蔣永華，莫曉強(qiáng)，尤佳伊，沈夢杰，沈鳳良

（浙江師范大學(xué)精密機(jī)械研究所，浙江金華 321004）

基于相位法的密集小波公共脊線提取方法

蔣永華，莫曉強(qiáng)，尤佳伊，沈夢杰，沈鳳良

（浙江師范大學(xué)精密機(jī)械研究所，浙江金華 321004）

針對傳統(tǒng)小波脊線提取方法對密集脊線的提取存在著分辨率不足等缺點(diǎn)，提出一種基于相位法的密集小波公共脊線提取方法。通過分析密集單頻疊加信號和密集調(diào)頻疊加信號的小波公共脊線的相位特點(diǎn)，利用小波脊線的相位法來提取信號的公共脊線。仿真算例結(jié)果表明：該方法能有效地提取出密集小波公共脊線，且方法簡單、準(zhǔn)確，具有較快的收斂性。將其應(yīng)用于實(shí)際齒輪箱故障分析中，能有效地提取故障特征，診斷出齒輪箱故障。

小波脊線；相位法；密集脊線；小波變換

0 引言

在機(jī)械故障診斷中，常常利用小波脊線來提取信號的故障特征[1-3]。小波脊線包含了信號的全部或大部分信息，可以通過小波變換域中對應(yīng)脊線上的信息來表達(dá)，并且可以通過脊線重建原信號；因此，小波脊線也被廣泛用于信號的去噪和壓縮[4-5]。

單一信號分量在小波變換域上呈現(xiàn)出一條對應(yīng)的脊線，當(dāng)信號含有兩個或者兩個以上分量時，則會在變換域上出現(xiàn)相應(yīng)的多條脊線。如果兩條脊線互相靠近到一定程度時，則會出現(xiàn)相互干擾的現(xiàn)象，表現(xiàn)為兩條脊線之間的中間部位出現(xiàn)一些虛假分量，其幅度可能接近甚至超過真實(shí)脊線的幅度，并且脊線上的分布會因?yàn)閿_動而出現(xiàn)周期性的波動，從而影響到脊線的正確識別與提取。

DELPRAT等[6]建立了小波脊線提取的迭代算法。張曉冬等[7]提出了一種基于重定位方法的密集脊線提取方法，但是重定位提取密集公共脊線的方法比較復(fù)雜。本文通過研究密集單頻疊加信號和密集調(diào)頻疊加信號的小波公共脊線的相位規(guī)律，提出利用小波脊線的相位法來提取信號的公共脊線。

1 小波脊線

任意的實(shí)信號x（t）∈L2（R）均可表示為

x（t）=A（t）cos（φ（t））（1）

式中：A（t）≥0——瞬時幅值；

φ（t）∈[0，2π）——瞬時相位。

x（t）的解析信號[8]可表示為

式中：H——信號的Hilbert變換。

令小波函數(shù)為ψ（t）＝Aψ（t）exp[jφψ（t）]，則信號s（t）的小波變換為

此處用符號ar（b）表示小波脊線，ar（b）是平移參數(shù)b的函數(shù)。小波脊線上的點(diǎn)（ar（b），b）稱為小波脊點(diǎn)。

小波曲線是在相平面上通過點(diǎn)（ar（b0），b0），且滿足ts（a，b）=b0的所有點(diǎn)（a，b）的集合，即

對于給定小波曲線，即在駐點(diǎn)ts（a，b）=b0處，小波曲線與小波脊線的交點(diǎn)處，小波變換的相位φ（a，b）有如下特性[10-12]：

φ′ψ（0）為小波函數(shù)的中心頻率，式（8）說明，沿著一給定小波曲線，小波變換的相角相對平移量b的偏導(dǎo)數(shù)在與小波脊線的交點(diǎn)處的值等于伸縮小波的中心頻率[2]。

2 密集脊線提取中的分辨率不足問題設(shè)信號的形式為

其中w1和w2為常數(shù)。設(shè)w1≥w2且w2=kw1（k≥1）

選擇Morlet小波為分析小波

小波參數(shù)β和w0根據(jù)信號分量頻率w1和w2的具體數(shù)值選擇，使得在分布圖中脊線所在的位置適中。這兩個數(shù)值在確定后即為常數(shù)。

