楊林森 張子敬 郭付陽

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710071)

基于Radon-Ambiguity變換的LFM信號時(shí)/頻差快速聯(lián)合估計(jì)

楊林森 張子敬 郭付陽

(西安電子科技大學(xué) 雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710071)

提出了一種基于Radon-Ambiguity變換(Radon-Ambiguity Transform, RAT)的線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulated, LFM)信號時(shí)/頻差快速聯(lián)合估計(jì)的算法。根據(jù)LFM信號在多個(gè)不同角度上的RAT峰值位置建立一組以信號間時(shí)差和頻差為未知量的方程組，求解方程組即可得到時(shí)/頻差的估計(jì)值。對于存在噪聲的信號，RAT誤差會導(dǎo)致方程組不能直接求解，為了抑制噪聲干擾，采用最小二乘法估計(jì)時(shí)/頻差。本文算法無需計(jì)算二維平面上各點(diǎn)的模糊函數(shù)值，并且由于離散RAT可以通過快速傅里葉變換快速實(shí)現(xiàn)，具有所需運(yùn)算量低的優(yōu)點(diǎn)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，相比于常見的基于模糊函數(shù)峰值搜索的時(shí)/頻差估計(jì)算法，本文算法在保證時(shí)/頻差估計(jì)精度的同時(shí)能夠顯著地提高運(yùn)算效率。

Radon-Ambiguity變換；最小二乘法；時(shí)/頻差；線性調(diào)頻信號

引 言

對于兩路信號間時(shí)差和頻差的估計(jì)問題廣泛地存在于雷達(dá)，聲納和導(dǎo)航的很多應(yīng)用之中[1-4].在無源定位技術(shù)中，常常根據(jù)兩路接收信號間的時(shí)差和頻差對目標(biāo)輻射源進(jìn)行精確定位.雙星時(shí)/頻差定位是一種最常見的無源定位技術(shù)的應(yīng)用，它利用兩顆衛(wèi)星接收同一地面輻射源的輻射信號，由于兩顆衛(wèi)星相對于該地面輻射源具有不同的距離和徑向速度，因此衛(wèi)星接收到的兩路信號間存在時(shí)差和多普勒頻差.由兩路接收信號間的時(shí)差和頻差可以確定出目標(biāo)輻射源在空間中可能出現(xiàn)的區(qū)域范圍，再結(jié)合地球表面方程，即可最終實(shí)現(xiàn)地面輻射源的精確定位，顯然時(shí)/頻差估計(jì)技術(shù)直接影響到最終的定位性能.模糊函數(shù)是估計(jì)信號間時(shí)/頻差最常使用的工具[5]，模糊函數(shù)是一種在時(shí)間和頻率二維平面上定義的廣義相關(guān).若兩路信號間僅存在時(shí)差，利用時(shí)域相關(guān)即可有效地估計(jì)該時(shí)差，然而當(dāng)兩路信號間同時(shí)存在時(shí)差和頻差時(shí)，時(shí)域相關(guān)顯然無法滿足時(shí)差和頻差的同時(shí)估計(jì)，模糊函數(shù)作為時(shí)頻二維平面上的廣義相關(guān)，可以實(shí)現(xiàn)兩路信號間時(shí)差和頻差的同時(shí)估計(jì).類似于由時(shí)域相關(guān)峰值估計(jì)時(shí)差的過程，利用兩路信號間互模糊函數(shù)峰值位置也可以實(shí)現(xiàn)信號間時(shí)差和頻差的估計(jì).然而，計(jì)算二維模糊平面上各點(diǎn)的模糊函數(shù)值并搜索峰值意味著巨大的運(yùn)算量，信號間的時(shí)/頻差僅僅與模糊函數(shù)峰值點(diǎn)位置有關(guān)，為了尋找峰值而計(jì)算整個(gè)模糊平面上各點(diǎn)的函數(shù)值顯然存在巨大的計(jì)算冗余.為此，研究人員提出了很多提高模糊函數(shù)峰值搜索效率的改進(jìn)算法.文獻(xiàn)[6]提出了先粗估計(jì)模糊函數(shù)峰值位置再精估計(jì)的思路，減少了很多不必要的計(jì)算.文獻(xiàn)[7]根據(jù)多普勒頻移一般遠(yuǎn)小于采樣頻率的特點(diǎn)，提出對兩路信號的混合積信號先進(jìn)行低通濾波再抽取處理過程，顯著地減小了所處理信號的長度，從而降低了運(yùn)算量.對于線性調(diào)頻(Linear Frequency Modulated, LFM)信號，文獻(xiàn)[8]根據(jù)其模糊函數(shù)圖存在一條過峰值點(diǎn)、斜率為調(diào)頻率的脊線的特點(diǎn)，將模糊函數(shù)二維峰值搜索轉(zhuǎn)化為沿脊線的一維峰值搜索，從而顯著地降低了時(shí)/頻差估計(jì)所需的運(yùn)算量.

