張莉 逯貴禎

(中國傳媒大學通信工程系,北京100024)

基于復合網格方法的低頻近場通信天線等效電路參數分析

張莉 逯貴禎

(中國傳媒大學通信工程系,北京100024)

為解決計算區(qū)域的大尺度與天線尺寸的小尺度問題,將復合網格法應用于近場通信(Near-Field Communication, NFC)天線等效電路參數的提取與計算,該方法可以在計算效率和計算精度之間達到很好的平衡．為避免麥克斯韋方程的“低頻崩潰”問題,低頻位移電流很小時,采用靜態(tài)場方法分析低頻NFC天線的近場參數．其中對線圈天線分布電容的計算不同于以往的實驗測量、理論估算和數值計算等研究方法,而是基于其定義計算線圈相對于接地點的電容,該方法可以得到與參考文獻一致的計算結果,同時具有能夠分析周圍環(huán)境對分布電容影響的優(yōu)點．通過有限元分析，將復合網格法與均勻網格法的計算結果對比,證明了復合網格法在三維電磁場應用的可能性以及準確性．

復合網格;NFC天線;等效電路;有限元

引 言

隨著無線通信的迅猛發(fā)展,與電磁近場相關的工程應用日益增多，其中近場通信(Near Field Communication, NFC)天線是在射頻識別(Radio Frequency Identification, RFID)基礎上發(fā)展起來的一種近距離無線通信技術,其通信頻率為低頻段13.56 MHz,近年來受到非常大的關注和研究[1-2]．

在NFC天線的靜態(tài)場近似分析中,由于天線尺寸很小,通常是幾毫米的大小,計算區(qū)域通常是天線尺寸的幾十倍,因此帶來很大的計算量．為了解決計算區(qū)域的大尺度與天線尺寸的小尺度問題,D. S.Wang[3]首次提出將復合網格法應用于電磁學領域,P.Ying[4]首次將復合網格法應用于分析運動電磁問題中運動體渦流區(qū)的計算,文獻[5]討論了復合網格法在穩(wěn)態(tài)電磁學與運動電磁學中的應用，逯貴禎教授[6]首次將該方法應用于電小細線物體的二維電磁散射問題,但迄今為止未看到復合網格法應用于三維電磁場的問題求解．

NFC天線等效電路參數的提取方法大致可分為實驗測量、理論估算以及數值計算方法三類:

1) 實驗測量方法

Thomas Bauernfeind等通過阻抗分析儀獲取1 MHz頻率下的電阻和電感,利用諧振頻率和關系式計算出13.56 MHz下RS、LS、CP的數值[7]．

該方法的優(yōu)點是可以得到NFC天線的實際等效電路參數．但是對于與電路集成的NFC天線,其測量是一個非常復雜的過程．

2) 理論估算方法

文獻[8]計算平面線圈電感數值時,基于Greenhouse的理論推導,分別計算每段平直線段的自感以及與其他線段的互感從而得到總的電感數值[8],該算法計算過程復雜,尤其對于多匝線圈．也有研究者提出環(huán)形和方形天線電感的數值可以通過文獻[9]中公式估算,但公式中未考慮線圈的厚度,與實際值存在誤差．

文獻[10-12]均基于螺旋線圈計算其分布電容,其中文獻[11]先算出兩小段同心圓弧間電容,再通過螺旋線方程積分計算出總分布電容;文獻[10]先計算基本結構單元的分布電容,再通過與鄰近線圈的電容效應相互并聯計算總分布電容．

該方法僅考慮鄰近線圈之間的電容效應,對于平面螺旋線圈而言,不相鄰線圈之間的電容效應也須加以考慮．

3) 數值計算方法

Thomas Bauernfeind[7]采用準靜態(tài)磁場(Quasi-static magnetic field)、全波分析和HFSS軟件計算NFC天線等效電路參數LS、RS和CP．文獻中準靜態(tài)分析方法由于忽略線圈的電容效應,只能計算出電阻和電感;全波分析法雖可以計算出三個等效數值,但耗費的內存和計算時間非常大．

