☉浙江省淳安中學(xué) 朱勝平

淺談以形輔數(shù)在不等式教學(xué)中的設(shè)計(jì)

☉浙江省淳安中學(xué) 朱勝平

華羅庚先生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法推崇至極的是數(shù)形結(jié)合思想，其認(rèn)為能站在不同的視角審視同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，是提高學(xué)生思維和開(kāi)拓眼界最好的表現(xiàn).眾所周知，數(shù)形結(jié)合思想有以形輔數(shù)和以數(shù)解形兩個(gè)不同的方面，一種是用幾何的方式巧妙地解決代數(shù)問(wèn)題，另一種是用代數(shù)方法運(yùn)算幾何問(wèn)題的結(jié)論.從筆者多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，以形輔數(shù)對(duì)于學(xué)生思維的培養(yǎng)是發(fā)散的，其有助于靈活地轉(zhuǎn)換視角思考問(wèn)題；而以數(shù)解形卻恰恰相反，用了更為全面的方式去解決幾何問(wèn)題，是全面性思維的一種體現(xiàn)，舉一個(gè)例子，比如直線和圓的問(wèn)題，從幾何圖形中思考往往只能想到一種情況、一個(gè)答案，但是從代數(shù)方式去解決，我們發(fā)現(xiàn)代數(shù)方法能非常全面地解決圖形中沒(méi)能作出的情況，這正是以數(shù)解形的優(yōu)點(diǎn).

那么如何對(duì)高一學(xué)生去滲透數(shù)形結(jié)合思想中的以形輔數(shù)呢？在新知教學(xué)中如何實(shí)施這一教學(xué)呢？教師如何去設(shè)計(jì)這樣的課堂教學(xué)呢？帶著這一想法，筆者以一元二次不等式的初高中銜接內(nèi)容為本，進(jìn)行一種設(shè)計(jì)與嘗試.

一、設(shè)計(jì)前瞻

1.教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)課的內(nèi)容承接了上一節(jié)課解一元二次不等式的基本內(nèi)容，理解三個(gè)“二次”之間的關(guān)系.因此，鞏固三個(gè)“二次”之間的關(guān)系和進(jìn)一步掌握一元二次不等式解法非常重要.本節(jié)課用特殊到一般的方式，推導(dǎo)出任何情況下求解一元二次不等式的方法.

2.涉及思想

一元二次不等式貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)，作為一個(gè)基礎(chǔ)性的工具使用，解決大量的數(shù)學(xué)問(wèn)題.在本單元中，第二課時(shí)將不等式各情況下的解法進(jìn)行化歸，掌握這些對(duì)快速求解不等式十分有幫助，并在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)合的思想.

3.設(shè)計(jì)思考

在第一節(jié)課的基礎(chǔ)上，對(duì)一元二次不等式進(jìn)行拓展，再通過(guò)對(duì)其化歸，找到求解任何情況下一元二次不等式的基本方法.利用數(shù)形結(jié)合，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間的相互聯(lián)系，明白不等式的問(wèn)題也可以通過(guò)相應(yīng)函數(shù)圖像來(lái)解決.

二、設(shè)計(jì)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能視角

（1）進(jìn)一步熟練掌握解一元二次不等式的解法；（2）鞏固三個(gè)“二次”之間的關(guān)系，并利用這種關(guān)系求解相關(guān)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識(shí).

2.過(guò)程與方法視角

（1）通過(guò)數(shù)形結(jié)合解決不等式問(wèn)題；（2）在解決一元二次不等式過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)分類討論的理解和應(yīng)用.

3.情感態(tài)度價(jià)值觀視角

激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)其勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神.

三、設(shè)計(jì)過(guò)程

（一）復(fù)習(xí)引入

問(wèn)題1：一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系？

①二次函數(shù)圖像在x軸上方部分對(duì)應(yīng)的x值為一元二次不等式大于0的解；

②二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程的根；

③一元二次不等式解集對(duì)應(yīng)的端點(diǎn)是一元二次方程的根.

問(wèn)題2：上一節(jié)課中，我們?nèi)绾吻笠辉尾坏仁絘x2+bx+c＞0（a＞0）的解集？

第一步：求對(duì)應(yīng)方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的判別式.

第二步：根據(jù)判別式求方程的根.

①若Δ＞0，則不等式的解集為｛x|x＜x1，或x＞x2｝；

②若Δ＝0，則不等式的解集為｛x|x≠x1｝；

③若Δ＜0，則不等式的解集為R.

