李銀，位瑞英

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

基于Maple軟件《常微分方程》一體化教學(xué)的探討

李銀，位瑞英

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

基于由加拿大Waterloo大學(xué)研究組開發(fā)的符號計算軟件Maple,對常微分課程理論與實(shí)用協(xié)同一體化教學(xué)進(jìn)行了研究與探討.首先,利用軟件強(qiáng)大的符號計算功能，對方程解的動態(tài)化、“形”與“數(shù)”的同步進(jìn)行了探討;其次,運(yùn)用Maple作圖功能輔助方程課的教學(xué)和展示;最后,通過創(chuàng)設(shè)情境、做數(shù)學(xué)實(shí)驗等方式,可以優(yōu)化課堂教學(xué),提高教學(xué)成效.

Maple軟件;常微分課程;優(yōu)化教學(xué)

隨著信息技術(shù)對現(xiàn)代教育的沖擊,大學(xué)里一些基礎(chǔ)課程面臨著創(chuàng)新和提高;數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)［1-2］,數(shù)學(xué)表現(xiàn)出高度的抽象性和應(yīng)用的廣泛性的特點(diǎn),具有特殊的公共基礎(chǔ)地位,其重要性顯而易見.基于Maple軟件的數(shù)學(xué)教學(xué)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)的問題情景，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐思考探索交流,獲取知識,形成技能,拓寬思維,學(xué)會學(xué)習(xí),促使學(xué)生在教師指導(dǎo)下生動活潑地主動地富有個性地學(xué)習(xí).

在組織教學(xué)的過程中應(yīng)該以學(xué)生為主題的課堂理念來組織教學(xué),有選擇的來應(yīng)用實(shí)驗,啟迪心智、增進(jìn)學(xué)生的素質(zhì).PPT的簡單與完美、Word的樸實(shí)、幾何畫板的清新快捷、Flash動感與浪漫、Maple的“萬變不離其宗”,讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得豐富多彩.

因此,數(shù)學(xué)軟件的應(yīng)用,可以優(yōu)化課堂教學(xué)，大幅度地提高教學(xué)質(zhì)量.在目前的教學(xué)中,Maple，Mathematica，MATLAB等軟件使用較為廣泛［3］,本文則主要對Maple在常微分課程教學(xué)中的應(yīng)用作些探討.Maple是一個易學(xué)易用的符號計算軟件,它的最大優(yōu)勢能讓方程的解動起來及“形”與“數(shù)”的同步.具體思路見圖1.

圖1 Maple在常微分課程教學(xué)中的應(yīng)用思路

1 運(yùn)用《Maple軟件》進(jìn)行理論學(xué)習(xí)探討

常微分方程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計算科學(xué)、統(tǒng)計學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)必修課.它不但是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課,同時也是常微分方程學(xué)科本身近代發(fā)展方向的重要基礎(chǔ).在教學(xué)當(dāng)中,教師應(yīng)加強(qiáng)基本理論的教學(xué)，同時也要注意運(yùn)算技能的培養(yǎng)和訓(xùn)練;通過典型例子、做練習(xí)題這些環(huán)節(jié),幫助培養(yǎng)、提高解題能力和技巧.課程的知識與技能要求分為知道、理解、掌握、學(xué)會四個層次,循序漸進(jìn),環(huán)環(huán)相扣.課程的內(nèi)容主要包括模型建立、一階方程的求解、解的存在唯一性、高階方程的求解、方程組的求解、穩(wěn)定性(選講)等內(nèi)容.

在《常微分課程》實(shí)驗教學(xué)［4-5］中,利用Maple教學(xué)的目的是使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)實(shí)驗的基本方法和思想.基本理論的教學(xué)一直是教學(xué)的難點(diǎn),需要將理論概念中“易錯易混”的內(nèi)容在教學(xué)中有許多需要反復(fù)比較、仔細(xì)觀察、認(rèn)真體會,從而發(fā)現(xiàn)一些數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系.從實(shí)際問題出發(fā),借助符號計算和Maple軟件,通過自己設(shè)計和動手,提出自己的猜測并找出支持論據(jù),從實(shí)驗中學(xué)習(xí)、探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律.如:課程中的極限問題.

這是極限中的一個重要極限,通過嚴(yán)密的證明推導(dǎo)得出結(jié)果,技巧較高,過程抽象.老師可以通過Maple作圖,讓學(xué)生從圖形中觀察極限的漸進(jìn)過程,加深對定義的理解.

由圖2可知,當(dāng)x→1時f(x)→1．圖2對學(xué)生的直觀思維起了很好的引導(dǎo)作用,使學(xué)生能很好體會極限的含義,為以后的學(xué)習(xí)打下堅實(shí)的基礎(chǔ)．函數(shù)的左、右極限也是相當(dāng)抽象的概念．若單純從定義的角度來解釋,不僅單調(diào)乏味,學(xué)生有時也感到難以接受．通過幾何圖形來深化它的外延和內(nèi)涵,將使概念易學(xué)易懂．

圖2 極限問題

圖3 方程解曲線問題

例2解方程的初值問題：y=1-y2,y(-4)=2,y(-4)=-0.99.

對于方程的求解,同學(xué)們感到非常的困難，通過Maple作圖（見圖3），讓學(xué)生從圖形中觀察方程解的漸進(jìn)過程,加深對方程求解的理解.

With(DEtools):

DEplot((D(y))(x)=1-y(x)^2,y(x),x=-4..4,[[y(-4)=-.99],[y(-4)=2]],title='AsymptoticSolution',color=blue,linecolor= [gold,purple]);如圖3所示,紅色曲線代表y(-4)=-.99;紫色代表y(-4)=2.

2 基于《Maple軟件》作圖驗證結(jié)論的準(zhǔn)確與錯誤

常微分課程中有很多類型方程如表1,其類型的結(jié)論與求解各不相同，其結(jié)論的逆命題不一定成立,也有很多命題是假命題,可以通過Maple強(qiáng)大的計算功能和繪圖功能來驗證命題的準(zhǔn)確與錯誤.

在函數(shù)微分中,已知函數(shù)單調(diào)性的分界點(diǎn)是函數(shù)的極值點(diǎn),但是反之未必成立,其反例為：

從反例到一元函數(shù)而言,函數(shù)的極值點(diǎn)不一定是函數(shù)單調(diào)性的分界點(diǎn).用生動的反例駁斥錯誤的命題是行之有效的手段.而借助圖形直觀、明顯說服力強(qiáng)等突出優(yōu)點(diǎn),學(xué)生將非常容易從反面消除一些易出現(xiàn)的模糊認(rèn)識,正確區(qū)分相近易混的命題、定義,從而對知識的理解和掌握更加牢靠深刻.

表1 微分方程的類型

對于學(xué)生來說,方程的解都是很難求的,齊次方程學(xué)生勉強(qiáng)可以應(yīng)付,但對于非齊次,學(xué)生感覺會力不從心.顯然,怎樣把數(shù)學(xué)難題、教學(xué)的難點(diǎn)等通過直觀圖形表現(xiàn)出來的,可使學(xué)生獲得直觀感知,加深印象.

Maple命令窗口輸入：

>dfieldplot(diff(x(t),t)=exp(-t)-2*x(t),x(t),t=-2..3,x=-2..3,axes=BOXED);

向量場輸出結(jié)果見圖4.而解的漸進(jìn)形態(tài)見圖5.此時Maple命令窗口輸入：>

phaseportrait(diff(y(t),t)=exp(-t)-2·y(t),y(t),t=-2..3,{[0,0],[0,0.2],[0,0.4],[0,0.6],[0,0.8],[0,0.1]},y=-2..3,axes=BOXED)

從圖形4中可以發(fā)現(xiàn)方程解的一些特征：當(dāng)x<0時,積分曲線在一點(diǎn)是遞增的.當(dāng)t→∞時,所有的借都趨于零.這樣通過直觀圖形可以把教學(xué)的重點(diǎn)呈現(xiàn)出來,可是學(xué)生獲得直觀認(rèn)識,深化理解水平,這也彌補(bǔ)傳統(tǒng)教學(xué)的不足,對教學(xué)的效果有很好的提高作用.

圖4 極值點(diǎn)反例

圖5 方程向量場問題

3 利用圖形輔助微分方程數(shù)值解的有關(guān)計算

在方程應(yīng)用中,許多方程是超越方程,很難甚至得不到符號解.解決的途徑是要了解曲線的圖形,確定搜索區(qū)域,因此繪出曲線圖形成為此類問題解決的關(guān)鍵.通過Maple作圖,可以從繁雜的數(shù)據(jù)和復(fù)雜的函數(shù)公式中觀察變量的內(nèi)在關(guān)系,感受由圖形所傳遞的深層信息，如圖6所示.

