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一、什么是實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的具體方法？

“數(shù)與形”的教學(xué)，當(dāng)然要關(guān)注數(shù)形結(jié)合，或者說主旨就在數(shù)形結(jié)合。但我們要考慮如何實現(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合，即考慮落實數(shù)形結(jié)合的手段。比如，把兩個數(shù)的乘積理解為一個矩形的面積，即是落實數(shù)形結(jié)合的手段。通過這種手段，我們可以給乘法分配律構(gòu)造幾何模型，也可以為行程問題提供直觀圖形，甚至還有人用矩形面積的分析方法解雞兔同籠問題。又如，建立平面直角坐標(biāo)系，平面上的一點（形）就對應(yīng)著一個有序?qū)崝?shù)對（數(shù)），從此，形與形的關(guān)系就可以用數(shù)刻畫（如兩直線垂直可以用其斜率乘積為-1刻畫），數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系也可以用形刻畫（如方程組的解就是兩個函數(shù)圖像的交點）。

給小學(xué)生講數(shù)形結(jié)合，素材要盡量簡單，但大致也離不開上述基本思路。本課中討論兩個相等的數(shù)的乘積與正方形面積的關(guān)系，讓學(xué)生懂得看到兩個數(shù)的乘積，可以想到一個長方形；特殊的，看到兩個相等的數(shù)的乘積，可以想起一個正方形。這就是在落實數(shù)形結(jié)合。

二、為什么重視“算兩次”的思想？

在本課中，形之于數(shù)有兩個方面的意義，一是解釋現(xiàn)象，二是發(fā)現(xiàn)規(guī)律。利用一幅圖就可以說明為什么從1開始連續(xù)幾個奇數(shù)之和恰好是一個自然數(shù)的平方。這就是解釋現(xiàn)象。對一個圖形進行研究，從不同的角度分析它、計算它，就可能得到新的結(jié)論。這就是發(fā)現(xiàn)規(guī)律。本課的現(xiàn)象與規(guī)律，從數(shù)的角度看，基本上都以等式的形式存在。等式的左右兩邊，落實到圖形中，都是對某種幾何量的計算，比如面積、長度等。用兩種不同的方式計算同一個幾何量，就可以得到一個等式。這種思路就是“算兩次”。它是數(shù)學(xué)中重要的思想方法。

從實質(zhì)上看，本課中的數(shù)與形恰好是通過對同一個幾何量算兩次實現(xiàn)結(jié)合的。因此，應(yīng)該重視“算兩次”。

三、為什么不提“極限”？

極限思想非常重要。米山國藏在其名著《數(shù)學(xué)的精神、思想和方法》中說：“使數(shù)學(xué)真正成為科學(xué)，使數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面和純理論方面發(fā)展成為豐富而正確的科學(xué)，進步成為深奧而嚴(yán)格的科學(xué)的思想，滲透于整個數(shù)學(xué)中，并且總是在活躍著的思想，就是經(jīng)過了提煉的極限思想。只要看一看，如果從今天的數(shù)學(xué)中抽去了極限思想，數(shù)學(xué)還能保留哪些內(nèi)容，就能明白極限思想對數(shù)學(xué)來說是多么重要了。說得嚴(yán)重一點，這時的數(shù)學(xué)幾乎近于一無所有?！毙W(xué)數(shù)學(xué)中也不能完全避免極限思想。圓的面積推導(dǎo)就需要應(yīng)用這種思想。

筆者認為，對這個等式，問題不在計算，而在理解。即，理解無限多個數(shù)相加是怎么回事：可以加嗎？和是確定的嗎？如何確定無限多個數(shù)的和？這些問題太難理解，超出了六年級學(xué)生的認識水平。事實上，即使是成人，若沒有接受近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的訓(xùn)練，也很難說能真正理解這些問題。對此，華中師大趙軍在《對高中生極限概念認知狀況的調(diào)查研究》中有一個結(jié)果：分別只有7%的高一學(xué)生、24%的高二學(xué)生和50%的高三學(xué)生認為這個等式是正確的。（高三學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過極限）

直觀的幾何模型有利于計算這里的有限多個數(shù)的和，但并不能對學(xué)生理解這個等式提供好的幫助，直觀甚至還會阻礙學(xué)生理解這個等式。我們熟悉的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，一句“萬世不竭”與其說幫助我們理解這里的等于號，不如說是阻礙我們理解這個等于號。同樣，用正方形表示這個等式，其中永遠存在的那塊空白只會阻礙學(xué)生理解這個等式。正因為此，筆者在本課設(shè)計中放棄了極限思想，而只通過數(shù)形結(jié)合的方式解決有限個數(shù)的和的計算問題。（本文系湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃立項課題（課題批準(zhǔn)號：XJK014BJC004）子課題《小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)中開展創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力培養(yǎng)的途徑與方法的案例研究》階段性成果）

（作者單位：長沙市教育科學(xué)研究院）