王來全， 魏成花, 夏米西努爾·阿布都熱合曼

(1.昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部， 新疆 昌吉 831100; 2.昌吉學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 新疆 昌吉 831100；

3.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046)

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實施干預(yù)措施在HIV/AIDS預(yù)防中的效果

王來全1， 魏成花2, 夏米西努爾·阿布都熱合曼3

(1.昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部， 新疆 昌吉 831100; 2.昌吉學(xué)院 數(shù)學(xué)系， 新疆 昌吉 831100；

3.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830046)

摘要：考慮了一類對高危人群實施干預(yù)措施的HIV/AIDS傳播模型,給出了無病平衡點的全局穩(wěn)定和地方病平衡點的局部穩(wěn)定的條件.當(dāng)R0>1時,討論了地方病平衡點的局部漸進(jìn)穩(wěn)定性,重點討論了對高危人群實施干預(yù)措施在HIV/AIDS預(yù)防中的積極效果.

關(guān)鍵詞：艾滋病; 干預(yù)措施; 基本再生數(shù); 漸近穩(wěn)定; 效果

目前還沒有有效的使艾滋病患者痊愈的藥物.近幾年,在吸取傳統(tǒng)單一的抵抗生素消炎法的基礎(chǔ)上,醫(yī)生們探索采用復(fù)合療法,但這種方法在一些艾滋病的高發(fā)區(qū)很難實現(xiàn)推廣.考慮到當(dāng)?shù)厝巳旱氖杖肭闆r、地理分布、科學(xué)技術(shù)等需求和含量,我們不得不采取比較有效、直接并且具有經(jīng)濟效益的干預(yù)措施來實現(xiàn)對艾滋病的預(yù)防.

為了揭示傳染病的傳播規(guī)律，預(yù)測流行趨勢,作為傳染病和數(shù)學(xué)理論交叉學(xué)科的傳染病數(shù)學(xué)模型迅速發(fā)展起來,許多學(xué)者對傳染病模型進(jìn)行了研究，并從中得到很好的結(jié)果.文獻(xiàn)[1-2]建立并研究了一類HIV/AIDS傳播模型,文獻(xiàn)[3]研究了一類公眾教育活動對預(yù)防HIV/AIDS的影響.基于文獻(xiàn)[4-5]的理念,文獻(xiàn)[6]研究了對一些易感者實施單一的教育活動對預(yù)防HIV/AIDS傳播的影響.但是,很少有人研究一類對高危人群實施干預(yù)措施的時滯HIV/AIDS傳播模型,并進(jìn)一步說明干預(yù)措施在HIV/AIDS預(yù)防中的積極效果.假設(shè)把易感人群分為高危易感人群和低危易感人群，在高危易感人群感染率大于低危易感人群的情況下,假設(shè)只對高危人群實施干預(yù)措施,討論地方病平衡點的局部漸近穩(wěn)定性,重點研究對高危人群實施干預(yù)措施在預(yù)防HIV/AIDS傳播中的效果，進(jìn)一步證明在艾滋病的高發(fā)期和蔓延期推行預(yù)防干預(yù)措施的必要性.

1模型的建立

討論的數(shù)學(xué)模型如下:

(1)

2平衡點和基本再生數(shù)

顯然,系統(tǒng)(1)存在一個無病平衡點E0(U0,S0,0,0).其中：

應(yīng)用計算基本再生數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方法，計算出系統(tǒng)(1)的基本再生數(shù)R0.

當(dāng)R0>1時，系統(tǒng)(1)存在一正地方病平衡點E1(U1,S1,I1,A1`).

此時

系統(tǒng)(1)的解集Ω和解的正性,無病平衡點E0(U0,S0,0,0)的漸近穩(wěn)定性,與文獻(xiàn)[7]的研究方法類似.下面就系統(tǒng)(1)的地方病平衡點的局部穩(wěn)定性和地方病的持久性進(jìn)行討論.

3地方病平衡點的局部漸進(jìn)穩(wěn)定性

為了分析地方病平衡點的局部漸進(jìn)穩(wěn)定性,令:x(t)=U(t)-U1,y(t)=S(t)-S1,z(t)=I(t)-I1,w(t)=A(t)-A1.則系統(tǒng)(1)在點E1(U1,S1,I1,A1`)處可以得到線性近似方程. 也就是說通過討論系統(tǒng)(1)在點E1(U1,S1,I1,A1`)處的線性近似方程在平衡點(0,0,0,0)處的全局漸近穩(wěn)定性來討論系統(tǒng)(1)在地方病平衡點E1(U1,S1,I1,A1`)處的局部漸近穩(wěn)定性[5]

假設(shè)Hi(i=1,2,3…6)為τ的有界函數(shù),構(gòu)造Lyapunovh函數(shù)

V(x,y,z,w)={x(t)+y(t)+z(t)+w(t)}2

沿著系統(tǒng)系統(tǒng)(1)在點E1(U1,S1,I1,A1`)處的線性近似方程對V(x,y,z,w)求導(dǎo)數(shù)得

V′(x,y,z,w)=2{x(t)+y(t)+z(t)+w(t)}×

{x′(t)+y′(t)+z′(t)+w′(t)}=-2(μ+m)×

{x(t)+y(t)+z(t)+w(t)}2≤0

當(dāng)R0>1時，得到V(x,y,z,w)=0當(dāng)且僅當(dāng)x(t)=y(t)=z(t)=w(t)=0.根據(jù)Lyapunov-Lasalle定理:地方病平衡點E1在Ω局部漸近穩(wěn)定,得到如下定理:

定理1如果R0>1,那么系統(tǒng)(1)的地方病平衡點E1(U1,S1,I1,A1`)局部漸進(jìn)穩(wěn)定.

