廖平安

(深圳市龍華新區(qū)清湖小學(xué) 廣東 深圳 518000)

“歸納、類(lèi)比與猜想”在小學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)應(yīng)用

廖平安

(深圳市龍華新區(qū)清湖小學(xué) 廣東 深圳 518000)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有許多法則、公式等，是按照從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律，通過(guò)對(duì)特例的觀(guān)察、分析、實(shí)驗(yàn)，從而歸納出一般性結(jié)論，即歸納法。類(lèi)比在數(shù)學(xué)知識(shí)延伸拓展過(guò)程中常借助于比較、聯(lián)想來(lái)啟發(fā)誘導(dǎo)以尋求思維的變異和發(fā)散。在歸納知識(shí)系統(tǒng)時(shí)又可用來(lái)串聯(lián)不同層次的類(lèi)似內(nèi)容，幫助理解和記憶。在解決問(wèn)題時(shí)，無(wú)論是對(duì)于命題本身或解題方法，都是產(chǎn)生猜測(cè)、獲得命題的推廣或引伸的原動(dòng)力。因此，歸納法和類(lèi)比法既是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的有效方法。歸納和類(lèi)比都屬于合情推理，其結(jié)論需要演繹證明。猜想是歸納與類(lèi)比的成果，它們都包含有猜想的成分，所以猜想本身就是一種合情推理，直截了當(dāng)一點(diǎn)，合情推理就是猜想。牛頓說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！币虼?，合理地設(shè)計(jì)富有猜想的教學(xué)過(guò)程，不僅可以很好地組織教學(xué)，而且還可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

1 歸納法

歸納法是通過(guò)對(duì)同一類(lèi)事物的特殊對(duì)象的研究而得出一般性結(jié)論的方法，也就是由特殊到一般的推理方法。歸納法作為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)的探究學(xué)習(xí)和再創(chuàng)造學(xué)習(xí)中應(yīng)用非常廣泛。尤其是在一些公式、法則、性質(zhì)、規(guī)律等知識(shí)的推導(dǎo)往往是通過(guò)列舉幾個(gè)特殊的例子的基礎(chǔ)上歸納出來(lái)的。因此教師在教學(xué)時(shí)，要給予足夠的時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、操作，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行分析、比較，找出事物的共性和差異，并組織他們清楚地表達(dá)自己的思考過(guò)程與結(jié)果，學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單解釋歸納推理的過(guò)程與依據(jù)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)歸納的教學(xué)，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

1.1 法則的歸納

對(duì)于整數(shù)的加、減、乘、除的計(jì)算，都是通過(guò)幾個(gè)具體的由易到難的例子，讓學(xué)生在理解算理和口算方法的基礎(chǔ)上探索計(jì)算的方法，最后進(jìn)行交流和算法的總結(jié)，四則運(yùn)算法則的得出就是運(yùn)用了歸納法。

1.2 性質(zhì)的歸納

商不變的規(guī)律，小數(shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的性質(zhì)、比的性質(zhì)、比例的性質(zhì)、等式的性質(zhì)等等，是小學(xué)數(shù)學(xué)中重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)的獲得，也都是通過(guò)幾個(gè)例子，讓學(xué)生進(jìn)行觀(guān)察、探索、交流，最后歸納總結(jié)而得到的。

1.3 公式的歸納

小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)量關(guān)系式有很多，其中典型的計(jì)算公式主要是圖形的周長(zhǎng)、面積和體積公式。這些計(jì)算公式，也都是通過(guò)具體動(dòng)手操作，猜想并驗(yàn)證，進(jìn)而歸納出來(lái)的。

1.4 定律的歸納

小學(xué)生最早學(xué)習(xí)的運(yùn)算律是關(guān)于整數(shù)加法和乘法的運(yùn)算定律，即加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、乘法分配律。這些運(yùn)算律的產(chǎn)生，也是通過(guò)計(jì)算幾組算式來(lái)觀(guān)察并猜想，從特殊到一般，從而歸納出來(lái)的。

1.5 規(guī)律的歸納

小學(xué)數(shù)學(xué)中的規(guī)律主要有圖形、數(shù)列、算式的規(guī)律，乘法和除法的變化規(guī)律等。這些規(guī)律的發(fā)現(xiàn)頁(yè)主要是通過(guò)一些具體的例子的觀(guān)察、比較、聯(lián)想，再提出猜想，這是歸納法的典型應(yīng)用。比如，在乘法中，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍，積就擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍。這也是通過(guò)運(yùn)用歸納法得到的。

當(dāng)然，在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，學(xué)生的推理能力處于初步發(fā)展階段，很難對(duì)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行證明，一般情況下都是通過(guò)再舉一些例子進(jìn)行驗(yàn)證。引導(dǎo)學(xué)生在操作、觀(guān)察等活動(dòng)中學(xué)生進(jìn)行分析、比較，找到簡(jiǎn)單的事物的共性與差異，探索給定情境中隱含的規(guī)律和變化趨勢(shì)，驗(yàn)證通過(guò)歸納推理得出的結(jié)論是否正確，并能解釋歸納推理的過(guò)程和依據(jù)。這些對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生推理能力的發(fā)展有著實(shí)際的意義。

