鄭金

摘 要：推導(dǎo)了物體在凹面軌道上緩慢運動時克服摩擦力做功的公式；探討了有關(guān)物體沿凹面軌道運動問題的錯題及錯解；探究了幾道典型題及高考題的解法。

關(guān)鍵詞：凹面軌道；摩擦力；做功；向心力

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148（2016）2-0046-3

對于物體沿豎直平面內(nèi)的圓弧軌道運動，由于物體跟軌道接觸面的彈力與向心力有關(guān)，而向心力的大小與速率有關(guān)，因此受到接觸面的摩擦力大小與物體的運動速率有關(guān)。在圓弧上不同位置的摩擦力大小不同，在不同過程經(jīng)過同一位置的摩擦力大小也不同。

1 克服凹面摩擦力所做的功

如圖1所示，斜面長為l，傾角為θ。一個質(zhì)量為m的物體沿斜面由頂端向下滑動，動摩擦因數(shù)為μ。則物體克服摩擦力所做的功為Wf=μmglcosθ=μGx。

可見，當(dāng)物體只受重力、彈力和摩擦力作用沿斜面運動時，克服摩擦力所做的功等于動摩擦因數(shù)、重力的大小和水平位移的大小三者的乘積。

如圖2所示，假設(shè)物體沿圓弧軌道AB緩慢下滑一小段圓弧Δs，可視為斜面。則到達C點時受到的摩擦力為f=μmgcosθ，克服摩擦力做的功為ΔWf=μmgcosθ·Δs。由于Δs·cosθ表示物體在水平方向的位移Δx，因此ΔWf=μmg·Δx。由微元累加法可知，在沿圓弧路徑運動的過程中，物體在水平方向的位移為x=R。所以，物體在緩慢下滑過程中克服摩擦力所做的功為Wf=μmgR。

一般來說，若物體沿斜面運動或沿凹面緩慢運動，克服摩擦力所做的功等效于物體沿軌道的水平投影面運動時克服其摩擦力所做的功，即Wf=μGx。

如果物體在凹面上運動的速度較大，則摩擦力大小與速度有關(guān)。因此，公式Wf=μGx不成立。如果物體在凹面上做變速運動，則在不同位置受到的向心力不同，使物體受到的支持力大小不同，因此摩擦力大小不同。那么，物體經(jīng)過相同的路程克服摩擦力所做的功不同，而且速度越大，克服摩擦力所做的功就越多。

2 錯題或錯解

解析 設(shè)物體在AB段克服摩擦力做的功為Wf，對物體由A到C運動過程運用動能定理有

mgR-μmgR-Wf=0，

可得Wf=mgR（1-μ）=0.4mgR。

探討 該結(jié)果是錯的。假設(shè)物體緩慢下滑，則在AB段克服摩擦力所做的功為Wf=μmgR。

但實際上，物體下滑過程是變速圓周運動，速度逐漸增加。由向心力FN-mgcosθ=可知，F(xiàn)N>mgcosθ，因此Wf >μmgR。對物體由A到C運用動能定理有mgR-μmgR-Wf=0，

則mgR-μmgR>μmgR，

即2μmgR

由于題中μ=0.6，因此物體不能滑到C點。故該題是一道錯題。

例2 如圖4所示，凹陷于地面的半圓形軌道的半徑R=0.4 m。一個質(zhì)量m=0.5 kg的小球從距離地面高H=5 m處自由下落，到達地面時恰能沿軌道運動。到達軌道最低點時速率恰好為10 m/s，并繼續(xù)沿軌道運動直到從軌道左端邊緣飛出且沿豎直方向上升、下落，如此反復(fù)幾次。設(shè)摩擦力大小恒定不變，小球與軌道碰撞時不損失能量，求：

（1）小球第一次飛出軌道上升距水平地面的高度h為多少？

（2）小球最多能飛出軌道之外幾次？（取g=10 m/s2）。

n只能取整數(shù)，即小球最多能飛出軌道6次。

探討 上述解法是不正確的，因為小球運動的速度越來越小，則對軌道的壓力越來越小，因此摩擦力越來越小。那么，在小球從最低點運動到軌道左端的過程中克服摩擦力做的功小于2 J。因此，每次通過圓弧軌道的過程中克服摩擦力所做的功越來越少，并非保持4 J不變。這樣無法得到答案，只能“設(shè)摩擦力大小恒定不變”，但該題設(shè)與客觀實際不相符。