分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(fractional Fourier transform, FrFT)作為傅里葉變換的推廣，廣泛地應(yīng)用于信號的檢測以及參數(shù)估計(jì)等問題中[9-12].文獻(xiàn)[13]中給出了離散FrFT基于快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)的快速實(shí)現(xiàn)方法，運(yùn)算復(fù)雜度與FFT算法相當(dāng).Radon變換是一種沿直線積分的投影變換[14]，Radon-Ambiguity變換(Radon-Ambiguity Transform, RAT)將信號的模糊函數(shù)在模糊平面上進(jìn)行Radon變換.文獻(xiàn)[15]結(jié)合FrFT和模糊函數(shù)的性質(zhì)，將RAT的定義式化簡為基于若干次FrFT和傅里葉變換的形式，因此離散RAT可以通過若干次FFT快速實(shí)現(xiàn)，顯著地降低了RAT所需的運(yùn)算量.

本文提出了一種基于RAT的LFM信號時(shí)/頻差快速聯(lián)合估計(jì)算法.首先根據(jù)兩路LFM信號在不同角度上RAT的峰值位置建立一組以時(shí)差和頻差為未知量的方程組，求解方程組即可獲得時(shí)差和頻差估計(jì)值.對于受到噪聲干擾的信號，RAT誤差會導(dǎo)致方程組不能直接求解.為了抑制噪聲的影響，采用最小二乘法求解時(shí)/頻差.最后，通過理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)，分別對比了本文算法和文獻(xiàn)[8]提出的Radon-Ambiguity單切片(single slice of Radon-Ambiguity transform，SSRAT)時(shí)/頻差估計(jì)算法所需的運(yùn)算時(shí)間和估計(jì)精度.

1 模糊函數(shù)及Radon-Ambiguity變換

假設(shè)在噪聲環(huán)境中存在時(shí)差和頻差的兩路LFM信號為

(1)

對于兩路信號r1(t)和r2(t),其互模糊函數(shù)定義為[5]

(2)

若不考慮噪聲影響,將式(1)代入式(2),可以得到LFM信號的互模糊函數(shù)

(3)

由式(3)可以看出,LFM信號互模糊函數(shù)存在一個(gè)峰值點(diǎn)(Δτ,Δf),并且在二維模糊平面上還存在一條過峰值點(diǎn)的脊線,脊線所對應(yīng)的方程為

f=mτ+Δf-mΔτ．

(4)

RAT變換是對信號的模糊函數(shù)χ(τ,f)在二維模糊平面上做Radon投影變換[14]的結(jié)果．圖1為RAT變換的示意圖,圖中τ軸和f軸分別為模糊平面的時(shí)延軸和多普勒頻率軸,將τ軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度φ得到u軸,v軸垂直于u軸．信號在角度φ上的RAT定義為模糊函數(shù)χ(τ,f)沿著平行于v軸并且與u軸交于不同位置的直線PQ的積分變換,即