（二）新課設(shè)計(jì)

例1已知方程4x2-4x＝15的解為-，，快速給出不等式4x2-4x＞15的解集.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)這道例題熱身，再一次明確方程、不等式和函數(shù)之間的關(guān)系，做好復(fù)習(xí)并為下面做好鋪墊，鞏固學(xué)生求ax2+bx+c＞0（a＞0）的能力.

學(xué)生：回憶上節(jié)課表格內(nèi)容，給出正確答案.

例2解不等式-6x2-x+2≤0和-2x2+x＜-3.

設(shè)計(jì)意圖：第一課時(shí)所解的不等式二次項(xiàng)系數(shù)a＞0，在引導(dǎo)之下，讓學(xué)生產(chǎn)生如何求解a＜0的疑問(wèn)，豐富一元二次不等式的內(nèi)容，也幫助學(xué)生擴(kuò)散思維，并在類比和化歸中自己探索出求解方法.

師生活動(dòng)：

教師：提出問(wèn)題.

學(xué)生：思考，類比解決或者轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

師生：要求學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)規(guī)律，發(fā)表自己的看法，老師引導(dǎo)整理出規(guī)范的步驟.

教師：上一節(jié)課，我們只接觸了二次項(xiàng)系數(shù)a＞0的一元二次不等式的求解問(wèn)題，想必也有同學(xué)對(duì)如何求解二次項(xiàng)系數(shù)a＜0的一元二次不等式有疑問(wèn).既然如此，我們一起來(lái)探究a＜0時(shí)的求解方法.

學(xué)生：探索研究，討論交流.方法一：通過(guò)對(duì)不等式移項(xiàng)，將二次項(xiàng)系數(shù)a＜0的一元二次不等式轉(zhuǎn)化成a＞0的形式，利用上節(jié)課的內(nèi)容求解；方法二：類比上節(jié)課的方法，將a＜0時(shí)的函數(shù)圖像畫出，根據(jù)圖像求解不等式的解集.

教師：對(duì)兩種方法進(jìn)行評(píng)價(jià)和肯定.方法一，利用了化歸思想，一旦遇到一元二次不等式的題目都轉(zhuǎn)化成a＞0的形式進(jìn)行求解；方法二，利用類比a＞0的形式，通過(guò)對(duì)一元二次不等式、一元二次方程和二次函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步得到a＜0時(shí)的表格，鞏固了三者關(guān)系的知識(shí).為了方便理解和計(jì)算，教師引導(dǎo)學(xué)生采用第一種方法.

設(shè)計(jì)意圖：這兩節(jié)課接觸的一元二次不等式一般都是二次項(xiàng)系數(shù)a＞0并且a為整數(shù)的類型，通過(guò)這題讓學(xué)生充分理解化歸的思想，并且在他們腦海中形成一種模式，即所有一元二次不等式都可以轉(zhuǎn)化成a＞0且a為整數(shù)的形式進(jìn)行求解.

教師：提出問(wèn)題，讓學(xué)生回答解題思路.

師生：討論，在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上提出自己的想法.方法：將上述不等式轉(zhuǎn)化成a＞0且a為整數(shù)的形式進(jìn)行求解.

學(xué)生：原不等式為x2-2x-4＜0，再根據(jù)一般求解步驟求不等式的解集.

教師：根據(jù)剛才的幾個(gè)題目，結(jié)合上節(jié)課的內(nèi)容，請(qǐng)同學(xué)們整理出求一元二次不等式的一般步驟.

學(xué)生：①化，將不等式化成一般形式；②判，判斷對(duì)應(yīng)方程有沒(méi)有根；③求，求出方程的根；④畫，畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像；⑤解，根據(jù)圖像寫出不等式的解集.

（三）拓展升華

練習(xí)1設(shè)m∈R，解關(guān)于x的不等式m2x2+2mx-3＜0.

設(shè)計(jì)意圖：這是解含參數(shù)的不等式的題目.本節(jié)課的重點(diǎn)是將一元二次不等式進(jìn)行推廣，從a＞0的形式推廣到a取任意值的情況.這題重點(diǎn)在于討論m的取值，通過(guò)值的不同，結(jié)合二次函數(shù)圖像求解.

師生活動(dòng)：

教師：找學(xué)生板演，巡視課堂，答疑解惑.

學(xué)生：獨(dú)立完成.

師生：共同批改板演學(xué)生的答案，同時(shí)指出可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，提醒學(xué)生注意.

易錯(cuò)點(diǎn)1：忽略m＝0的情景，直接將不等式默認(rèn)為一元二次不等式，忽略部分答案.

變式訓(xùn)練1：解關(guān)于x的不等式ax2-（2a+1）x+2＜0.

小結(jié)1：解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)，首先要討論二次項(xiàng)系數(shù)，再根據(jù)一般步驟求解.