考慮到麥克斯韋方程的“低頻失效”,數值法在低頻電磁場分析中,會遇到和波長相關的邊界尺寸與天線精細結構的最小尺寸不能兼顧的限制．在計算近場參數時,低頻位移電流的影響很小,因此本文提出將復合網格方法應用于三維電磁場問題中,利用靜電場方法計算電容參數．電容的獲取源自電容的定義式,計算線圈相對于接地點的電容．該思路不同于以往研究者們提出的電容方法,其優(yōu)點在于根據接地點的位置計算線圈的分布電容,不僅可以計算自由空間線圈的分布電容,還可以計算由于環(huán)境因素所帶來的分布電容變化．

本文在靜電場條件下應用復合網格法計算分布電容,準確、省時且能減少求解的未知量數目,這將為電磁場低頻段問題的求解提供非常重要的計算方法．

1 低頻電磁場分析方法

1.1 低頻電磁場的靜態(tài)場近似

時變電磁場滿足麥克斯韋方程

(1)

在頻率很低時，磁場數值很小,所以式(1)中的第二式去掉jωD后對磁場影響很?。陔妶龅男确匠讨?電場的旋度與jωB有關,而該項與電場的散度分量相比也很小,可以近似忽略．因此,在低頻近似條件下,只需求解磁場的旋度分量與電場的散度分量．對于電場的散度部分,由麥克斯韋方程可得靜電勢滿足

(2)

而電場與標勢滿足

(3)

對于磁場的旋度分量,由麥克斯韋方程可得矢勢A滿足

(4)

矢勢A與磁通密度滿足

B=×A.

(5)

1.2 復合網格計算方法

為了解決計算區(qū)域的大尺度與天線尺寸的小尺度問題,研究其整體性能,提高電磁數值計算的精度,傳統的方法是重新對所有區(qū)域進行細小網格劃分,這樣的做法既增加了剛性矩陣的條件數,同時也帶來計算量劇增、耗費大量計算機內存資源的問題,對于三維電磁散射問題尤其嚴重．復合網格法則利用區(qū)域分解法的思路,避免多重網格法在細密網格時需要在全局加密的缺點,根據想要得到精確解的位置對局部區(qū)域采用另一套網格并且進行加密處理．其中粗、細網格均為獨立生成．

1.2.1 復合網格法原理

以二維平面分析為例說明復合網格法在計算圖1(a)所示區(qū)域的應用．根據需要對圖1(c)所示部分區(qū)域進行細網格的分析計算．利用復合網格法計算時,首先需要對整個區(qū)域進行粗網格分析, 如圖1(b)

(a) 整體區(qū)域

(b) 粗網格計算區(qū)域

(c) 細網格計算區(qū)域圖1 各種計算區(qū)域

所示，再利用粗網格的計算結果在粗細網格的交界處,通過插值方法給出細網格區(qū)域計算的邊界條件,由此可實現大幅度減少未知量數目,同時又可以保證在所關心區(qū)域的計算精度．

考慮式(6)算子形式的偏微分方程求解問題:

Lu=f.

(6)

式中:L為偏微分算子;u為要求解的未知變量;f為源項．采用有限元方法分析低頻NFC天線的近場特性時,對于粗網格區(qū)域,相應的算子方程和有限元伽遼金公式分別為:

Lcv=fc;

(7)

〈Lcu,δv〉=〈fc,δu〉.

(8)

式中:Lc為對應于粗網格的算子;v為對應粗網格方程(7)的解;fc為激勵源函數．

對于細網格求解,細網格區(qū)域的邊界采用粗網格計算的結果為細網格區(qū)域的邊界,相應的算子方程和有限元伽遼金公式分別為:

Lfu=ff;

(9)

〈Lfu,δv〉=〈ff,δu〉

(10)

式中:Lf為對應細網格化分的算子;u是對應細網格方程(9)的解;ff是細網格的激勵源函數．復合網格方法中,粗細網格可以獨立劃分,粗細網格之間通過邊界條件連接．

(11)

v=VTDΦ．

(12)

式(7)和式(9)若改寫為等效積分形式,計算表達式可改寫為:

(13)

=VTD(〈LcΦT,Φ〉ΩfUc-〈fc,Φ〉Ωf)

-(〈LfΦT,Φ〉ΩfUf-〈ff,Φ〉Ωf)

=VTDK.