RAT(u,φ)=∫PQχ(τ,f)dv．

(5)

圖1 RAT變換示意圖

若根據(jù)式(5)計(jì)算RAT,則需先計(jì)算模糊函數(shù)在二維平面上各點(diǎn)的函數(shù)值,然后再對模糊函數(shù)沿不同的積分路徑進(jìn)行積分,需要巨大的運(yùn)算量,不利于快速實(shí)現(xiàn)．文章[15]結(jié)合FrFT和模糊函數(shù)的性質(zhì),將信號的RAT化簡為基于FrFT和傅里葉變換的等價(jià)形式:

(6)

式中:Rφ(r)為信號r(t)在角度φ上的FrFT．由于離散FrFT能夠通過FFT快速實(shí)現(xiàn)[13],因此,根據(jù)式(6),離散RAT可以通過若干次FFT快速實(shí)現(xiàn),能夠顯著地提高RAT的計(jì)算效率．

2 利用RAT估計(jì)LFM信號時(shí)/頻差

(7)

根據(jù)式(4),LFM信號的模糊函數(shù)存在一條過峰值點(diǎn)且斜率為調(diào)頻率m的脊線．模糊函數(shù)上的主要能量都集中在脊線上,當(dāng)φ=arctanm時(shí),RAT的積分路徑與LFM信號模糊函數(shù)的脊線平行,脊線上的所有點(diǎn)將投影聚焦于一點(diǎn),產(chǎn)生一個(gè)極大的峰值,因此信號在角度φ=arctanm的RAT峰值具有很強(qiáng)的抗噪聲性能,建立的方程式(7)具有較高的精度．然而,當(dāng)φ≠arctanm時(shí),RAT峰值點(diǎn)的產(chǎn)生過程沒有積累的作用,RAT峰值點(diǎn)的位置估計(jì)易受到噪聲的干擾,建立的方程式(7)易受噪聲干擾而產(chǎn)生誤差．因此,由兩個(gè)不同角度的RAT峰值位置建立的方程組中至少存在一個(gè)易受噪聲干擾方程,最終求解的時(shí)/頻差估計(jì)值無法保證精度．為了抑制噪聲對時(shí)/頻差估計(jì)精度的影響,本文將選取多個(gè)不同角度進(jìn)行RAT,利用多次觀測來降低單次觀測的誤差對時(shí)/頻差估計(jì)值的影響．

(8)

Ax=b．

(9)

(10)

將LFM信號在各角度的RAT峰值位置觀測向量b代入式(10)即可得到時(shí)/頻差的最小二乘估計(jì)．

本文提出的基于RAT的LFM信號時(shí)/頻差快速聯(lián)合估計(jì)算法的步驟可以總結(jié)如下:

1) 在區(qū)間[0,π)均勻選取M個(gè)角度,記為φi(i=1,…,M)．提前計(jì)算式(10)中的矩陣(ATA)-1AT．

4) 對于步驟3)中得到的乘積信號,計(jì)算其逆FFT,結(jié)果即為兩路信號在角度φi上的RAT．

6) 利用式(10)直接計(jì)算兩路LFM信號間時(shí)/頻差的最小二乘解．

3 算法運(yùn)算量分析

模糊函數(shù)是估計(jì)信號間時(shí)/頻差最常用到的工具,為了提高模糊函數(shù)峰值搜索的運(yùn)算效率,文獻(xiàn)[8]提出了SSRAT算法．SSRAT算法利用LFM信號模糊函數(shù)在二維平面上存在一條過峰值脊線的特點(diǎn),首先估計(jì)出LFM模糊函數(shù)脊線的位置,然后沿著脊線搜索模糊函數(shù)峰值,由文獻(xiàn)[8]的結(jié)論可知SSRAT算法能夠顯著降低時(shí)/頻差估計(jì)所需的運(yùn)算量．下面我們將對比本文算法和SSRAT算法所需的運(yùn)算量．

