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        集合的基本概念與表示方法

        2016-03-04 04:36:22李斌
        新課程(下) 2016年9期
        關鍵詞:學校方法

        李斌

        (重慶市酉陽第一中學校)

        集合的基本概念與表示方法

        李斌

        (重慶市酉陽第一中學校)

        “集合”這一節(jié)內(nèi)容是進入高中數(shù)學學習的敲門磚,而“集合”這兩個字是大家都不陌生的詞語。學校一般進入高一前都會進行軍訓,而教官使用頻率較高的詞語就有“集合”,通常會說“一連集合”“一連女生集合”“一連男生集合”等等。這些都是關于“集合”在生活中的應用。

        一、集合的理解

        教材上是這樣定義集合的:一般的,我們把研究對象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱集)。比如在軍訓中的“一連女生集合”中的一連每一個女生就是一個元素,而一連中所有的女生就構成一個集合。這樣看感覺集合很簡單,但是要理解集合要從以下幾方面來理解:

        1.集合中的元素具有確定性:比如說“漂亮的女生”就不是一個集合,因為每一個人評價漂亮的標準不同,就會出現(xiàn)張三覺得漂亮,王五覺得不漂亮這種情況,因此就無法判斷該女生是否在該集合內(nèi),這就與集合元素的確定性相悖。簡單地說就是一個元素要么屬于集合,要么不屬于集合,二者必居其一,且只居其一。

        2.集合中的元素具有互異性:比如:5∈ {1,m+2,m2+4},則m的取值集合為 {1,-1,3}。這是錯誤的,因為如果m取的值是-1,那么原集合就變成了 {1,1,5},這里的兩個1相同,就與集合元素的互異性矛盾。也就是說若元素a屬于集合A,元素b屬于集合A,則元素a不等于元素b。

        3.集合中的元素具有無序性:{a,b}與 {b,a}表示同一個集合。也就是說集合中元素的位置沒有前后左右之分。

        二、集合的表示方法

        1.列舉法:常用于表示有限集,就是把集合中的所有元素一一列舉出來,寫在花括號“{ }”內(nèi),這種表示集合的方法叫做列舉法。比如要表示“中國的直轄市”可以用集合表示為{北京市,天津市,上海市,重慶市};要表示小于11的所有自然數(shù)組成的集合可以表示為 {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};要表示由方程x2=x的所有實數(shù)根組成的集合可以表示為 {0,1};要表示1~19以內(nèi)的所有素數(shù)組成的集合可以表示為 {2,3,5,7,11,13,17}等等,這些有限集都可以用列舉法來表示。用它來表示集合簡潔明了,一目了然,但只能表示有限集,且有限集里面的元素盡量少才能表示。

        2.描述法:常用于表示無限集,把集合所含元素的共同特征在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征。這種表示集合的方法叫做描述法。即:{x|P}(x為該集合的元素的一般形式,P為這個集合的元素的共同屬性)比如:{x|y=x2}表示函數(shù)y=x2的定義域即為R, {y|y=x2}表示函數(shù)的值域即為非負數(shù)集,{(x,y)|y=x2}表示的是函數(shù)y=x2的圖像拋物線上所有點集合。這三個集合看起來相同,實際上大相徑庭,因此教學時一定要強調(diào)代表元素的重要性。又比如要表示不等式x-3>2的解集可以表示為 {x|x-3>2};要表示二次函數(shù)y=x2-15圖像上的所有點組成的集合可以表示為{(x,y)|y=x2-15};要表示方程x2+ y2+4x-6y+13=0的解集可以表示為{(x,y)|x2+y2+4x-6y+13=0}等等,這些集合都可以用描述法來表示,而對于方程x2+y2+4x-6y+ 13=0的解集,它既可以用列舉法也可以用描述法來表示,如果用列舉法表示就是{(-2,3)},這表示集合中有且只有一個元素,即(-2,3)。顯然,用列舉法表示集合時,豎線前的代表元素非常關鍵,還有就是后面的描述也非常關鍵,一旦描述得不同,結果就有可能完全不同了,因此一定要認真讀題,仔細分析。用描述法來表示集合不僅表達比較簡潔,而且能把元素間的相互關系表達清楚,因此描述法是表示集合的一種重要方法。

        3.自然語言法:顧名思義就是用自然語言來描述集合的一種方法。例如:我國從1992~2016年內(nèi)所發(fā)射的所有人造衛(wèi)星;重慶市酉陽第一中學校在2016年9月1日入學的所有高一學生;方程x2+y2+4x-6y+13=0的所有實數(shù)根;到直線l的距離等于定長d的所有點的集合等等。這些都是用自然語言表示集合的例子。用自然語言可以表示所有的集合。

        4.圖示法:為了形象表示集合,我們常常畫一條封閉的曲線(或者說圓圈),用它的內(nèi)部表示一個集合。這樣可以形象直觀地表示集合,通常用于處理抽象集合間的相互關系。

        5.常用數(shù)集及表示法:R:實數(shù)集;Q:有理數(shù)集;Z:整數(shù)集;N:自然數(shù)集(非負整數(shù)集);N*正整數(shù)集;φ:空集;C:復數(shù)集。

        一旦掌握了集合的定義和集合的表示方法后,關于集合概念的問題就會迎刃而解了,因此,我們在教學中應該多舉形象生動的例子,讓學生切實體會其中的深意。

        [1]周煥山.集合的基本概況及其教學[J].江蘇教育,1982.

        [2]陳宏偉.怎樣學好“集合”[J].中學生數(shù)理化,2006.

        ·編輯張慧

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