(14)

式中:系數K表示細網格計算值對粗網格的余量進行校正;D是粗網格計算值向細網格映射的插值矩陣,余量校正可以通過與D矩陣相乘作用到粗網格的計算方程中．細網格區(qū)域內部的任一點都滿足式(7)和式(9),因此其對應的余量校正為零,而余量校正不為零的部分僅在細網格邊界上．

在計算細網格問題時,粗細兩個網格邊界上的邊界值可以通過式(15)的插值方法得到:

(15)

式中D矩陣的形式為

(16)

m為細網格的節(jié)點數;n為粗網格每個單元的節(jié)點數．

在細網格經過局域分析后,為得到更精確的電位和密度,局部區(qū)域的電位結果會再次應用于修正的全局分析,而修正的全局分析結果會再次反饋到局域分析中,這樣經過多次的迭代計算,最終得到高精度的數值結果[13-14]．

1.2.2 復合網格法穩(wěn)定性分析

在均勻網格方法中,要求網格單元之間是單值連續(xù)的,此時稱單元之間是協調的．對于協調完備單元,有限元方法是穩(wěn)定和收斂的．對于復合網格,粗網格與細網格之間是分別劃分的網格,它們形成各自的有限元求解方程,粗細網格之間的聯系通過插值方法實現,因此不會出現單元之間不協調所帶來的不穩(wěn)定問題．考慮如圖2所示的粗細網格(以四邊形網格為例說明)．

圖2 粗網格的數值插值到細網格的邊界

在細網格求解步驟中,利用ABCD所包圍大四邊形的粗網格得到的有限元數值解通過插值得到相應四個邊上細網格位置上的節(jié)點值．這些數值確定后,求解細網格區(qū)域有限元解,這個過程不會出現連接邊界函數值不協調的問題,因此是穩(wěn)定和收斂的．在粗網格區(qū)域求解步驟中,中間細網格邊界點的函數值作為粗網格的邊界條件,同樣也是穩(wěn)定的邊值問題,因此是穩(wěn)定和收斂的．

2 低頻NFC天線電磁場分析

一般NFC天線的螺旋線結構如圖3所示,天線的輸入阻抗計算對于實現天線與激勵電路的匹配具有重要的影響,其等效電路如圖4所示．

圖3 帶介質板的平面螺旋線圈模型

圖4 螺旋線圈的等效電路

本文基于低頻問題的準靜態(tài)性質,提出利用靜態(tài)場的方法提取NFC天線等效電路參數:利用靜電場有限元方法計算電容．

在靜態(tài)場的有限元計算中,可以采用無限元方法(Infinite Element Method, IFEM)截斷無限大空間．無限元方法是處理無限大區(qū)域的一種網格剖分和相應基函數的方法,通過引入無限元網格和對應的基函數,可以非常逼近模擬無限計算空間．其邊界設置如圖5所示．

線圈天線分布電容的計算在目前文獻的計算方法中,一種是利用射頻方法計算線圈的諧振頻率,再利用已經計算得到的電感,通過計算推導出分布電容．文獻[7]提出了一種利用準靜態(tài)場方法求解線圈分布電容的方法．在本文研究中,提出了另一種不同的求解線圈分布電容的方法,該方法根據電容的定義,直接計算線圈相對于接地點(零電位)的電容．這個方法的優(yōu)點在于根據接地點的位置計算線圈的分布電容,不用去單獨考慮線圈的內部電容,計算出來的結果即為自由空間中線圈的分布電容,另外還可以計算由于環(huán)境因素所帶來的分布電容變化．

3 計算結果與討論

為方便對比驗證,我們選擇與文獻[7]相同尺寸的線圈:4匝矩形銅線圈,外圍尺寸為30 mm×17 mm,線圈寬度為1 mm,間距為0.5 mm,厚度為35 μm,介質板材料為FR4,厚度為1.2 mm,如圖3所示,并設定其無限元邊界,如圖6所示．

圖6 無限元邊界的線圈模型

利用復合網格法得到不同區(qū)域的粗網格與細網格,如圖7所示．

圖7 不同網格尺寸劃分

3.1 均勻網格法計算電容

在靜電場作用下,用均勻網格法仿真計算出線圈電容數值,均勻網格剖分時,設置為精細網格,最小網格尺寸為2 mm,與文獻[7]數據對比結果如表1所示．

表1 電容數值結果對比

由表1可知,靜電場均勻網格的數值結果與參考文獻[7]的HFSS數據稍有差距,分析其原因:模型中線圈35 μm的厚度被忽略,由于35μm的厚度太薄,網格無法精細劃分,會導致計算結果錯誤．基于電容數值與線圈厚度基本呈現正比關系,選擇采用插值推算法,選擇6種不同厚度線圈模型分別計算電感,結果如表2所示．

表2 不同線圈厚度的電容值

利用線性插值公式y2-y1=k(x2-x1)推算35 μm對應的電容數值,取其平均值,最后得到本文線圈模型對應的電容數值為1.199 9 pF．該結果與HFSS[7]計算結果1.215 pF非常接近,但二者與文獻[7]的實驗結果1.727 pF差距較大．分析其差距原因,可能為線圈的測試環(huán)境影響,若在線圈周圍存在導體則導致地不在無限遠,經對比發(fā)現隨著地距離線圈越近,電容值越大,如圖8所示,可看出線圈周圍一旦出現導體,將直接影響其等效電容．

圖8 非無限元法與無限元法的結果對比

3.2 復合網格法計算電容

以計算線圈分布電容為例,應用復合網格法剖分,在空氣區(qū)域用粗網格(網格尺寸為3 mm,)剖分,在介質板和線圈區(qū)域用精細網格(網格尺寸為1 mm)．仍選擇圖6所示線圈模型,與均勻網格法對比數值結果,以及未知量數目和耗時,如表3所示．

表3 復合網格法與均勻網格法對比

表3中均勻網格法使用的計算機配置為:64位操作系統,處理器為Intel Xeon CPU E5-2660 @2.2 GHz(雙處理器),內存128 G; 復合網格法使用的計算機配置為: 32位操作系統,IntelCore i7-2640M CPU@2 GHz,內存4 G．從數據結果可以看出,由于復合網格法利用迭代算法,其求解的未知量數目少于均勻網格法,即使計算機配置降低,內存減少,其求解時間依然比均勻網格法縮短約57%,并且相比于均勻網格劃分,計算結果與實驗結果(實驗結果包含了周圍環(huán)境對于線圈的影響,因此更接近真實等效數值)更加接近．如若為提高計算精度,進一步加密均勻網格,其未知量數目將大大增加,計算耗時大大增加,對計算機的配置要求依然很高,因此從計算耗時、計算機配置以及未知量求解數目和結果精度來看,復合網格法在三維電磁場應用的求解中,可以成為一個非常好的減少未知量、提高計算精度的方法．

3.3 相對誤差對比分析

以文獻[7]實驗測試電容數值1.727 pF為基準,將幾種方法得到的電容相對誤差匯總,見表4．

表4 相對誤差對比

由表4可見靜電場均勻網格法與HFSS方法的數值,相對于實驗測試值的相對誤差很接近,但其未知量和耗時相對HFSS方法卻極大地減少,證明了應用靜電場復合網格法計算分布電容方法,準確、省時且能減少求解的未知量數目,這將為電磁場低頻段問題的求解提供非常重要的計算方法．

4 參數討論

基于線圈分布電容的計算結果,我們繼續(xù)深入討論有限元仿真參數設置對數值求解結果的影響．選擇網格尺寸大小、邊界球半徑大小以及無限元厚度三個參數進行討論．

4.1 網格尺寸參數

有限元方法將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個單元組成的離散域,習慣上稱為有限元網絡劃分．顯然單元越小(網絡越細)則離散域的近似程度越好,計算結果也越精確,但計算量及誤差都將增大,因此求解域的離散化是有限元法的核心技術之一．在本文模型中我們利用多尺度劃分網格:介質板和球體采用粗網格,螺旋線圈部分采用精細網格,改變精細網格的尺寸,從5 mm變化到0.25 mm,分別計算電容數值．