2 類(lèi)比

類(lèi)比法就是根據(jù)不同的兩個(gè)(或兩類(lèi))對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，從而推出它們?cè)谄渌矫嬉部赡芟嗨苹蛳嗤耐评矸椒āＫ且员容^為基礎(chǔ)的一種從特殊到特殊的推理方法。類(lèi)比法是由此及彼以及由彼及此的聯(lián)想方法，著名數(shù)學(xué)教育家波利亞指出“類(lèi)比是一個(gè)偉大的引路人”，教師在教學(xué)中必須善于引導(dǎo)學(xué)生去聯(lián)想、類(lèi)比，才能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的想象力，讓他們通過(guò)比較去發(fā)現(xiàn)、去認(rèn)識(shí)、去掌握知識(shí)。培養(yǎng)具有創(chuàng)造能力的人才，就要幫助他們學(xué)會(huì)歸納和類(lèi)比。類(lèi)比具有啟迪思維、提供線(xiàn)索、舉一反三的作用，對(duì)發(fā)展思維特別是創(chuàng)造性思維十分有利。和歸納一樣，類(lèi)比在小學(xué)數(shù)學(xué)中也隨處可見(jiàn)。如通過(guò)類(lèi)比，從加法、減法的運(yùn)算性質(zhì)(或定律)很容易聯(lián)想到乘法、除法的相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì)(或定律)，由除法中各部分之間的關(guān)系，容易聯(lián)想到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等。

同時(shí)，類(lèi)比法是系統(tǒng)掌握新知識(shí)、鞏固舊知識(shí)，使新舊知識(shí)融會(huì)貫通的有效方法。數(shù)學(xué)的發(fā)展是一個(gè)不斷地從原有知識(shí)向深度和廣度推進(jìn)的過(guò)程，所以，各個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)與知識(shí)之間必然存在著相似之處，更何況，許多知識(shí)的發(fā)展就是類(lèi)比發(fā)現(xiàn)的結(jié)果。在實(shí)際教學(xué)中，教師必須有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生注意知識(shí)之間的比較，如分?jǐn)?shù)與除法的類(lèi)比，乘法與加法的類(lèi)比等。從舊知識(shí)去發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，這不僅僅能起到事半功倍的效果，還將會(huì)大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，取得良好的學(xué)習(xí)效果。在小學(xué)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，類(lèi)比的應(yīng)用主要體現(xiàn)以下幾個(gè)方面。

知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用舉例數(shù)的運(yùn)算整數(shù)的混合運(yùn)算法則、順序和定律推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)的運(yùn)算。除法、分?jǐn)?shù)和比除法商不變的規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)進(jìn)行類(lèi)比,包括有關(guān)問(wèn)題解決方法的類(lèi)比。長(zhǎng)度、面積、體積線(xiàn)、面、體之間的類(lèi)比:線(xiàn)段有長(zhǎng)短,用長(zhǎng)度單位來(lái)計(jì)量;平面有大小,用面積單位來(lái)計(jì)量;物體所占的空間有大小,用體積單位來(lái)計(jì)量。面積公式與平行四邊形面積公式的推到方法相類(lèi)比,三角形、梯形面積公式的推導(dǎo),也是用轉(zhuǎn)化的方法,把它們轉(zhuǎn)化成平行四邊形進(jìn)行推導(dǎo)的。圓的面積公式推導(dǎo)也是采取類(lèi)比的方法。體積公式正方體、圓柱、圓錐的體積公式的推導(dǎo)的過(guò)程和方法進(jìn)行類(lèi)比。問(wèn)題解決數(shù)學(xué)關(guān)系相近的實(shí)際問(wèn)題的類(lèi)比,如小數(shù)的實(shí)際問(wèn)題與整數(shù)的實(shí)際問(wèn)題的類(lèi)比,也如百分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題與分?jǐn)?shù)的實(shí)際問(wèn)題的類(lèi)比。

類(lèi)比是發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)，是創(chuàng)新的前提。無(wú)論是學(xué)習(xí)新知識(shí)，還是利用已有的知識(shí)解決新問(wèn)題，如果能夠把新知識(shí)和新問(wèn)題與已有的相類(lèi)似的知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比，進(jìn)而找到解決問(wèn)題的方法，體現(xiàn)了知識(shí)和方法的遷移。教學(xué)時(shí)，教師就可以啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)聯(lián)想、類(lèi)比來(lái)探索結(jié)果，提高解決問(wèn)題的能力。應(yīng)用類(lèi)比，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)兩類(lèi)事物相似的性質(zhì)，因此，觀(guān)察、比較、聯(lián)想是類(lèi)比的基礎(chǔ)。教師要鼓勵(lì)學(xué)生細(xì)心觀(guān)察、動(dòng)手操作、比較分析，尋找新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，發(fā)展類(lèi)比推理能力。