3 典型題分析

例3 如圖3所示，用同樣材料制成的一個軌道，AB段圓弧，半徑為R，水平放置的BC段長度為R。物體質(zhì)量為m，與軌道間的動摩擦因數(shù)為μ，當(dāng)它從軌道頂端A由靜止下滑時，恰好運動到C點靜止。那么，物體在AB段克服摩擦力所做的功為（ ）

解析 設(shè)物體在AB段克服摩擦力做的功為Wf，則物體由A到C由動能定理有

mgR-μmgR-Wf=0，

可得Wf=mgR（1-μ）。故選項B正確。

拓展 若用一個沿軌道方向的力推滑塊，使它緩慢地由C點移動到A點時停下，那么，推力所做的功為多少？

解析 由于滑塊緩慢運動，則可忽略向心力對軌道壓力的影響，可知物體在AB段克服摩擦力做的功為Wf=μmgR。由功能關(guān)系可知推力所做的功為

W=mgR+2μmgR=mgR（1+2μ） 。

例4 如圖5所示，高度為h的弧形軌道AB與水平軌道BC的粗糙程度相同。質(zhì)量為M的物體從頂點A開始下滑，到C點停止。要使物體沿原軌道恰好能回到A點，可有兩種辦法：用沿軌道切線方向的推力F緩慢推物體，或在C點給物體一初動能Ek。若只采用其中的一種辦法，則下列幾種方式中可行的是（ ）

A.推力F做的功為W=2mgh

B.推力F做的功為W<2mgh

C.物體的初動能為Ek>2mgh

D.物體的初動能為Ek<2mgh

解析 對物體下滑過程，運用動能定理有

mgh-WfAB-WfBC=0。

若用平行于軌道的推力將物體緩慢地從C點推到A點，根據(jù)動能定理有

W-mgh-W'fAB-WfBC=0，

若WfAB=W'fAB，則推力做功W=2mgh。

由于下滑時經(jīng)過某點的速度大于緩慢上升時經(jīng)過同一點的速度，因此，下滑時經(jīng)過此點時受到的摩擦力大于緩慢上升時經(jīng)過同一點物體受到的摩擦力?？芍禄瑫r克服摩擦力做功多，即WfAB大于W'fAB，所以推力做功W<2mgh。

在弧形軌道上任取一點P，到A點的豎直高度為h'，對物體從A點到P點的下滑過程，由動能定理有mgh'-Wf=Ek1。

對物體從P點到A點的上升過程，由能量守恒定律有

Ek2=mgh'+W'f，可知Ek1mgh'。

因此，對于弧形軌道上的每一點，都應(yīng)是上升時的速度大于下滑時的速度。則上升時對軌道的壓力較大，受到的摩擦力較大，那么克服摩擦力做的功較多，即W'fAB>WfAB。

在下滑過程中，對全過程運用能量守恒定律有mgh=WfAB+WfBC。

在上升過程中，對全過程運用能量守恒定律有，Ek=mgh+W'fAB+WfBC，

由于W'fAB>WfAB，所以Ek>2mgh。故選項B、C正確。

例5 將例2變化一下。一質(zhì)量為m的小球，從離半徑為R、粗糙程度相同的半圓軌道上端A點H處自由下落，剛好落入半圓軌道且能從B端沖出，又豎直向上升起高度為h，不計空氣阻力。已知m=0.1 kg，H=0.5 m，h=0.4 m，R=0.1 m，若小球能從B端返回軌道，則下列選項正確的是（ ）

A.小球第一次到達C處受到軌道的彈力為12 N

B.小球第一次到達C處受到軌道的彈力小于12 N

C.小球第一次從A端沖出后上升的高度為0.3 m

D.小球第一次從A端沖出后上升的高度大于0.3 m

解析 由題意可知第一次從靜止下落到上沖到左側(cè)最高點過程中克服摩擦力做的功為機械能的減少量，Wf=mg（H-h）=0.1 J。由于從A到C過程的平均速率大于CB過程，平均摩擦力大，則克服摩擦力做的功Wf1應(yīng)該大于0.05 J。那么，從C到B克服摩擦力做的功Wf2應(yīng)該小于0.05 J。由能量守恒定律有mg（H+R）-Wf1=mv2。

由牛頓第二定律和向心力公式有FN-mg=，由于Wf1>0.05 J，解得FN<12 N。

從B返回到A過程中克服摩擦力做的功小于從A到B過程中克服摩擦力做的功，即應(yīng)該小于0.1 J，而不是等于0.1 J。由于從A到B過程中的高度差為0.1 m，那么從B返回到A過程中的高度差應(yīng)小于0.1 m，所以從A端沖出后上升的高度應(yīng)大于0.3 m。故選項B、D正確。

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（欄目編輯 陳 潔）