胡祝齊

（江西師大附中）

熟練的解題方法 陌生的方法原理
——從北美數(shù)學(xué)教學(xué)再看數(shù)軸標(biāo)根法原理

胡祝齊

（江西師大附中）

高次不等式是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的重要不等式。在國內(nèi)中學(xué)里，教師主要介紹了一種簡單的方法——數(shù)軸標(biāo)根法。這種方法簡單且實用。筆者現(xiàn)在中美實驗班教微積分預(yù)備，涉及多項式函數(shù)的教學(xué)和圖形計算器的使用。筆者將從多項式函數(shù)的角度來重新闡釋數(shù)軸標(biāo)根法，將原理剖析清楚。

一、方法回顧

對高次多項式不等式：a0xn+a1xn-1+a2xn-2+……+an＞0。

第一步，先將x最高次項系數(shù)化為正數(shù)，再通過因式分解將其分解成一次因式和不可再分解的二次因式的乘積，相同的一次因式寫成冪指數(shù)的因式。

第二步，將其對應(yīng)方程的根在數(shù)軸上標(biāo)出來。

第三步，從右向左從上到下依次穿線，穿線時，遇到奇重根時，在其對應(yīng)的根處穿過，遇到偶重根時，在其對應(yīng)的根處，不穿過。

第四步，線在x軸上方部分對應(yīng)函數(shù)在這些區(qū)間值為正數(shù)，故是大于零不等式對應(yīng)的解，線下部分同理，從而找出原不等式的解集。

二、逐步釋疑

1.為何先將最高次項化為正數(shù)？一定要從右向左從上到下依次穿線嗎？

答：這兩個問題實際上是有內(nèi)在聯(lián)系的。我們以y=x4-3x3-2x+ 1為例。當(dāng)x→∞時，函數(shù)值應(yīng)該趨近于正無窮。從函數(shù)圖像的角度，應(yīng)該是越來越向上的。所以當(dāng)我們從右邊向左邊穿時，應(yīng)該從上到下穿。

反之，例如y=-3x3-2x+3，當(dāng)x→∞時，函數(shù)值趨向于負(fù)無窮。從函數(shù)圖像的角度，圖像走勢是向下走的。所以當(dāng)我們從右向左邊穿時，應(yīng)該從下到上穿。

在國內(nèi)教學(xué)中，教師為了方便識記，將兩種情況合成一種，方便記憶。

2.穿線時，為什么奇穿偶折？

答：我們可以用冪函數(shù)來看這個問題。我們知道冪函數(shù)是奇次時，函數(shù)穿過原點；當(dāng)冪函數(shù)是偶數(shù)時，函數(shù)關(guān)于y軸對稱。對于任意一個高次函數(shù)，例如y=（x-3）（x+2）2（x-4）在x=-2這個點附近，我們?nèi)∵@個點附近很小的一個鄰域，在這個范圍內(nèi)，函數(shù)可以近似看成y=（x+2）2，此時函數(shù)是關(guān)于x=-2對稱，且不會穿過坐標(biāo)軸，所以偶次折回來。同理，奇次也可得到相應(yīng)的結(jié)論。

3.為什么線在x軸上方部分對應(yīng)不等式在這些區(qū)間值為正數(shù)？

答：數(shù)軸標(biāo)根法的線，實際上是多項式函數(shù)的一種簡單的圖像，這根線僅表達出了高次不等式對應(yīng)的多項式函數(shù)的零點和在零點附近的取值情況，忽略了函數(shù)的極大值、極小值等其他性質(zhì)。根據(jù)函數(shù)圖像，在x軸上方部分即為函數(shù)值大于零的相應(yīng)圖像。

綜上所述，從多項式函數(shù)的角度闡釋數(shù)軸標(biāo)根法，更加清晰易懂。這樣我們不僅教授學(xué)生方法與口訣，更告訴了方法背后的原理，從而將陌生的原理變?yōu)槭煜さ脑?。即使學(xué)生忘記了數(shù)軸標(biāo)根法的步驟，他們也能從多項式函數(shù)很快推倒出來。

·編輯 孫玲娟