根據(jù)連續(xù)小波變換的公式可得到信號對應(yīng)的連續(xù)小波變換為

根據(jù)變換域上脊線的定義可知，該信號中兩個信號分量所對應(yīng)的脊所在的位置分別為a1=w0/w1，a2=w0/w2。

考慮疊加信號分布在脊a1=w0/w1所在位置上的參數(shù)得到

由式（12）可看出，脊線由兩部分組成，一部分是頻率為w1的單頻分量對應(yīng)的脊線，這部分?jǐn)?shù)據(jù)完全反映了該單頻分量的波形；另一部分是第2個單頻信號所產(chǎn)生的影響，這部分的幅度與選用的小波和兩個單頻分量的頻率比值k有關(guān)。

由式（10）～式（12）可看出，在該條脊線上分布的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出周期波動的形式，并且脊線上數(shù)據(jù)模值產(chǎn)生的峰點(diǎn)與谷點(diǎn)幅度的大小與兩個信號頻率的比值之間的關(guān)系可表示為

同理，可得到對應(yīng)著的另一個信號分量及所在位置a2=w0/w2上的分布。在這條脊上分布的數(shù)據(jù)同樣呈現(xiàn)出周期波動的形式，并且脊線上數(shù)據(jù)的模值產(chǎn)生的峰點(diǎn)與谷點(diǎn)幅度大小和兩個信號頻率的比值之間的關(guān)系可表示為

在兩個信號分量所對應(yīng)的脊線中間地帶，還有另一條脊線

同樣考察這條脊上峰點(diǎn)的模值與兩個信號頻率的比值之間的關(guān)系，得到

在谷點(diǎn)的模值為零。

由式（18）知，當(dāng)兩個信號分量的頻率比值k較大，即信號分量的頻率間隔較大時，在特殊的脊ar上的分布變得很小，此時在a1和a2上的分布較突出，可以區(qū)分出兩條明顯的脊線；當(dāng)兩個信號分量的頻率比值減小，即信號分量的頻率間隔較小時，兩條脊線的距離很近，互相形成干擾，此時在脊ar上的分布很大，與脊a1和a2上起伏波動的分布綜合在一起，使得利用提取算法提取出的脊交織在一起。

當(dāng)脊ar上的模極大值為脊a1和a2上模極大值的一半時，兩條對應(yīng)信號分量的脊線可以區(qū)分開來；當(dāng)k≥2時，在信號分量各自對應(yīng)的脊線上，所受的另一條脊線的影響隨k的增加而趨于不明顯，脊線本身的特點(diǎn)更加突出。當(dāng)1＜k≤2時，在信號分量對應(yīng)的脊線上，因?yàn)槠渌盘柗至康母蓴_而形成周期性的波動。在擾動最強(qiáng)烈的位置上，干擾項(xiàng)本身形成的波動，其幅值就有可能超過脊上數(shù)據(jù)的幅值，從而影響到脊線的正確識別與提取。

令s（t）=exp（i2π·20t）+exp（i2π·k·20t）為兩個單頻信號的疊加，圖1所示為k=1.5時兩個單頻信號所形成的脊的分布情況。

令f（t）=exp（i2π·10t2）+exp（i2π·k·10t2）為兩個調(diào)頻信號的疊加，圖2所示為k=2時信號f（t）的脊線幅值三維分布圖，圖3為k=1.5時信號f（t）的脊線幅值三維分布圖。

圖1 k=1.5時b取不同值脊線上峰點(diǎn)的模值比較

圖2 k=2時f（t）的幅值三維分布圖

3 基于相位法的密集公共脊線提取

針對以上問題，本文提出一種基于相位法的密集小波公共脊線提取方法。

圖3 k=1.5時f（t）的幅值三維分布圖

考慮兩個單頻信號的情況，令信號

從式（22）可看出，對于兩個單頻信號的組合來說，脊線上的數(shù)據(jù)與原信號的波形之間只相差一個恒定的乘積因子c，因此如果用ar來作為公共脊線，可以完全表示兩個信號分量所含的全部信息。

影響脊線上分布參數(shù)幅值的因子c在兩個信號分量的瞬時頻率相差較大，即k較大時非常小，但在此情況下，兩個信號分量對應(yīng)的脊線能夠很明顯地區(qū)分開來，不需要定位一條公共脊線。在兩個信號分量的瞬時頻率逐漸靠近，兩條脊線互相影響，出現(xiàn)復(fù)雜的脊線分布，即k較小的時候，該因子c取得較大值。此時，雖然根據(jù)傳統(tǒng)的脊線提取算法所提取的脊線結(jié)果交匯在一起，但只要能夠確定這條脊線的位置，就能夠利用這條脊線上的信息來完全表示和重建。