假設(shè)離散采樣信號的長度為N,本文算法所需要的RAT角度個(gè)數(shù)為M．對于本文算法,由式(6)計(jì)算任意角度的RAT僅需計(jì)算兩次FrFT和三次傅里葉變換,計(jì)算離散采樣信號的FrFT和傅里葉變換都能夠利用FFT快速實(shí)現(xiàn),分別需要復(fù)乘次數(shù)約為3Nlog2N+N[13]和Nlog2N,則計(jì)算信號在M個(gè)角度的RAT所需的總復(fù)乘次數(shù)約為9MNlog2N+6MN．根據(jù)信號在M個(gè)角度上RAT的峰值位置,利用式(10)可直接求解時(shí)/頻差的最小二乘解．式(10)中矩陣A的取值只與RAT角度有關(guān),矩陣A可以認(rèn)為是已知的,因此矩陣(ATA)-1AT也可以預(yù)先計(jì)算,在此不考慮其所需的運(yùn)算量．將向量b代入式(10)計(jì)算信號時(shí)/頻差的最小二乘解所需的復(fù)乘次數(shù)為2M．綜上分析,本文算法的運(yùn)算量約為9MNlog2N+6MN+2M．

考慮到實(shí)際問題中的離散采樣信號長度N一般都會較大,而本文算法所需的RAT角度個(gè)數(shù)M一般小于102,因此M往往遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于信號的長度N,即M?N,則本文算法的運(yùn)算量可以認(rèn)為是O(Nlog2N),而SSRAT算法的運(yùn)算量為O(N2)[8]．因此相比于SSRAT算法,本文算法的運(yùn)算量更小,運(yùn)算效率更高．

4 仿真實(shí)驗(yàn)

下面我們將通過仿真驗(yàn)證本文算法的性能,假設(shè)兩路LFM信號帶寬為50 kHz,調(diào)頻率31.25 MHz/s,初始頻率κ=0,采樣頻率為200 kHz,信號持續(xù)時(shí)間為1.6 ms,觀測時(shí)間為2 ms,兩路信號間的時(shí)差和頻差分別為-10 μs和-3.2 kHz．

4.1 RAT角度搜索數(shù)量對本文算法性能的影響

圖2(a)仿真了信號在不同角度上RAT峰值位置與該信號模糊函數(shù)峰值點(diǎn)在對應(yīng)角度的u軸上投影位置的關(guān)系．為了避免不同的量綱對實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響,在仿真中對離散采樣信號的時(shí)間和頻率信息進(jìn)行了去量綱處理[13]．圖2(a)中的實(shí)線為該信號在[0,π)上各角度RAT峰值位置的仿真曲線,虛線為該信號模糊函數(shù)峰值點(diǎn)在各對應(yīng)角度u軸上投影位置理論曲線．對于離散采樣信號,其RAT也是離散的,若選取的兩個(gè)RAT角度足夠接近,會使得不同角度的RAT峰值位置落入同一個(gè)離散分辨單元而無法區(qū)分,因此圖2(a)中的RAT峰值位置變化仿真曲線是一條存在階躍的曲線．可以看出,圖2(a)中的實(shí)線和虛線位置相互吻合,驗(yàn)證了LFM信號在任意角度上RAT的峰值位置等于其互模糊函數(shù)峰值點(diǎn)在該角度所對應(yīng)u軸上的投影位置．

