高麗，韓樂，姚占林

（華南理工大學 數(shù)學學院，廣東 廣州 510641）

基于投資組合優(yōu)化與條件極值的數(shù)學實驗案例設計

高麗，韓樂，姚占林

（華南理工大學 數(shù)學學院，廣東 廣州 510641）

將金融和社會經(jīng)濟活動領(lǐng)域受到高度關(guān)注的投資組合優(yōu)化模型和條件極值問題引入到數(shù)學實驗課程中，設計難宜適中的數(shù)學實驗案例.借助MATLAB語言編程，將數(shù)學理論工具應用于經(jīng)濟實踐中以解決實際問題，激發(fā)了學生的研究興趣和探索欲望，既實現(xiàn)了教學與科研的資源共享，又豐富了數(shù)學實驗課程的教學內(nèi)容.

投資組合；均值-方差模型；條件極值；數(shù)學實驗

數(shù)學實驗作為一種新的教學模式，其主要目的是引導學生進入做數(shù)學的境界，激發(fā)學生動手和探索的興趣[1]，數(shù)學軟件的學習與使用也將是數(shù)學實驗的主要內(nèi)容[2].學生可以借助計算機實現(xiàn)實驗設計，分析和解決一些經(jīng)過簡化的實際問題，從而體驗應用數(shù)學知識解決實際問題的過程[3].數(shù)學實驗強調(diào)學生自己動手，利用計算機和數(shù)學軟件，從問題情境出發(fā)（實際問題或數(shù)學問題），在教師的指導下，進行探索性實驗，建立數(shù)學模型，設計求解方法，提出猜想并進行證明或驗證，從而使學生的數(shù)學思維和創(chuàng)新能力得到有效的訓練和提高[4-6].數(shù)學實驗的案例設計可以結(jié)合學生的專業(yè)知識和教師的科研特長，豐富數(shù)學實驗的教學內(nèi)容，拓寬學生的視野，與時俱進，為未來的科學研究打下良好的基礎.目前，數(shù)學實驗案例的選取和內(nèi)容的設計多偏重于理工類經(jīng)典問題，相對缺少大多數(shù)學生感興趣的金融類熱點案例.

本文利用現(xiàn)有教學資源與科研平臺，拋開數(shù)學實驗的經(jīng)典問題，將在金融優(yōu)化領(lǐng)域中受到高度關(guān)注的投資組合優(yōu)化模型與條件極值問題[7-8]引入到數(shù)學實驗中，設計難度適中的案例，并用MATLAB[9-10]編程實現(xiàn).該實驗案例的實施，為學生提供了接觸并了解數(shù)學應用和金融優(yōu)化的平臺，引導和鼓勵學生利用計算機技術(shù)和數(shù)理知識與方法解決社會關(guān)注的金融問題.這樣既可以讓本科生及時了解數(shù)學的具體應用，拓寬他們的知識面，提高其數(shù)學的應用能力，又可以激發(fā)學生的探知欲，實現(xiàn)教學與科研的資源共享，使教學與科研相互促進.

1 投資組合優(yōu)化問題介紹

1952年，美國經(jīng)濟學家Harry Markowitz發(fā)表了論文Portfolio Selection[11]，從而奠定了現(xiàn)代投資組合的理論基礎[12].Harry Markowitz對證券市場的最佳投資問題進行了開創(chuàng)性的研究，詳細地論證了證券收益和風險的主要原因和分析方法，提出的均值-方差（Mean-Variance）理論為風險和收益的權(quán)衡提供了可行的量化方法，是現(xiàn)代投資組合理論的開端，在此基礎上開展了大量的研究，目前依然是金融領(lǐng)域的研究熱點[13-14].基于均值-方差模型在現(xiàn)代金融理論中的重要性，本文以經(jīng)典的均值-方差模型為基礎，設計和探索條件極值在實際中如何應用的數(shù)學實驗.

在均值-方差模型中，用均值度量收益，用方差度量風險.眾多的事例表明，絕大多數(shù)投資者都是風險趨避者.投資者追求較高的預期收益，但他們一定都希望避免帶來風險.降低風險的方法就是不要把資金全部放在一種收益和風險都高的證券上，而是分散地投在若干收益和風險不同的證券上，這樣可以使總體風險降下來，降低到投資愿意或可以接受的水平，或者在可以接受的收益水平下達到風險最小.簡而言之，投資組合決策方法是在預期收益給定的條件下，最小化風險；或者在風險給定的條件下，最大化期望收益.