由式（22）可得出ar上的相位為

對比式（8）與式（24）可知，公共脊線ar可以用改進(jìn)后的DELPRAT迭代法較精確地提取，從而確定干

則沿著脊線ar，對相位求偏導(dǎo)有擾最大的公共脊線：對于采樣周期Ts=1/fs的離散序列s（tk），k=0，1，…，N-1，tk=t0+kTs，令它在給定尺度a下的小波變換Ws（a，tk），其相位為φ（a，k），并定義Db為關(guān)于平移參數(shù)的離散微分算子。設(shè)a0（tk）是ar（tk）的初始估計(jì)值，則通過下面的迭代方法計(jì)算出小波脊線：

根據(jù)所要求的精度，給定一個正數(shù)（閾值ε），當(dāng)滿足時，就可以認(rèn)為ai為最終收斂值，即ar=ai。

4 仿真驗(yàn)證

圖4 k=1.5時利用相位法提取得到的s（t）的公共脊

圖5 k=1.5時利用相位法提取得到的f（t）的公共脊線

圖6 單級齒輪箱振動加速度信號

圖7 本文方法提取齒輪箱信號小波脊線結(jié)果

5 實(shí)際應(yīng)用

齒面損傷是常見的齒輪故障，在時域中局部損傷的振動信號是典型的以齒輪軸的旋轉(zhuǎn)頻率為周期的沖擊脈沖信號。在重慶大學(xué)機(jī)械傳動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室對一具有剝落故障的單級齒輪箱進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，采集到的振動加速度信號如圖6所示。采樣頻率為2048Hz，主動輪和從動輪齒數(shù)分別為34和65，輸入軸轉(zhuǎn)頻fr=10.3Hz。利用本文方法對信號進(jìn)行分析，所得結(jié)果如圖7所示。

從圖7可看到有周期沖擊振動，其時間間隔約為0.097 s，即沖擊振動的頻率約為10.3Hz，與輸入軸轉(zhuǎn)頻一致，這說明主動輪出現(xiàn)了局部故障。開箱檢修發(fā)現(xiàn)主動輪發(fā)生了嚴(yán)重的剝落，診斷結(jié)果與事實(shí)相符。

6 結(jié)束語

（1）分析了傳統(tǒng)方法提取密集脊線存在的分辨率不足的問題。當(dāng)兩個信號的頻率之比小于2時，兩條脊線之間會出現(xiàn)嚴(yán)重的干擾項(xiàng)，此干擾項(xiàng)會影響到脊線的有效識別和正確提取。

（2）分析了單頻、調(diào)頻疊加信號的公共脊線的表達(dá)式，研究其相位特點(diǎn)，提出了基于相位法的密集小波公共脊線提取方法，此方法相比重定位法更加簡單快捷。

（3）通過對單頻信號和調(diào)頻信號的仿真算例，證明了該方法的有效性，并將其應(yīng)用于實(shí)際齒輪箱的故障診斷中。

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Closely wavelet common ridge extraction method based on phase extraction

JIANG Yong-hua，MO Xiao-qiang，YOU Jia-yi，SHEN Meng-jie，SHEN Feng-liang
（Institute of Precision Machinery，Zhejiang Normal University，Jinhua 321004，China）

In order to improve the precision of closely wavelet ridge extracted by conventional method，a new method for extracting closely wavelet common ridge based on phase extraction is proposed.The common-ridge phase characteristics of close single frequency signals and frequency modulated signals are fully analyzed，then a common ridge extraction method is put forward based on phase extraction，and finally the problems in signal reconstruction is solved.The proposed method is simple，accurate and with rapid convergence.The results of simulation example show that the proposed method is feasible and effective.Finally，the result of gearbox analysis shows that this method can extract fault characteristics of gearbox effectively.

wavelet ridge；phase method；closely ridge；wavelet transform

HT165.3；TP277；TN911.2；TP301.6

A

1674-5124（2013）03-0001-05

2012-11-14；

：2013-01-09

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51277166）浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（LQ12E07002）新苗人才計(jì)劃項(xiàng)目（2012R404020）

蔣永華（1982-），男，浙江諸暨市人，講師，博士，主要從事信號分析與處理、狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷。