徐文鋒

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

有限單演半群的性質(zhì)

徐文鋒

（韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東韶關(guān)512005）

單演半群可由一個(gè)元素生成.通過(guò)對(duì)一類(lèi)給定的有限單演矩陣半群進(jìn)行研究，分類(lèi)討論有限單演半群的格林關(guān)系，得到了一些有限單演半群的性質(zhì).

單演半群；矩陣半群；有限單演矩陣半群

半個(gè)世紀(jì)以來(lái)，半群理論得到了很好的發(fā)展.如同循環(huán)群在群論中的地位，單演半群在半群理論中也起到了很重要的作用.矩陣在理論和實(shí)際中都有很重要的意義，是一個(gè)非常重要的工具，將矩陣與半群理論相結(jié)合得到矩陣半群.矩陣半群也可以看成是半群表示理論的發(fā)展.近些年來(lái)，國(guó)內(nèi)外有不少相關(guān)問(wèn)題的研究，如完全單的矩陣半群，正則矩陣半群，Clifford矩陣半群等研究［1-3］.

單演半群由于其生成元僅有一個(gè)元素，結(jié)構(gòu)十分簡(jiǎn)單.本文在文獻(xiàn)［4］的基礎(chǔ)上，利用已經(jīng)給出的一類(lèi)有限單演矩陣半群，進(jìn)行進(jìn)一步的研究，得到了這類(lèi)矩陣半群的格林關(guān)系以及一些新的性質(zhì).再將這些關(guān)系和性質(zhì)推廣到一般的有限單演半群.

本文分三部分完成.第一部分，介紹了單演半群和矩陣半群的概念和一些已知的性質(zhì).在第二部分給出了文獻(xiàn)［4］中的一類(lèi)單演矩陣半群的例子.在第三部分中，分類(lèi)討論了這類(lèi)單演矩陣半群的格林關(guān)系和性質(zhì)，并將這些性質(zhì)推廣到一般的有限單演半群上.

1 預(yù)備知識(shí)

本文所用到的半群代數(shù)理論的基本概念及符號(hào)，如半群、格林關(guān)系等，均與文獻(xiàn)［5］相同，本文將直接引用而不再一一定義.

定義1S是一個(gè)半群，如果存在S中的一個(gè)元素a,使得S={a,a2,a3,…},稱(chēng)半群S是單演半群,記S=.如果序列a,a2,a3,…中不出現(xiàn)重復(fù)，也就是說(shuō)am=an?m=n，則稱(chēng)S=是一個(gè)無(wú)限單演半群.如果序列a,a2,a3,…中出現(xiàn)重復(fù)，即存在正整數(shù)m,r使得am=am+r成立，則稱(chēng)S=是一個(gè)有限單演半群，并且把滿足條件的最小元m和r分別稱(chēng)為有限單演半群S的指數(shù)和周期.

定義2（Mn（F）·）表示數(shù)域F上全體n階方陣按照通常運(yùn)算構(gòu)成的半群，如果S是（Mn（F）·）的子半群，則稱(chēng)S為一個(gè)矩陣半群.

定義3設(shè)S是一個(gè)矩陣半群，如果存在S中的一個(gè)矩陣A使得S={A,A2,A3,…},稱(chēng)半群S是單演矩陣半群.

定義4如果一個(gè)矩陣半群中每個(gè)矩陣的秩都相等，則稱(chēng)它為等秩矩陣半群.此時(shí)可用其中任意一個(gè)矩陣的秩表示矩陣半群的秩.

本文主要討論有限單演矩陣半群的性質(zhì)，下面給出文中需要用到的一些已知結(jié)論.

引理1S=是一個(gè)指數(shù)為m周期為的r有限單演半群，則下面結(jié)論成立［5］：

（1）am=am+r；

（2）={a,a2,…am+r-1}；

（3）ka={am,am+1,…am+r-1}是的一個(gè)循環(huán)子群；

（4）對(duì)任意的u,v∈N,am+n=am+v當(dāng)且僅當(dāng)u=v(modr).

引理2兩個(gè)有限單演半群同構(gòu)的充分必要條件是它們有對(duì)應(yīng)相等的指數(shù)和周期［5］.

引理3矩陣半群的每一個(gè)關(guān)系T=L,R,D,H,J類(lèi)都是單秩的［25］.

2 一個(gè)例子

引理4設(shè)m,r是任意給出的兩個(gè)正整數(shù)，若r=1,令Jm為m階的冪等若當(dāng)塊，即：

那么由Jm生成的半群是指數(shù)為m周期為1的有限單演半群S=＜Jm>;

若m=1,令I(lǐng)r是主對(duì)角線上的元素全為r次單位且至少有一個(gè)本原根的對(duì)角矩陣,那么由Ir生成的半群是指數(shù)為1周期為r的有限單演半群S=＜Ir>；

3 主要結(jié)論

在引理4中，對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)對(duì)（m,r）,都給出了一個(gè)具體的以m為指數(shù)r為周期的有限單演矩陣半群.下面通過(guò)對(duì)這一類(lèi)矩陣半群的研究，給出一些有限單演半群的性質(zhì).

性質(zhì)1設(shè)S=＜a>是一個(gè)指數(shù)為m,周期為1的有限單演知半群，則S一定有零元.

證由引理4（1），利用矩陣的乘法運(yùn)算法則，得到Jmm=0,故半群S=＜Jm>包含零矩陣.再由引理2，知任意一個(gè)以m為指數(shù)，1為周期的有限單演半群S=包含零元.

性質(zhì)2設(shè)S=是一個(gè)以m為指數(shù)r為周期的有限單演半群，若S含有零元，則周期r=1.

證已知S=是一個(gè)有限單演半群，有指數(shù)m,周期r.由引理4，存在一個(gè)指數(shù)m,周期r的單演矩陣半群U與之同構(gòu).由于S含有零元，所以U也一定含有零元.再有引理4知，當(dāng)且僅當(dāng)r=1時(shí)，單演矩陣半群S=＜Jm>包含零矩陣.所以S含有零元，則周期r=1.

性質(zhì)3設(shè)S=是一個(gè)指數(shù)為1,周期為r的有限單演知半群，則S是循環(huán)群.

證由引理4（2）知S=＜Ir>是一個(gè)循環(huán)矩陣群.再由引理2，得出任意一個(gè)以1為指數(shù)，r為周期的有限單演半群S=都是循環(huán)群.

性質(zhì)4設(shè)S=是一個(gè)有限單演半群，若S含有單位元，則指數(shù)m=1,S=是循環(huán)群.

證已知S=是一個(gè)有限單演半群，則有指數(shù)m,周期r.由引理4，存在一個(gè)指數(shù)m,周期r的單演矩陣半群U與之同構(gòu).由于S含有單位元，所以U也一定含有單位元.再由引理4知，當(dāng)且僅當(dāng)m=1時(shí)，單演矩陣半群S=＜Ir>包含單位矩陣.所以S含有單位元，則m=1.矩陣半群S=＜Ir>是循環(huán)矩陣群，故S=是循環(huán)群.

性質(zhì)5設(shè)S=＜Ir>是引理4（2）給出的以1為指數(shù)r為周期的有限單演矩陣，則S=＜Ir>是等秩矩陣群.

證由引理4（2），顯然有矩陣Ir的秩等于r.根據(jù)矩陣的乘法運(yùn)算法則，得Irr=E，所以矩陣Irr的秩等于r.由矩陣秩的性質(zhì)有r(Ir)=r(I2r)=…=r(Irr)=r.故S=＜Ir>是等秩矩陣群，并且矩陣群S=＜Ir>的秩等于r.

下面根據(jù)引理4和性質(zhì)5來(lái)分類(lèi)討論有限單演半群的格林關(guān)系.

定理1設(shè)S=是一個(gè)有限單演半群，m為半群S的指數(shù),r為S的周期，則有以下結(jié)論：

（1）若r=1,則S={a,a2,…am},則S中每一個(gè)D類(lèi)僅有一個(gè)元素.

（2）若m=1,則S={a,a2,…ar},則S僅有一個(gè)H類(lèi)，即所有元素都在同一個(gè)H類(lèi)中.

（3）若m>1且n>1,則S={a,a2,…am+r-1},則當(dāng)1≤i≤m時(shí)，每一個(gè)ai屬于不同的D類(lèi)中，當(dāng)i≥m時(shí)，每一個(gè)ai屬于同一個(gè)D類(lèi)，并且是同一個(gè)H類(lèi).

證(1)當(dāng)m>1且r=1，則S=={a,a2,…am}.由引理4，有同構(gòu)的單演矩陣半群顯然有矩陣Jm的秩為m-1，并且有r(Iim)=m-i，其中1≤i≤m.由引理4知每個(gè)D類(lèi)都是單秩的，所以每一個(gè)元素J屬于不同的D類(lèi).因此，若r=1,則半群S={a,a2,…am}中每一個(gè)D類(lèi)僅有一個(gè)元素.

(2)當(dāng)r>1且m>1，則S=={a,a2,…ar}.由性質(zhì)5知I=＜Ir>是等秩矩陣群.所以I僅有一個(gè)H類(lèi).所以S=={a,a2,…ar}所有元素都在同一個(gè)H類(lèi).

(3)當(dāng)m>1且r>1，則S=={a,a2,…am+r-1}.由引理4，有同構(gòu)的單演矩陣半群1>.顯然有矩陣的秩為=m+r-1,其中1≤i≤m.當(dāng)i≥m時(shí)，=r.因此,當(dāng)1≤i≤m時(shí)，每一個(gè)ai屬于不同的D類(lèi)，當(dāng)i≥m時(shí)，每一個(gè)ai屬于同一個(gè)D類(lèi)，并且是同一個(gè)H類(lèi).

定理2設(shè)S=為一個(gè)有限單演半群，如果指數(shù)m>1,則半群S的生成元唯一.

證從引理4中的矩陣半群出發(fā)，給出定理的證明.

當(dāng)m>1且r=1，則S=={a,a2,…am}.由引理4有同構(gòu)的單演矩陣半群顯然有矩陣Jm的秩等于m-1，任意矩陣的秩都小于m-1，所以有矩陣的秩小于m-1，其中k為任意正整數(shù)，1≤i≤m.因此Jm?<>,其中(1＜i≤m-1).

當(dāng)m>1且r>1，則S=={a,a2,…am+r-1}.由引理4有同構(gòu)的單演矩陣半群顯然有矩陣Cm+r的秩為m+r-1，任意矩陣Cim+r(1＜i≤m+r-1)的秩都小于m+r-1，所以有矩陣（）k的秩小于m+r-1，其中k為任意正整數(shù).因此有Cm+r?（）k，其中(1＜i≤m+r-1).

所以有限單演半群S=，如果指數(shù)m>1,則半群S的生成元唯一.

推論1設(shè)S=為一個(gè)有限單演半群，如果指數(shù)m>1,對(duì)任意ai∈S且ai≠a，則＜ai>是S的一個(gè)真子半群.

［1］朱用文.完全單的矩陣半群[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2007，36（1）：76-80.

［2］朱用文.正則矩陣半群[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2009，38（1）：75-78.

［3］陳大亮，朱用文.Clifford矩陣半群[J].煙臺(tái)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)和工程版），2010,23(4)：251-255.

［4］喬占科.循環(huán)半群的矩陣表示[J].河西學(xué)院學(xué)報(bào)：2002(5)：10-13.

［5］John M H.Fundamentals of Semigroup Theory[M].Oxford:Oxford University Press,1995.

［6］趙雨清.單演半群的幾條性質(zhì)[J].湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2004,26（1）：20-29.

Some Properties of Monogenic Semigroups

XU Wen-feng
（School of Mathematics and Statistics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong,China）

A monogenic semigroup can be generated by a singleton element.Useing a special kind of finite monogenic semigroup of matrices,it discusses their Green's ralations and obtain some new properties of finite monogenic semigroup.

monogenic semigroup;matrix semigroup;finite monogenic matrix semigroup

O152.7

A

1007-5348（2016）12-0004-03

（責(zé)任編輯：邵曉軍）

2016-11-08

徐文鋒（1983-），女，江西都昌人，韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，碩士；研究方向：半群代數(shù).