龔波
(江西省南昌市十三中)
高中數(shù)學中的分類討論思想
龔波
(江西省南昌市十三中)
數(shù)學思想的培養(yǎng)貫穿于整個高中數(shù)學教學中,在此過程中,教師不僅需要教會學生數(shù)學知識,掌握數(shù)學方法,培養(yǎng)數(shù)學能力,更應該引導學生感悟數(shù)學思想。分類討論既是一種重要的數(shù)學思想,又是解決問題的邏輯方法。這種方法對于簡化研究對象、發(fā)展人的思維有著重要幫助。在教學活動中“分類討論思想”是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一種重要手段,它能揭示研究對象之間的內(nèi)在聯(lián)系,學生可以用它解決問題,使數(shù)學知識結(jié)構(gòu)更有條理。此外,運用分類討論來解決的題目在高考試題中也必然存在。重點論述高中數(shù)學中分類討論的原理、類型以及討論的步驟,講述分類討論的具體應用。
高中數(shù)學;分類討論;數(shù)學思想
所謂分類討論,就是在解決一個問題時,若所研究對象或者答案不能統(tǒng)一表述,我們就按照某一確定標準,將對象嚴格按標準分為幾個小類,然后逐一研究每一類情況,最后綜合各類結(jié)果,得到完整答案。這樣的思想方法,我們就稱之為“分類討論思想”。
分類討論是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一種重要手段,是解決問題的一種重要思想方法。它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與方法。
想要完整準確地解決數(shù)學問題,必須遵循分類討論的原則。
復雜問題存在不確定因素,或者答案不能統(tǒng)一表述,此時可以將其劃分為幾個簡單子問題。首先,必須明確分類的標準,即分類的標準要統(tǒng)一,不能出現(xiàn)按不同標準來分類,這是正確分類的前提。其次,做到不重復、不遺漏,一個元素不能既在這一類,又在另一類;同時,在將每一類解答綜合時應與原題等價。最后,注意多層分類時,不能越層次討論。
1.確定什么要分類討論以及分類的準則
2.對需要討論的問題進行準確的分類
3.逐類討論:即對各類問題分別解答
4.歸納總結(jié)各類答案,整合得出最后結(jié)論。
1.因數(shù)學定義和規(guī)則必須分類討論的
如,開偶次方、不等式兩邊同乘、去絕對值等。
2.由定理、性質(zhì)、公式的限制引起的分類討論
對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性因底數(shù)a的取值范圍不同而不同,故需對a進行分類討論。
3.由幾何圖形中由于相對位置不確定引起的分類討論
4.某些含有參數(shù)的問題,由于參數(shù)的取值不同對結(jié)果有影響,所以要分類討論
例如,有關(guān)一元二次函數(shù)最值、值域等問題,如果含有參數(shù),需要對開口方向、對稱軸的位置進行分類討論,最后綜合各種情況得到答案。
5.其他情形,具體問題要根據(jù)實際情況具體分析
對于何時需要分類討論,則要視具體問題而定,并沒有絕對規(guī)定,我們要在解題時不斷地總結(jié)經(jīng)驗。另外,數(shù)學中的一些結(jié)論一般情形是正確的,但要考慮特殊情況。解題時,應注意就這些特殊情形進行討論。常見的有以下幾例:
(1)“一元二次方程有實數(shù)解”轉(zhuǎn)化為Δ≥0時,忽略了個別情形:當a=0時,方程有解不能轉(zhuǎn)化為Δ≥0;
(2)等比數(shù)列前n項和公式中:q=1時,公式不成立,而是Sn= na1。
(3)直線方程時,設直線的斜率為k,但當直線與x軸垂直時無斜率,應另行討論。
數(shù)學的學習過程就是一個提出問題、分析問題,進而解決問題的過程。分類討論思想正體現(xiàn)了這么一個數(shù)學學習過程。遇到一個實際的復雜問題,盲目地去做,這樣往往不能對問題進行很好的解決。根據(jù)自己掌握的知識,對原來的復雜問題進行分解,得到幾個簡單的子問題。為了做到問題分解不重不漏,在分類講解時要具有條理性。對分解得到的每一個子問題逐一進行分析解答,并對所有子問題的解進行歸納總結(jié),得到原問題的完整解答。
分類與討論是解決高中數(shù)學復雜問題的一個重要策略。它貫穿于整個數(shù)學理論體系,在中學數(shù)學教學中起著非常重要的作用。這一思想有助于培養(yǎng)學生的思維能力,提高學生解決實際問題的能力。
數(shù)學思維的教學和數(shù)學的一般知識不一樣,很難在短時間內(nèi)掌握。教師在教學過程中不要急于求成,應該在平時的教學中有意識地將分類討論的思想滲透其中,讓學生一步一步地學習分類方法,加強思考,提高解決復雜問題的能力。最后,必須指出的是,不要盲目或機械地進行分類討論,要與化歸思想、類比思想、數(shù)形結(jié)合思想等綜合,力求迅速準確地解決問題。
孫姣.多元化自學輔導法”在中學數(shù)學教學中的實踐探索[J].中國創(chuàng)新科技導刊,2011(32).
·編輯王團蘭