練習(xí)2若a＞0，則關(guān)于x的不等式x2-4ax-5a2＞0的解集是__________.

設(shè)計(jì)意圖：同樣是含有參數(shù)的練習(xí)題，但是本題的重點(diǎn)在于三個(gè)“二次”之間的關(guān)系，利用這種關(guān)系求解不等式的解集，特別要注意判斷兩個(gè)根的大小.

師生—共同討論回憶三個(gè)“二次”之間的關(guān)系，并利用這種關(guān)系求解.

①方程x2-4ax+5a2＝0的根為：5a和-a；

②因?yàn)閍＞0，所以5a＞-a，即x1＝-a，x2＝5a；

③a＞0，開(kāi)口向上，則大致圖像如右

圖所示；

④根據(jù)圖像可知，不等式的解集為｛x|x＜-a或x＞5a｝.

變式訓(xùn)練2：已知不等式ax2-bx-1≥0的解集為］，則不等式x2-bx-a＜0的解集為_(kāi)________.

小結(jié)2：三個(gè)“二次”之間的關(guān)系十分緊密，討論一元二次方程和一元二次不等式時(shí)，要利用相應(yīng)的二次函數(shù)解決問(wèn)題，關(guān)系如下：

練習(xí)3若不等式ax2+2x-1＜0的解集為R，則實(shí)數(shù)a滿足什么條件？

設(shè)計(jì)意圖：本題暗含著恒成立的思想，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，解得相應(yīng)參數(shù)的取值范圍.

師生：共同探討a變化時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的變化.

①a＝0，對(duì)應(yīng)函數(shù)為一次函數(shù)；

②a＞0，二次函數(shù)開(kāi)口向上；

③a＜0，二次函數(shù)開(kāi)口向下.

學(xué)生：通過(guò)上述三個(gè)圖像，很容易得出只有a＜0符合條件.進(jìn)而通過(guò)相應(yīng)的三個(gè)圖像求出滿足條件的a的取值范圍.（圖略）

變式訓(xùn)練3：不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，求a的取值范圍.

小結(jié)3：求解簡(jiǎn)單的恒成立問(wèn)題時(shí)，通過(guò)分析相應(yīng)的函數(shù)圖像可以求出所需要的式子，進(jìn)而求解.數(shù)形結(jié)合是解決這類問(wèn)題的最便捷的工具.

四、設(shè)計(jì)思考

本課是筆者以“以形輔數(shù)”作為指導(dǎo)思想設(shè)計(jì)的一堂新知教學(xué)課，從課堂初始提出的一元二次不等式開(kāi)始，至始至終圍繞著二次函數(shù)圖像去思考如何解決不等式問(wèn)題.從教學(xué)初始來(lái)看，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于不等式、方程都是函數(shù)的特殊情形認(rèn)知并不充分，沒(méi)有完全將三者是一個(gè)統(tǒng)一體聯(lián)系在一起，通過(guò)以形輔數(shù)的實(shí)踐，學(xué)生漸漸認(rèn)知要解決中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的一元二次不等式，主要問(wèn)題是圍繞圖像展開(kāi)的一種思考，與函數(shù)圖像和x軸的交點(diǎn)（即方程的根有重要聯(lián)系）.

在本課設(shè)計(jì)中，筆者處處請(qǐng)學(xué)生思考代數(shù)問(wèn)題的解決是如何通過(guò)圖像去展示的，從圖像的角度去體會(huì)不等式是如何解決的，這種思想貫穿課堂教學(xué)的始終.從上述課堂教學(xué)也給筆者帶來(lái)了一些小小的思索：

（1）圖形直觀性永遠(yuǎn)是解決問(wèn)題最好的方式，從學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)來(lái)看，直觀依舊是其認(rèn)知最好的方式，任何形態(tài)下能利用直觀解決的問(wèn)題，筆者始終堅(jiān)持以形輔數(shù)；

（2）學(xué)生自學(xué)為主，教師為主導(dǎo)，通過(guò)傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)使學(xué)生溫故而知新，拓寬了學(xué)生對(duì)一元二次不等式求解的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)；

（3）數(shù)形結(jié)合思想深入人心，根據(jù)三個(gè)“二次”之間的關(guān)系，通過(guò)對(duì)二次函數(shù)的分析，進(jìn)一步求解一元二次不等式，尤其在含有參數(shù)的不等式中極為有用.

1.黃一燕.翻轉(zhuǎn)課堂中數(shù)形結(jié)合教學(xué)設(shè)計(jì)模式研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)，2013（12）.

2.殷康康.不等式教學(xué)中以形輔數(shù)的運(yùn)用與思考［J］.中學(xué)教研，2013（3）.Z