圖2(b)和(c)分別仿真了在輸入信噪比為10 dB時(shí),本文算法時(shí)差和頻差估計(jì)均方根誤差隨RAT角度數(shù)量的變化曲線．由圖2(b)和(c)中的曲線可以看出:當(dāng)RAT角度數(shù)量小于30時(shí),本文算法時(shí)/頻差估計(jì)均方根誤差隨RAT角度數(shù)量增加而迅速減小;當(dāng)RAT角度數(shù)量大于60時(shí),本文算法的時(shí)/頻差估計(jì)均方根誤差趨于穩(wěn)定,基本不再隨RAT角度數(shù)量的增加而降低．這是因?yàn)楫?dāng)RAT角度數(shù)量較小時(shí),RAT角度數(shù)量的增加使得觀測樣本增加,有利于抑制單次觀測誤差對時(shí)/頻差估計(jì)精度的影響,然而當(dāng)RAT角度數(shù)量已經(jīng)較大時(shí),再增加RAT角度數(shù)量會導(dǎo)致相鄰角度間的差距過小,由前面的分析可知,對于差距較小的兩個(gè)角度,根據(jù)式(7)得到的兩個(gè)方程會接近線性相關(guān),進(jìn)而求解的時(shí)/頻差估計(jì)值易受RAT峰值位置估計(jì)誤差的影響,因此當(dāng)RAT角度數(shù)量增加到一定程度時(shí),本文算法時(shí)/頻差估計(jì)精度不會再隨RAT角度數(shù)量增加而提高．考慮到RAT角度數(shù)量會影響本文算法所需運(yùn)算量,為了平衡估計(jì)精度和所需的運(yùn)算量,本文算法RAT角度數(shù)應(yīng)在30～60選擇．

4.2 本文算法和幾種常見算法的性能比較

圖3仿真了本文算法和SSRAT算法時(shí)/頻差估計(jì)均方根誤差隨輸入信噪比的變化曲線.為了得到不同算法時(shí)差和頻差估計(jì)的均方根誤差，對于圖3中的每一個(gè)信噪比，我們分別進(jìn)行了500次蒙特卡洛仿真，并且和克拉美-羅界[6]進(jìn)行了比較.由圖3(a)和(b)可以看出，兩種不同算法的時(shí)/頻差估計(jì)均方根誤差曲線基本重合，并且隨信噪比的提高兩種不同算法的時(shí)/頻差估計(jì)均方根誤差曲線都不斷減小且接近克拉美-羅界，兩種算法都能夠得到較高的時(shí)/頻差估計(jì)精度.

圖3 不同算法的時(shí)/頻差估計(jì)均方誤根差隨信噪比的變化曲線

圖4仿真了本文算法和SSRAT算法所需的運(yùn)算時(shí)間隨信號長度變化的仿真曲線.在該仿真中，信號長度在變化，其余參數(shù)與之前相同.根據(jù)4.1節(jié)中的仿真結(jié)果可知，為了同時(shí)滿足較高的時(shí)/頻差估計(jì)精度和較小的運(yùn)算量，本文算法所需的RAT角度數(shù)量應(yīng)在區(qū)間選擇，因此圖4針對本文算法的仿真僅選取了RAT角度數(shù)量為30和60的兩種情況.對比圖4中的3條不同曲線可以看出：在相同的信號參數(shù)條件下，本文算法在RAT角度數(shù)量為30和60時(shí)所需的運(yùn)算時(shí)間都明顯小于SSRAT算法所需要的運(yùn)算時(shí)間；另外，本文算法在RAT角度數(shù)為30時(shí)所需的運(yùn)算時(shí)間略小于RAT角度數(shù)為60時(shí)所需的運(yùn)算時(shí)間.

結(jié)合圖3和圖4的仿真結(jié)果可知，本文算法和SSRAT算法的時(shí)/頻差估計(jì)精度基本相同，都能實(shí)現(xiàn)時(shí)/頻差的精確估計(jì)，但是本文算法能夠顯著降低運(yùn)算時(shí)間，運(yùn)算效率具有明顯的優(yōu)勢.