3 猜想

數(shù)學(xué)猜想是指根據(jù)某些數(shù)學(xué)現(xiàn)象而做出的預(yù)測(cè)性判斷，以及做出這些判斷的思維過(guò)程。數(shù)學(xué)家波利亞指出：“在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜想這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全做出詳細(xì)證明之前，你先得推測(cè)證明的思路，你先得把觀(guān)察到的結(jié)果加以綜合，然后加以類(lèi)比。你得一次又一次地進(jìn)行嘗試。數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果，是論證推理，即證明；但這個(gè)證明是通過(guò)合情推理，通過(guò)猜想而發(fā)現(xiàn)的。”因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須重視猜想。學(xué)生在課堂上積極、主動(dòng)地探究，需要猜想來(lái)引發(fā)。沒(méi)有猜想，就不會(huì)有探究。徐利治說(shuō)：“探索性思維中最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是提出一個(gè)有希望的合理的猜測(cè)?！辈孪胧翘剿餍运季S的方向，具有定位性、開(kāi)拓性和創(chuàng)造性，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與數(shù)學(xué)證明的前兆。數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)一樣，通常都是在通過(guò)類(lèi)比、歸納等探測(cè)性方法進(jìn)行探測(cè)的基礎(chǔ)上，獲得對(duì)有關(guān)問(wèn)題的結(jié)論或解決方法的猜想，然后再設(shè)法證明或否定猜想，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

當(dāng)前新課程改革課堂教學(xué)的主要模式是創(chuàng)設(shè)情境，提出猜想(通過(guò)歸納或類(lèi)比)，驗(yàn)證猜想(一般由合情推理來(lái)完成)，深化理解，總結(jié)提高。比如在教學(xué)3的倍數(shù)的特征時(shí)，因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)積累了探索2和5的倍數(shù)特征的經(jīng)驗(yàn)，因此對(duì)于3的倍數(shù)特征，教師可以放手先讓學(xué)生進(jìn)行大膽猜想。很多學(xué)生會(huì)理所當(dāng)然地認(rèn)為“末尾是3、6、9的數(shù)是3的倍數(shù)”，教師可以肯定學(xué)生的大膽猜想，鼓勵(lì)學(xué)生舉例一些3的倍數(shù)幫助驗(yàn)證，進(jìn)行分析觀(guān)察，對(duì)原猜想進(jìn)行驗(yàn)證、修正、完善，從而得到正確的結(jié)論：3的倍數(shù)的特征是各個(gè)數(shù)位的數(shù)字之和是3的倍數(shù)。認(rèn)識(shí)3的倍數(shù)特征之后，繼續(xù)探究9的倍數(shù)的特征如何？教師引導(dǎo)，尋找3與9的關(guān)系，通過(guò)類(lèi)比來(lái)引導(dǎo)學(xué)生提出猜想，并繼續(xù)驗(yàn)證猜想，從而得到9的倍數(shù)的特征是：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是9的倍數(shù)。

學(xué)生思維活躍，富于幻想，敢于猜想。但是，受知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的限制，有時(shí)會(huì)提出一些幼稚可笑甚至錯(cuò)誤的想法，這時(shí)教師非但不能諷刺打擊，給予抹殺，反而應(yīng)該加以鼓勵(lì)，給予正確引導(dǎo)。讓他們保持思維的積極性，給以他們敢想的勇氣。因?yàn)檫@些看似可笑、錯(cuò)誤的想法，總是蘊(yùn)含著孩子們的創(chuàng)造性思維的成果。那些不拘一格的猜想，就是創(chuàng)造性思維的體現(xiàn)。

推理作為一般性的數(shù)學(xué)方法，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展尤為重要。推理能力的形成和提高需要一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過(guò)程。數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的實(shí)質(zhì)是數(shù)學(xué)推理，“合情推理”是小學(xué)生特別容易接受的一種推理方式，在小學(xué)階段，教師應(yīng)重視學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，讓學(xué)生形成推理的意識(shí)和習(xí)慣，這對(duì)于培養(yǎng)他們追求真理、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度具有十分重要的意義。鑒于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，必須時(shí)適地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“合情推理”、“猜想”得到的結(jié)果給予嚴(yán)格說(shuō)明(證明)的必要性。因?yàn)椋挥薪?jīng)過(guò)合情推理、嚴(yán)格論證的結(jié)論，才具有真理性，誰(shuí)也無(wú)法否認(rèn)。而凡是偏離這兩條原則獲得的結(jié)論，不管怎樣錯(cuò)綜復(fù)雜、撲朔迷離，終究會(huì)被推翻或淘汰。

教學(xué)中，教師應(yīng)給予平臺(tái)讓學(xué)生充分探究，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生過(guò)程的一般方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的思想和方法之魅力。小學(xué)生長(zhǎng)期在這樣的環(huán)境的熏陶下，敢于發(fā)現(xiàn)，敢于猜想，敢于創(chuàng)新，又有根據(jù)、有條理的思考問(wèn)題的習(xí)慣將會(huì)慢慢地養(yǎng)成。

G623.5

A

1672-5832(2016)04-0157-02