崔菊連 劉大蓮

【摘 要】本文從一道例題出發(fā)，從多個角度闡述間斷點、無窮間斷點和瑕點的區(qū)別。

【關(guān)鍵詞】間斷點;無窮間斷點;瑕點

引言

在瑕積分的教學(xué)過程中，一道例題lnxdx的出現(xiàn)，引發(fā)了學(xué)生們的爭論。

由于講瑕積分之前，我先講了瑕點的定義，并對照無窮間斷點的特征，得出了結(jié)論：無窮間斷點一定是瑕點。

在給出這個積分時，我先讓他們判斷這個積分是定積分還是瑕積分，得到異口同聲的答復(fù)：瑕積分。原因：x=0是瑕點。理由：f（x）=-∞。

但當(dāng)我給出下面這道選擇題時，教室里開始沉默。

題：x=0是被積函數(shù)y=lnx的（ ? ）

A.無窮間斷點;B.瑕點;C.既是瑕點又是無窮間斷點;D.都不是

絕大部分同學(xué)選C，有個別同學(xué)選了B。

選B的學(xué)生提出來一個問題，x=0不是被積函數(shù)y=lnx的間斷點，怎么可能是無窮間斷點呢？

選C的同學(xué)立刻反對。怎么不是間斷點呢？函數(shù)y=lnx在點x=0有定義嗎？沒有吧。所以x=0就是間斷點。又因f（x）=-∞，所以x=0是被積函數(shù)y=lnx的無窮間斷點。

為了解決這些問題，本文將針對間斷點、無窮間斷點、瑕點這幾個概念，從定義，圖形、例題等方面進(jìn)行闡述。本文使用的定義以同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系出版的《高等數(shù)學(xué)》（第六版上冊）為藍(lán)本。

一、間斷點的理解

1.間斷點的定義

函數(shù)f（x）在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義。如果函數(shù)f（x）有下列三種情形之一：

（1）在x=x0處沒有定義;（2）在x=x0處有定義，但f（x）不存在;（3）在x=x0處有定義，且f（x）存在，但f（x）≠f（x）

則函數(shù)f（x）在點x=x0處不連續(xù)，而x0稱為函數(shù)f（x）的間斷點，也稱不連續(xù)點。

書上將間斷點分為四種類型：可去間斷點、跳躍間斷點、無窮間斷點和震蕩間斷點。

從定義的前提看，f（x）在x0的左右兩邊應(yīng)該都有定義。所以對于間斷點x0來說，是雙邊定義。沒有函數(shù)在x0處左間斷或右間斷之說。

2.間斷點在圖形上的體現(xiàn)

連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。那么間斷點就是使非連續(xù)函數(shù)的圖形中斷的點。即若x0為函數(shù)f（x）的不連續(xù)點，那么函數(shù)圖形勢必在點x0處斷開。因而在x0的左右兩邊各有一段曲線。由間斷點的定義，可以畫出間斷點的基本圖形。如圖1和圖2

二、無窮間斷點的理解

無窮間斷點的定義：函數(shù)f（x）在x0的某去心鄰域內(nèi)有定義，且左右極限至少有一個是∞，即f（x）=∞或f（x）=∞或f（x）=∞至少有一個成立，則稱x=x0為f（x）的無窮間斷點。

三、無界間斷點（即瑕點）的理解

1.無界間斷點的定義

若函數(shù)f（x）在x0的任何鄰域內(nèi)無界，則稱x0為函數(shù)f（x）的無界間斷點，也稱瑕點。本文后面都只說瑕點。

顯然，若函數(shù)f（x）在x0的某個鄰域內(nèi)無界，那么f（x）在包含此鄰域的更大鄰域內(nèi)無界。

2.瑕點的構(gòu)成

成為瑕點的前提是函數(shù)要在此點的任何鄰域內(nèi)無界，因而很容易知道，可去間斷點和跳躍間斷點不會是瑕點。那么，哪些點可能是瑕點呢？

情形1 從定義上可知，無窮間斷點一定是瑕點。因為若x0是無窮間斷點，由定義，存在x0的某個去心鄰域，函數(shù)f（x）在這個區(qū)域內(nèi)無界，從而f（x）會在x0的任何鄰域內(nèi)無界，這說明x0為瑕點。

如函數(shù)y=ln|x|，因x=0為無窮間斷點，因而為瑕點。

但是瑕點不一定只有無窮間斷點。

情形2 如前面的函數(shù)y=lnx，x=0不是函數(shù)間斷點，但由于lnx=-∞，可知函數(shù)在右鄰域（0，δ）內(nèi)無界，從而在x=0的任何鄰域內(nèi)無界，于是x=0是函數(shù)的瑕點。

綜上所述，判斷某點是否為給定函數(shù)的瑕點的方法還是根據(jù)定義來判斷函數(shù)是否在此點的任何鄰域內(nèi)有無界來定。

不過，如果某點x0滿足f（x）=∞或f（x）=∞，那么x0一定是函數(shù)的瑕點。（注意x0不一定是函數(shù)的間斷點）。

四、結(jié)論

回到最開始的積分lnxdx，可知x=0是被積函數(shù)lnx的瑕點，不是無窮間斷點。因而選B的同學(xué)是對的。

我們要求學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，不是要他們只會做老師講過的題，得高分，而是希望他們能真正理解數(shù)學(xué)，從而更好的應(yīng)用數(shù)學(xué)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版上冊）[M].高等教育出版社，2011

[2]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)（上冊，理工類第四版）[M].中國人民大學(xué)出版社，2014

【作者簡介】

崔菊連（1972-），女，碩士，籍貫：湖南寧鄉(xiāng)，講師，研究方向：偏微分方程。