我們發(fā)現網格劃分越粗,電容數值越大,隨著網格尺寸減小,電容值減小并逐漸趨于不變．由此可見網格的設置對于計算結果的影響不可忽略．

4.2 邊界球半徑參數

邊界球的大小決定了截斷空間的大小,我們設定半徑大小從50 mm變化到1 000 mm,隨著邊界球半徑的增大,電容值亦發(fā)生變化,邊界設定越大,其仿真環(huán)境越逼近真實空間．但同時也會急劇增加未知量數目,需要在二者之間權衡．

4.3 無限元厚度參數

處理無界域時引入一種幾何上無限大的“有限”單元,在概念上它是有限元的延伸,是一種在幾何上可以趨于無限遠處的單元,但由于無限元必須反映近場的邊界特征或與模擬近場的有限元結合,它實際上只在一個方向趨于無限[15]．

無限元的厚度參數選擇從5 mm變化到38 mm,隨著無限元厚度增加,電容值變化幅度不大,說明該參數數值變化對于計算結果的影響可以忽略．

5 結 論

本文將復合網格法應用于NFC天線的等效電路參數的提取與計算,為避免麥克斯韋方程的“低頻崩潰”問題,在提取NFC天線的電路等效參數時,創(chuàng)新性地利用靜電場和靜磁場有限元分析方法與無限元方法的結合,有效地截斷無限遠邊界,模擬靜態(tài)場中的無限大空間,計算出NFC天線線圈的分布電容．這與傳統高頻仿真軟件的計算方法大不相同,同時也克服了高頻仿真軟件在解決低頻問題時的困難．

通過復合網格法與均勻網格法的計算結果對比,證明了復合網格法在三維電磁場應用的可能性以及準確性;通過與文獻[7]的HFSS仿真數據對比,靜場分析法與其相對誤差均低于1.3%,證明了靜態(tài)場近似方法的正確性與可行性,這將為低頻及以下頻率的問題分析提供非常重要的計算手段,彌補了有限元法在低頻段問題計算的不足．

鑒于線圈很薄,仿真模型的平面線圈并不能完全等同于實際模型,在數據處理中本文通過插值推算法得到更精確數值．

最后通過調整劃分網格大小、邊界球半徑以及無限元厚度三個參數,討論其對仿真數值結果的影響,其變化規(guī)律也將對有限元分析設定參數提供參考依據．

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Equivalent circuit of the near field communication antenna at low frequency based on composite grid method

ZHANG Li LU Guizhen

(DepartmentofCommunicationEngineering,CommunicationUniversityofChina,Beijing100024,China)

To solve the conflict of the large scale and the small scale in the solution domains, the finite element composite grid method (CGM) is put forward in the equivalent circuit parameters extraction for the near-field communication(NFC) antenna. This method is to balance the calaulation efficiency and the accuracy. To avoid the breakdown of Maxwell equations at low frequency, the static field method is proposed for extracting the equivalent circuit parameters for the NFC antenna, considering the low value of the displacement current at low frequency. The distributed capacitance of the NFC antenna was usually got by the measurement method, the theoretical estimation method and the full wave analysis method before. Different from those methods, in this paper a novel method based on the definition of capacitance, is obtained by computing the capacitance of the coils relative to the ground. The results are coincident with the references, meanwhile, this method can also estimate the effects of the surroundings. Additionally, the comparison of the regular finite element method and the composite grid proves the practicability in electromagnetic 3-D model.

composite grid method; NFC antenna; equivalent circuit; finite element

10.13443/j.cjors.2016032101

2016-03-21

TN820

A

1005-0388(2016)06-1145-08

張莉 (1978-),女,山西人,碩士,副教授,主要從事計算電磁數值仿真、電磁兼容方面的研究．

逯貴禎 (1957-),男,北京人,博士,教授,主要從事天線設計、電磁計算和電磁兼容方面的研究．

張莉,逯貴禎.基于復合網格方法的低頻近場通信天線等效電路參數分析[J]. 電波科學學報,2016,31(6):1145-1152.

ZHANG L, LU G Z. Equivalent circuit of the near field communication antenna at low frequency based on composite grid method[J]. Chinese journal of radio science,2016,31(6):1145-1152. (in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.2016032101

聯系人： 張莉 E-mail: zhangli@cuc.edu.cn

DOI 10.13443/j.cjors.2016032101