4對高危人群實施干預(yù)措施在HIV/AIDS預(yù)防中的效果

一般的干預(yù)措施主要有:在公共場所推廣使用安全套 ,對吸毒者開展美沙酮維持治療和清潔注射針具交換等措施,用來減少被二次感染HIV/AIDS的幾率.在傳染病學(xué)中,基本再生數(shù)R0是用來區(qū)分疾病流行與否的閾值,所以我們對模型(1)的基本再生數(shù)R0的相關(guān)參數(shù):干預(yù)措施v0與R0的關(guān)系進(jìn)行討論.對R0關(guān)于干預(yù)措施v0求導(dǎo)數(shù)得

(2)

類似的,下面討論模型(1)的基本再生數(shù)R0的相關(guān)參數(shù):艾滋病的潛伏期τ與R0的關(guān)系,對R0關(guān)于艾滋病的潛伏期τ求導(dǎo)數(shù)得

(3)

顯然,基本再生數(shù)R0關(guān)于干預(yù)措施v0為單調(diào)遞減的函數(shù),從而說明對高危易感人群實施有效干預(yù)措施可以減少HIV/AIDS疾病的蔓延.同理,由(3)式可知,艾滋病的潛伏期τ與R0成單調(diào)增加關(guān)系,進(jìn)一步說明了艾滋病的潛伏期加快了疾病的流行,這一結(jié)論與文獻(xiàn)[7]類似.

5結(jié)束語

考慮了一類具有干預(yù)措施的HIV/AIDS傳播模型,應(yīng)用HIV/AIDS數(shù)學(xué)模型評估了在高危人群中實施干預(yù)措施對預(yù)防HIV/AIDS傳播的影響,由(3)式可知：對高危人群增強干預(yù)措施可以預(yù)防HIV/AIDS的蔓延,從而可以減少被二次感染的幾率,如果本文的干預(yù)措施是教育和疫苗,則結(jié)果與文獻(xiàn)[6]和[8]一致.盡管目前的醫(yī)療技術(shù)還無法治愈艾滋病,但只要認(rèn)真進(jìn)行不良行為干預(yù),就能有效遏制艾滋病對人類的危害.通常通過推廣使用安全套、為吸毒人群提供清潔針具及藥物替代療法等方法進(jìn)行艾滋病行為的干預(yù)，幫助有易感感染艾滋病病毒危險行為的人群改變行為,但是由于會受到社會各種壓力和歧視,同性戀、吸毒等不良行為均十分隱蔽,干預(yù)起來難度大,所以只有結(jié)合實際情況制定可行措施積極推行預(yù)防艾滋病干預(yù)措施的實施,方能有效防控艾滋病的傳播.

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[6]MukandavireZ,GariraW,TchuencheJM.ModellingeffectsofpublichealtheducationalcampaignsonHIV/AIDStransmissiondynamics[J].AppliedMathModelling, 2009, 33:2 084-2 095.

[7]MukandavireZ,GariraW,ChiyakaC.AsymptoticpropertiesofaHIV/AIDSmodelwithatimedelay[J].Math.Appl.2007,330:916-933.

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(編輯：郝秀清)

Implementation of intervention measures for HIV/AIDS prevention effect

WANG Lai-quan1, WEI Cheng-hua2， Xamxinur Abdurahman3

(1.Department of Foundation, Changji Vocational and Technical College, Changji 831100, China；2.Department of Mathematics, Changji University， Changji 831100, China;3.College of Mathematics and System Science, Xinjiang University, Urumqi 830046, China)

Abstract:We considered a HIV/AIDS transmission model with intervention measures for high-risk susceptible. The basic reproduction number R0which determines whether the disease goes to extinction or not is obtained. we investigated the local stability of the endemic equilibrium, when the basic reproduction number R0is greater than 1. Furthermore, we investigated the positive effect of the intervention measures on the prevention of HIV/AIDS.

Key words:HIV/AIDS; intervention measures; basic reproduction number; stability; effect

中圖分類號：O175.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號：1672-6197(2016)02-0036-03

作者簡介：王來全,男,wanglaiquana@126.com

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目(11261056); 昌吉職業(yè)技術(shù)學(xué)院自然科學(xué)科研課題(CJZY2015026)

收稿日期：2015-03-28