假如從金融市場上已經(jīng)選出了N種證券，xi表示投資到第i種證券的價值比率，即權(quán)數(shù)；p表示由這N種證券構(gòu)成的一個證券組合；表示第i種證券的收益率；rp表示證券組合p的收益率.由于受金融市場波動及投資者個人理財行為等多種因素的影響，和rp一般呈現(xiàn)隨機變化.進一步假設為證券組合p的資金投資比例系數(shù)向量（即權(quán)重向量），也稱為一個投資組合；為證券組合投資的收益率向量；為r的期望向量，即N.定義期望收益率；證券組合投資的風險

基于以上假設，Markowitz 投資組合的均值-方差模型可描述為如下2種基本形式的規(guī)劃模型：

（1）給定期望收益水平的最小化風險模型

其中：r0為證券組合的預期收益率；

（2）給定風險水平的最大化收益模型

2 案例設計與實施

對于一個理性的投資者而言，他們都是厭惡風險而偏好收益的.對于相同的預期收益率，他們會選擇風險最小的組合；對于相同的風險水平，他們會選擇能提供最大收益率的組合.能同時滿足這2個條件的投資組合就是有效集（efficient set），又稱有效邊界、有效前沿（efficient frontier）.處于有效邊界上的組合稱為有效組合（efficient portfolio）.

例 從Wind數(shù)據(jù)庫中選取了中國股票市場2014-01-02至2016-02-25共523個交易日中5只股票（啟明星辰002439，太安堂002433，新湖中寶600208，盛和資源600392，林洋電子601222）的前復權(quán)開盤價與收盤價數(shù)據(jù)，要求使用MATLAB軟件編程找出有效組合曲線以及相對應的投資組合策略，并判斷有效組合曲線軌跡的特點.

本組40例患者發(fā)現(xiàn)病灶40處，均表現(xiàn)為單發(fā)，其中右肺18例、左肺22例。直接征象：空洞（呈厚壁或薄壁）、腫塊（邊界清晰或不清晰，呈類圓形或不規(guī)則）、磨玻璃征（密度影略高，邊界不清晰）；間接征象：分葉征（≥1個弧形突起存在于腫瘤邊緣）、血管集束征、胸膜凹陷（同腫塊相連的線性影像或小三角形影像）、毛刺征（呈短細線條狀影，腫塊邊緣分布呈放射狀）等，此外還存在胸腔積液、支氣管氣象征、空泡征、血管集束征、棘狀突起等。

問題分析 有效組合問題可以化為模型（1）和模型（2）的求解問題.事實上，Markowitz投資組合的均值-方差模型就是一個多元條件極值問題.表達式（1）中的最小化風險即為最小化目標函數(shù)，收益和權(quán)重為約束條件；表達式（2）中最大化收益即為最大化目標函數(shù)，風險和權(quán)重為約束條件.

撇開具體問題，抽象出數(shù)學的一般方法.一般地，尋求目標函數(shù)

在條件約束

下取得極值的必要條件.

拉格朗日乘子法是解決條件極值的一般方法，引入拉格朗日函數(shù)，極值的必要條件化為求解方程組

方程組（5）即為拉格朗日函數(shù)關(guān)于變量x，y和λ求一階偏導為零.解方程組（5）即可得到函數(shù)在條件約束下的可能極值點.

在拉格朗日乘子法基礎上擴展得到了廣義化的方法，稱為KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件.在求取有約束條件的優(yōu)化問題時，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT條件是2種非常重要的方法.對于等式約束的優(yōu)化問題，可以應用拉格朗日乘子法去求取最優(yōu)值；對于含有不等式約束的優(yōu)化問題，可以應用KKT條件去求取.拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT條件求得的結(jié)果只是必要條件，只有在目標函數(shù)為凸函數(shù)的情況下，才能保證是充分必要條件.

（3）計算向量X和Y的協(xié)方差，并返回ExpCovariance中.

通過MATLAB中的函數(shù)求得收益率均值與協(xié)方差矩陣（見表1和表2）.