圖6 解的漸進(jìn)形態(tài)

圖7 方程數(shù)值解

Step1畫出函數(shù)的圖像,見圖7；

Step2確定區(qū)域,求數(shù)值解,見表2.

程序：

>alias(y=y(t),y0=y(0),yp0=D(y)(0)):

>eqn:=diff(y=y(t),t$2-(1-y(t)2)·diff(y(t),t)+y(t)=0; >init:=y0=0,yp0=0.1;

>F:=dsolve({eqn,init},y,type=numeric);

>with(plots):

>odeplot(F,[t,y],0..50,color=blue);

表2 微分方程的數(shù)值解

Step1列出方程組及初值,畫出函數(shù)的圖像,見圖8和圖9；

Step2確定區(qū)域,求平面及三維數(shù)值解.

程序：

>restart:

with(DEtools):

eq1:diff(y=y(t),t)+y(t)+x(t)=0:

eq2:y(t),diff(x(t),t):

inil:=x(0)=0,y(0)=5:

ini2:=x(0)=0,y(0)=-5:

>DEplot({eq1,eq2},[x(t),y(t)],t=-5..5,[[ini1],[ini2]],stepsize=0.1);

>DEplot3d({eq1,eq2},[x(t),y(t)],t=-5..5,[[ini1],[ini2]],stepsize=0.1,color=blue);

Maple為基于圖形的教學(xué)提供了很好的手段,借助于軟件繪制的圖形可以直觀,充分體現(xiàn)方程的概念、定理的內(nèi)涵,克服傳統(tǒng)教學(xué)中講解內(nèi)容抽象,教學(xué)內(nèi)容難于推廣等方面的不足,使抽象的數(shù)學(xué)教學(xué)更加形象生動.

圖8 方程組平面解

圖9 方程組立體數(shù)值解

4 結(jié)語

對于將來要以數(shù)學(xué)為工具解決各種實(shí)際問題的學(xué)生來說,需要準(zhǔn)確、快捷的計算和嚴(yán)密的邏輯推理.面對一個實(shí)際問題時,在計算、推理之前,首先要用數(shù)學(xué)語言描述它,建立方程模型;在得到方程的解之后,要結(jié)合實(shí)際進(jìn)行分析、檢驗、修正.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容則偏重于前者,對于后者的實(shí)踐遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.學(xué)生在畢業(yè)之后解決實(shí)際工作中的問題時,對復(fù)雜問題不知如何簡化,不知道如何將研究問題抽象成一個簡單的方程模型來反映客觀事實(shí);想象力差,分析問題、解決問題的能力比較低.在平時的教學(xué)過程中,若能引入Maple軟件,智能化學(xué)習(xí)與獨(dú)立解決問題,這樣會大大提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力,有利于理論與實(shí)際有效的結(jié)合,提高教學(xué)效果.

［1］王劍俠，龔力強(qiáng).Maple在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].廣州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2002，1(6)：69-73.

［2］周甄川，呂同斌.Maple的圖形繪制功能在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].黃山學(xué)院學(xué)報，2010，12(6)：117-119.

［3］紀(jì)宏偉.幾何圖形在高等數(shù)學(xué)中的作用及在Maple下的實(shí)現(xiàn)[J].高師理科學(xué)刊，2011，31(4)：1-3.

［4］馮瑋，涂偉霞.由淺入深學(xué)Maple[M].北京：國防工業(yè)出版社，2002.

［5］何青，王麗芬.Maple教程[M].北京：科學(xué)出版社，2006.

Discussion on Integrative Teaching of Ordinary Differential Equations via Maple Software

LI Yin,WEI Rui-ying
（School of Mathematics and Statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

This paper studies and discusses the integration teaching of the ordinary differential course theory via a symbolic computation software maple developed by the University of Waterloo.Firstly,using the powerful symbolic computation function of software,the dynamic of equation solution and the synchronization of"shape"and"number" are discussed.Second,Maple mapping function to assist the teaching and demonstration of the course is presented. Then,by creating the situation,do mathematical experiments,etc.,which can optimize the classroom teaching, improve teaching effectiveness.

Maple software;ordinary differential equations;optimize teaching

G624.0

A

1007-5348（2016）12-0073-05

（責(zé)任編輯：邵曉軍）

2016-10-20

國家自然科學(xué)基金項目(批準(zhǔn)號11501373);廣東省教改項目(編號2015558).

李銀(1980-),男,河南周口人,韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院副教授，博士；研究方向：數(shù)理方程.