049;

2.山東玲瓏輪胎股份有限公司， 山東 煙臺(tái) 264000)

摘要：介紹了響應(yīng)面的基本思想，指出了多項(xiàng)式基響應(yīng)面在擬合精度方面存在的問題.通過分析多項(xiàng)式形式的響應(yīng)面方程在設(shè)計(jì)變量的形式上與結(jié)構(gòu)的位移解析解之間的區(qū)別，研究了基于倒變量的響應(yīng)面方法，并結(jié)合算例分析驗(yàn)證了該方法建立的靜定桁架結(jié)構(gòu)的位移表達(dá)式具有很高的精度.分析結(jié)果表明，提出的響應(yīng)面方法能夠精確、快速地解決平面和空間桁架位移的顯式化問題.

關(guān)鍵詞：倒變量； 桁架結(jié)構(gòu)； 響應(yīng)面

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型中，需要用優(yōu)化方法進(jìn)行優(yōu)化調(diào)整的設(shè)計(jì)參數(shù)稱為設(shè)計(jì)變量，性能變量是結(jié)構(gòu)的各種性態(tài)變量，如應(yīng)力、位移等等，約束條件為設(shè)計(jì)必須滿足的限制條件.其中，約束條件是性能變量的函數(shù)，也是設(shè)計(jì)變量的隱函數(shù)[1].這一性質(zhì)是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題區(qū)別于一般的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題的一個(gè)重要特點(diǎn)，也由于這一特點(diǎn)，大大增加了結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的求解難度.要解決這一問題，就必須對(duì)約束條件進(jìn)行顯式化，最常用的顯式化方法為響應(yīng)面方法(Response Surface Methodology，RSM),它可以避免函數(shù)的求導(dǎo)以及積分，大大降低計(jì)算的工作量，也能夠保證足夠的精度.

響應(yīng)面方法最初由Box和Wilson于1951年提出，其基本思想是通過一系列確定性實(shí)驗(yàn)，用多項(xiàng)式函數(shù)來近似隱式極限狀態(tài)函數(shù)，最初主要用于化工領(lǐng)域[2]；1995年，Myers和Montgomery 對(duì)響應(yīng)面及其應(yīng)用進(jìn)行了全面的闡述，并把響應(yīng)面方法定義為“一種用于開發(fā)、改進(jìn)、優(yōu)化的統(tǒng)計(jì)和數(shù)學(xué)方法”[3]；如今，響應(yīng)面方法廣泛用于優(yōu)化設(shè)計(jì)中，即通過合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)、約束函數(shù)和設(shè)計(jì)變量之間的近似函數(shù)[4].

傳統(tǒng)的多項(xiàng)式基響應(yīng)面是采用最小二乘法建立的逼近函數(shù)，擬合的精度偏低.本文結(jié)合桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，提出基于倒變量的響應(yīng)面法，以期有效提高在展開點(diǎn)附近響應(yīng)面的擬合精度，這對(duì)于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)非常有利.

1傳統(tǒng)多項(xiàng)式基響應(yīng)面法

1.1多項(xiàng)式基響應(yīng)面算法簡(jiǎn)介

根據(jù)相關(guān)理論研究以及工程實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)可知，常用的多項(xiàng)式基響應(yīng)面法的形式為[5]：

線性型

(1)

可分離二次型

(2)

完整二次型(含交叉項(xiàng))

(3)

為了推導(dǎo)方便，對(duì)式(3)進(jìn)行統(tǒng)一符號(hào)，可得

(4)

(5)

每次試驗(yàn)的表達(dá)式可統(tǒng)一寫成如下矩陣形式

Y=Xβ+ε

(6)

其中：

系數(shù)向量的無偏估計(jì)β可由最小二乘法獲得，即令每次試驗(yàn)的誤差平方和δ為最小

δ=εTε=(Y-Xβ)T(Y-Xβ)→min

(7)

β=(XTX)-1XTY

(8)

1.2多項(xiàng)式基響應(yīng)面算法的精度分析

在利用多項(xiàng)式基響應(yīng)面方法進(jìn)行顯式化時(shí)，響應(yīng)面的擬合精度是必須要考慮的，我們用幾個(gè)簡(jiǎn)單的算例對(duì)多項(xiàng)式基響應(yīng)面方法的擬合精度進(jìn)行探討.本文主要討論的是桁架結(jié)構(gòu)，選取桁架結(jié)構(gòu)的截面積為設(shè)計(jì)變量，選取兩種截面積變化范圍，分別為0.01～0.05m2和0.03～0.04m2，兩個(gè)范圍內(nèi)試驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)、分布應(yīng)相同，且截面均為圓截面，彈性模量E=2.1×1011Pa，泊松比為0.3，以節(jié)點(diǎn)的位移為結(jié)構(gòu)的響應(yīng).

圖1　八桿靜定桁架結(jié)構(gòu)

利用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的解析法求得節(jié)點(diǎn)C沿力F方向的位移的解析解如下：

(9)

利用多項(xiàng)式基響應(yīng)面方法求得的八桿桁架的精度以及響應(yīng)面形式的選擇情況見表1.

由表1可以看出：利用多項(xiàng)式基響應(yīng)面方法對(duì)八桿桁架的位移進(jìn)行顯式化求解時(shí)，線性型的響應(yīng)面在檢驗(yàn)點(diǎn)處相對(duì)誤差很高，不能滿足求解精度的要求，增加了交叉項(xiàng)對(duì)求解的結(jié)果影響很??；同時(shí)利用傳統(tǒng)多項(xiàng)式基響應(yīng)面方法求得的顯式化方程在幾何形式上與通過解析法求得的解析解有很大的區(qū)別.對(duì)比不同檢驗(yàn)點(diǎn)取值范圍的擬合精度可以發(fā)現(xiàn)，3種形式的擬合函數(shù)在較小的鄰域內(nèi)的精度要稍好.

表1八桿桁架的擬合精度及響應(yīng)面形式的選擇

響應(yīng)面形式檢驗(yàn)點(diǎn)取值范圍/m2檢驗(yàn)點(diǎn)最大相對(duì)誤差/%檢驗(yàn)點(diǎn)最小相對(duì)誤差/%檢驗(yàn)點(diǎn)平均誤差/%線性型0.01～0.0537.2920.039616.0960.03～0.0433.6350.023615.241二次型0.01～0.0515.5632.292×10-44.7470.03～0.0413.2552.011×10-44.124完整二次型0.01～0.0515.5632.292×10-44.7470.03～0.0413.2552.011×10-44.124

算例2以一個(gè)簡(jiǎn)單的三桿超靜定桁架為例進(jìn)行分析.三桿桁架的結(jié)構(gòu)以及工況如圖2所示.其中工況1：F1=1 000N，F(xiàn)2=0；工況2：F1=0，F(xiàn)2=1 000N，l=1m.由于桁架的結(jié)構(gòu)以及工況均對(duì)稱，可令A(yù)1=A3，同時(shí)只考慮第1種工況.

圖2　三桿超靜定桁架結(jié)構(gòu)

利用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的知識(shí)得到三桿超靜定結(jié)構(gòu)的應(yīng)力為

(10)

(11)

(12)

同時(shí)利用卡氏定理求得節(jié)點(diǎn)A在力的作用下沿水平方向的位移的解析解為

(13)

利用傳統(tǒng)多項(xiàng)式基響應(yīng)面求解的三桿桁架的精度以及響應(yīng)面形式的選擇情況見表2.

表2三桿桁架的擬合精度及響應(yīng)面形式的選擇

響應(yīng)面形式檢驗(yàn)點(diǎn)取值范圍/m2檢驗(yàn)點(diǎn)最大相對(duì)誤差/%檢驗(yàn)點(diǎn)最小相對(duì)誤差/%檢驗(yàn)點(diǎn)平均誤差/%線性型0.01～0.0531.5110.03411.9050.03～0.0430.2380.031110.751二次型0.01～0.0526.7760.0317.4000.03～0.0424.8670.2396.890完整二次型0.01～0.0513.2290.1815.4360.03～0.0412.1140.1744.618

依據(jù)求得的響應(yīng)面方程及表2中的數(shù)據(jù)可以看出：利用多項(xiàng)式基響應(yīng)面方法對(duì)三桿桁架的位移進(jìn)行求解時(shí)，和靜定結(jié)構(gòu)類似，解析式中設(shè)計(jì)變量以截面積的倒數(shù)形式存在，響應(yīng)面方程是依據(jù)橫截面積的直接形式構(gòu)建的；響應(yīng)面方程中增加了交叉項(xiàng)能夠提高求解的精度，但是提高的效果不明顯，同時(shí)性能比評(píng)價(jià)也一般，在檢驗(yàn)點(diǎn)處相對(duì)誤差很高，不能滿足擬合精度的要求.另外，同算例1一樣，在較小的鄰域內(nèi)，傳統(tǒng)多項(xiàng)式基構(gòu)造的函數(shù)擬合精度稍高一些.

2基于倒變量的響應(yīng)面方法

由材料力學(xué)可知，利用莫爾定理求得的桁架結(jié)構(gòu)中某一節(jié)點(diǎn)在外力作用下沿某一方向的位移表達(dá)式如下：

(14)

在靜定結(jié)構(gòu)中，若外力已知，則各桿的內(nèi)力不隨設(shè)計(jì)變量(截面積)的變化而變化，因此節(jié)點(diǎn)的位移與倒變量之間是線性關(guān)系；在超靜定結(jié)構(gòu)中，各桿的內(nèi)力隨著設(shè)計(jì)變量的變化是相對(duì)變化的，但當(dāng)設(shè)計(jì)變量增量不大時(shí)，可采用靜定化假設(shè)，即在一輪分析研究中，各桿內(nèi)力不隨設(shè)計(jì)變量的變化而變化，節(jié)點(diǎn)位移與倒變量之間呈線性關(guān)系.

基于上述分析，對(duì)多項(xiàng)式基響應(yīng)面做出如下的改進(jìn)：在利用響應(yīng)面方法進(jìn)行桁架結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移的顯式化求解時(shí)，以倒變量(設(shè)計(jì)變量的倒數(shù))為基函數(shù)進(jìn)行響應(yīng)面方程的構(gòu)建；對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，只需構(gòu)建線性型的響應(yīng)面方程即可獲得較高的精度，對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，需要構(gòu)建二次型及完整二次型來保證求解的精度[6].

因此，基于倒變量的多項(xiàng)式基響應(yīng)面方程的一般形式如下：

(15)

式中：k為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)；β0、βi、βii及βij分別為待求解的常數(shù)、線性響應(yīng)的系數(shù)、二次響應(yīng)的系數(shù)以及交叉的二次響應(yīng)的系數(shù).待定系數(shù)的求解步驟如下：

(1)通過合理的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案，選取m(m≥(k+1)(k+2)/2)個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，通過試驗(yàn)設(shè)計(jì)求得各試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值.

(2)可通過式(8)確定由二次多項(xiàng)式表示的響應(yīng)面函數(shù)，此時(shí)，式(8)中變量為

待定系數(shù)的確定有兩種情況：(1)若試驗(yàn)次數(shù)為響應(yīng)面方程求解所需最少的次數(shù)，即試驗(yàn)次數(shù)為(k+1)(k+2)/2時(shí)，可采用直接解線性方程組得到相應(yīng)的系數(shù)；(2)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)大于最少次數(shù)即m>(k+1)(k+2)/2時(shí)，可以采用式(8)求解待定系數(shù)，一般情況下試驗(yàn)次數(shù)m都應(yīng)大于(k+1)(k+2)/2，因?yàn)樵谠囼?yàn)設(shè)計(jì)合理的情況下，試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)越多越能體現(xiàn)一般性，這樣求解的精度也會(huì)更高[7].

由最佳一致逼近原理可知，對(duì)已知的數(shù)據(jù)利用響應(yīng)面方法進(jìn)行近似求解時(shí)，構(gòu)建的近似函數(shù)在形式上與結(jié)構(gòu)響應(yīng)的真實(shí)解的形式越接近，求解的精度就越高.因此，利用式(15)的形式構(gòu)建的基于多元有理函數(shù)的桁架結(jié)構(gòu)響應(yīng)面方程，會(huì)比利用傳統(tǒng)多項(xiàng)式基響應(yīng)面方程擬合的精度更高，求解的結(jié)果更接近于結(jié)構(gòu)的真實(shí)響應(yīng).

3算例驗(yàn)證

傳統(tǒng)多項(xiàng)式基響應(yīng)面方法，總是直接以設(shè)計(jì)變量的多項(xiàng)式形式來構(gòu)建響應(yīng)面方程，而根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)以及前面的幾個(gè)算例分析可知，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的性能函數(shù)中設(shè)計(jì)變量往往處于分母位置，因此以設(shè)計(jì)變量的倒數(shù)形式作為基函數(shù)來構(gòu)建響應(yīng)面函數(shù)，在形式上能與解析解的形式相統(tǒng)一，求得的顯式化方程也更能體現(xiàn)出設(shè)計(jì)變量與性能函數(shù)之間真實(shí)的關(guān)系.下面利用基于倒變量的響應(yīng)面方法驗(yàn)證前兩個(gè)算例的求解精度.

算例3八桿靜定桁架結(jié)構(gòu)，利用改進(jìn)后的響應(yīng)面方法求得的節(jié)點(diǎn)C沿力F方向的位移與真實(shí)響應(yīng)值之間的精度以及響應(yīng)面形式的選擇情況見表3.

表3八桿桁架的擬合精度及響應(yīng)面形式的選擇

響應(yīng)面形式檢驗(yàn)點(diǎn)取值范圍/m2檢驗(yàn)點(diǎn)最大相對(duì)誤差/%檢驗(yàn)點(diǎn)最小相對(duì)誤差/%檢驗(yàn)點(diǎn)平均誤差/%線性型0.01～0.052.76×10-119.90×10-121.90×10-110.03～0.049.54×10-128.17×10-128.64×10-12二次型0.01～0.052.70×10-94.15×10-146.70×10-100.03～0.049.62×10-102.11×10-144.20×10-10完整二次型0.01～0.054.72×10-115.23×10-132.10×10-110.03～0.042.25×10-112.43×10-139.37×10-12

由表3可以看出，利用改進(jìn)后的基于倒變量的響應(yīng)面方法進(jìn)行靜定結(jié)構(gòu)的顯式化求解時(shí)，在不同檢驗(yàn)點(diǎn)的取值范圍內(nèi)，求解的精度都很高，相對(duì)誤差可以控制在1.0×10-8%之內(nèi)，可認(rèn)為求解結(jié)果是非常準(zhǔn)確的，求解的精度比利用傳統(tǒng)多項(xiàng)式基響應(yīng)面方法求解的精度有了明顯的提高，證明了改進(jìn)后的基于倒變量的響應(yīng)面算法在靜定結(jié)構(gòu)顯式化求解中的適用性.

算例4三桿超靜定桁架結(jié)構(gòu)，利用改進(jìn)后的響應(yīng)面方法得的節(jié)點(diǎn)A沿力F方向的位移與真實(shí)響應(yīng)值之間的精度以及響應(yīng)面形式的選擇情況見表4.

表4三桿桁架的擬合精度及響應(yīng)面形式的選擇

響應(yīng)面形式檢驗(yàn)點(diǎn)取值范圍/m2檢驗(yàn)點(diǎn)最大相對(duì)誤差/%檢驗(yàn)點(diǎn)最小相對(duì)誤差/%檢驗(yàn)點(diǎn)平均誤差/%線性型0.01～0.0519.91423.6888.52130.03～0.0415.27720.6305.6810二次型0.01～0.050.82030.4680.043630.03～0.040.51140.2080.02172完整二次型0.01～0.057.73746.4711.7650.03～0.044.51244.1020.593

由表4可以看出：利用改進(jìn)后的響應(yīng)面方法求解超靜定結(jié)構(gòu)的位移時(shí)，檢驗(yàn)點(diǎn)處的求解精度與利用傳統(tǒng)多項(xiàng)式基響應(yīng)面求解的結(jié)果相比都有了明顯的改善，尤其是含交叉項(xiàng)的完整二次型，精度提高的最明顯，通過縮小檢驗(yàn)點(diǎn)的取值范圍，同樣精度也得到了明顯的提高，且求解的精度基本能夠滿足工程實(shí)際的需要.

4結(jié)論

(1)利用基于倒變量的多項(xiàng)式基響應(yīng)面方法求解靜定結(jié)構(gòu)的顯式化時(shí)，求解的精度極高，檢驗(yàn)點(diǎn)處的相對(duì)誤差可以嚴(yán)格控制在萬分之一以內(nèi)，這主要是因?yàn)楸疚臉?gòu)建的響應(yīng)面方程與結(jié)構(gòu)的解析解在形式上保持了高度的一致，因此可以認(rèn)為構(gòu)建的響應(yīng)面方程可以全面地反映性能函數(shù)和設(shè)計(jì)變量之間的顯式關(guān)系.

(2)超靜定結(jié)構(gòu)的求解精度比靜定結(jié)構(gòu)的差了一些，這主要是由于在構(gòu)建響應(yīng)面方程時(shí)，為了與靜定結(jié)構(gòu)的形式相統(tǒng)一，采用了靜定化假設(shè)，在實(shí)際求解過程中，各桿內(nèi)力的變化是伴隨著設(shè)計(jì)變量的變化而變化的，但是通過縮小檢驗(yàn)點(diǎn)的取值范圍，求解精度得到了明顯的提高，且完整二次型的精度完全能夠滿足工程實(shí)際的需要，證明了基于倒變量的多項(xiàng)式基響應(yīng)面方法可以有效地解決結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中隱函數(shù)的顯式化問題，且在較大的求解區(qū)域內(nèi)，精度都能夠得到保障.

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(編輯：郝秀清)

The research of reciprocal variable of truss structure′s response surface method

JI Xiang-fei1, GUO Ming2

(1.School of Transportation and Vehicle Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China;2.Shandong Linglong Tire Company Limited, Yantai 264000, China)

Abstract:The basic idea of response surface is introduced, and the problems of the polynomial-based response surface in fitting accuracy are also pointed out. Through the literature query and the analysis of the difference between design variables form of the polynomial response surface and the analytical solution of structure displacement, the response surface method based on reciprocal variable is proposed and studied, the high precision of static structure displacement expression was verified by example. The results showed that the proposed response surface method can accurately and quickly solve the plane and space truss displacement explicit issues.

Key words:reciprocal variable; truss structure; response surface

中圖分類號(hào)：U467.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1672-6197(2016)02-0027-04

作者簡(jiǎn)介：紀(jì)祥飛，男，15275995247@139.com; 通信作者： 郭明，男，guoming04073215@126.com.

收稿日期：2015-03-16