表1 5只股票的收益率均值

表2 5只股票的收益協(xié)方差矩陣×10-3

（4）求解約束條件下有效前沿的函數(shù)可使用Frontcon函數(shù) [PortRisk，PortReturn，PortWts]=frontcon（ExpReturn，ExpCovariance，NumPort），F(xiàn)rontcon函數(shù)的各參數(shù)含義見表3.

表3 Frontcon函數(shù)的各參數(shù)含義

本實驗取30個投資組合，即NumPort=30，由Frontcon函數(shù)，求得各個投資組合的風險、收益率（見表4）與各股比例（見表5）.

表4 投資組合的風險與收益率

表5 投資組合的權(quán)重

（5）利用畫圖命令plot（PortRisk，PortReturn，'r+ -'），可以得出有效前沿（見圖1）.

案例分析

由圖1可以看出，以標準差為風險度量的均值-方差模型有效前沿的基本形狀為一條單調(diào)增的凹形曲線.

投資決策的核心問題是收益和風險之間的權(quán)衡.如果2個決策會帶來相同的預期收益但要承受不同的風險，那么，風險大的那個決策是應該摒棄的；反之，如果承受相同的風險而有不同的預期收益，那么，預期收益小的那個決策也不是好的決策.投資者在高收益和低風險低收益之間，按照自己對收益和風險的偏好進行權(quán)衡和選擇.在實際操作中，可以參考圖1的有效前沿，根據(jù)投資者的偏好，選擇合適的投資組合配置.分析數(shù)據(jù)可見，當保守的投資者選擇風險最小為 0.024 3時，得到的投資組合收益為0.001 6，相應的策略為表5中的第1個策略：0.086 7，0.135 1，0.251 6，0.331 5，0.195 1，當投資者選擇收益最大為0.003 4時，面臨著投資組合風險為0.038 7，相應的投資組合策略為表5中的最后一個策略：1.000 0，0，0，0，0.

圖1 以標準差為風險度量的均值-方差模型的有效前沿

3 結(jié)語

在金融市場中投資者在高風險高收益和低風險低收益之間，按照自己對收益和風險的偏好進行權(quán)衡和選擇.投資組合選擇就是如何配置各種有價證券的比例來最好地符合投資者對風險和收益的權(quán)衡.在該案例中，學生可利用拉格朗日乘子法的思想，根據(jù)收益和風險的不同取值進行條件極值的運算和模擬，以尋求滿足不同投資需求的最優(yōu)方案.從案例的實施過程中理解條件極值問題和拉格朗日乘子方法的理論與應用，并將金融理論專業(yè)知識靈活運用于金融實踐操作中.

本文以金融模型為基礎，以數(shù)學工具的運用為核心設計實驗案例.通過軟件編程，引導學生探索專業(yè)研究前沿，活學活用，激發(fā)學生研究興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，以期能夠做到教學、實驗和應用三者的有效結(jié)合，培養(yǎng)出社會發(fā)展需要的高素質(zhì)應用型人才，真正實現(xiàn)科研與教學相長.

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The design of a mathematical experiment based on portfolio optimization and conditional extremum

GAO Li，HAN Le，YAO Zhan-lin
（School of Mathematics，South China University of Technology，Guangzhou 510641，China）

A mathematical experiment was presented on portfolio optimization and conditional extremum，which are widely used in the finance and socio-economic activity.Designs the mathematical experiment which was moderate in terms of difficulty，the mathematical theory as a tool was applied to economic practice by MATLAB language，which motivated the students' desire and interest of exploration among concrete practices.The design of this experiment implements the resource sharing of teaching and research and also enriches the teaching content of mathematical experiment course.

portfolio；mean-variance model；conditional extremum；mathematical experiment

O29∶F830

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.12.004

2016-09-27

廣東省高等教育教學研究和改革項目——經(jīng)管類和電信類交叉探索性數(shù)學案例教學改革研究；華南理工大學實驗教學改革項目（Y1140730）——經(jīng)管類探索性數(shù)學實驗案例教學研究；廣東教育教學成果獎（高等教育）培育項目——具有專業(yè)特色的數(shù)學實驗研究型教學探索與實踐

高麗（1978-），女，河南周口人，講師，博士，從事金融優(yōu)化計算研究.E-mail：gaoli@scut.edu.cn

1007-9831（2016）12-0017-05