圖4 不同算法時(shí)/頻差估計(jì)運(yùn)算時(shí)間比較

5 結(jié) 論

對于兩路存在時(shí)差和頻差的LFM信號，本文提出了一種基于RAT的時(shí)/頻差快速聯(lián)合估計(jì)算法.根據(jù)LFM信號在任意一個(gè)角度上RAT的峰值位置能夠得到一個(gè)以信號間時(shí)差和頻差為未知量的二元方程，選取多個(gè)不同的角度能夠建立一組二元方程組，求解方程組即可得到時(shí)/頻差的估計(jì)值.對于存在噪聲干擾的信號，其RAT誤差會導(dǎo)致得到的方程組不能直接求解.為了抑制噪聲的影響，本文算法采用最小二乘法實(shí)現(xiàn)時(shí)/頻差的估計(jì).本文算法無需計(jì)算二維平面上各點(diǎn)的模糊函數(shù)值，并且存在基于FFT的快速實(shí)現(xiàn)方法，由理論分析可知，本文算法所需的運(yùn)算量遠(yuǎn)小于SSRAT算法，同時(shí)實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證了，在相同條件下，本文算法和SSRAT算法時(shí)/頻差估計(jì)精度相同，都能夠獲得較高的時(shí)/頻差估計(jì)精度，然而本文算法所需的運(yùn)算時(shí)間明顯小于SSRAT算法.由于時(shí)/頻差估計(jì)技術(shù)是無源定位的關(guān)鍵技術(shù)，本文提出的時(shí)/頻差估計(jì)算法同時(shí)具有估計(jì)精度高和運(yùn)算復(fù)雜度低的特點(diǎn)，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，特別適合于對時(shí)/頻差估計(jì)的速度和精度都有要求的實(shí)時(shí)處理問題，例如雙星利用時(shí)/頻差對雷達(dá)或通信基站的定位問題.

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Joint time-frequency offset estimation for LFM signals based on the Radon-Ambiguity transform

YANG Linsen, ZHANG Zijing, GUO Fuyang

(NationalLaboratoryofRadarSignalProcessing,XidianUniversity,Xi’an710071,China)

A fast method for joint estimation of the time-frequency offset for linear frequency modulated signals based on the Radon-Ambiguity transform (RAT) is proposed in this paper. According to peak positions of the RAT of a LFM signal on different angles, a set of equations with the time-frequency offset as the unknowns can be established and the time-frequency offset can be estimated by solving the equations. For signals disturbed by noise, errors of the RAT will cause the equations having no solutions. In order to eliminate the noise, the least square method is used to estimate the time-frequency offset. Because the proposed algorithm does not need to calculate the value of each point on the 2-D Ambiguity plane and the RAT for sampled signals can be realized rapidly by several processes of the fast Fourier transform, the proposed method has advantage of low computational cost. Simulation results show that the proposed algorithm can ensure the accuracy of the estimation of the time-frequency offset as well as is computationally efficient compared with common methods based on peak searching of the Ambiguity function.

Radon-Ambiguity transform; Least square method; Time-frequency offset; LFM

10.13443/j.cjors.20160916

2016-09-16

國家自然科學(xué)基金(No.61571349, No.61201325)；國家留學(xué)基金資助項(xiàng)目

TN911.72

A

1005-0388(2016)06-0-0

楊林森 (1988-)，男，陜西人，博士研究生，研究方向?yàn)闀r(shí)頻分析、雷達(dá)信號處理.

張子敬 (1967-)，男，陜西人，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)闊o源定位、雷達(dá)信號處理.

郭付陽 (1991-)，男，江西人，博士研究生，研究方向?yàn)闀r(shí)頻分析、雷達(dá)信號處理.

楊林森, 張子敬, 郭付陽. 基于Radon-Ambiguity變換的LFM信號時(shí)/頻差快速聯(lián)合估計(jì)[J]. 電波科學(xué)學(xué)報(bào)，2016,31(6)：頁碼.

YANG L S, ZHANG Z J, GUO F Y. Joint time-frequency offset estimation for LFM signals based on the Radon-Ambiguity transform[J]. Chinese journal of radio science，2016,31(6)：頁碼.(in Chinese). DOI: 10.13443/j.cjors.20160916

聯(lián)系人： 楊林森 E-mail：yls198802@163.com

DOI 10.13443/j.cjors.20160916