☉浙江省寧波市榮安實(shí)驗(yàn)中學(xué) 張潤

立足功能地位，突破教學(xué)難點(diǎn)
——再談“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”教學(xué)

☉浙江省寧波市榮安實(shí)驗(yàn)中學(xué) 張潤

眾所周知，“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像”這節(jié)課的教學(xué)任務(wù)是“理解和掌握三角函數(shù)圖像變換的法則”.根據(jù)教材（人教A版）的編排，本節(jié)課的教學(xué)通常都是沿襲“三步走”的教學(xué)思路.第一步：讓學(xué)生動(dòng)手利用“五點(diǎn)法”作y=Asin（ωx+φ）圖像，比較y=sinx的圖像，發(fā)現(xiàn)參數(shù)A，ω，φ在圖像中所起的作用；第二步：通過例題解答，總結(jié)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像變換的規(guī)律，比如，“左加右減，上加下減”的平移變換規(guī)律；第三步：從函數(shù)解析式的角度揭示圖像平移、伸縮變換的一般法則，比如，平移變換“f（x）→f（x+φ）”，伸縮變換“f（x）→f（ωx）”.

我們姑且不去談?wù)摗叭阶摺痹诓僮鲗用嫔系氖胧鞘敕?，單從三角函?shù)的功能地位——“刻畫現(xiàn)實(shí)生活中周期現(xiàn)象的重要模型”來看，“三步走”的教學(xué)思路值得商榷.首先，參數(shù)“A，ω，φ”的現(xiàn)實(shí)意義沒有得到具體體現(xiàn)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）只是作為函數(shù)y=sinx的變式而存在；其次，“周期現(xiàn)象的重要模型”也無從談起，函數(shù)y= Asin（ωx+φ）只是作為研究圖像變換規(guī)則的載體而已，這顯然與y=Asin（ωx+φ）的功能地位相悖.由此可見，一直被廣大教師所認(rèn)可的“三步走”教學(xué)思路實(shí)際上是偏離了課程目標(biāo)和教學(xué)主題.那具體該如何改進(jìn)呢？

一、建立模型，感受函數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義

相比y=sinx，用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）來刻畫“生活中的周期現(xiàn)象”更具一般性，它是一類“重要的數(shù)學(xué)模型”.按照教材的描述，“在物理中，簡諧運(yùn)動(dòng)中單擺對(duì)平衡位置的位移y與時(shí)間x的關(guān)系、交流電的電流y與時(shí)間x的關(guān)系都是形如y=Asin（ωx+φ）的函數(shù)”.但遺憾的是教材（人教A版）并沒有給出具體的建模過程，只是停留在“比較圖像”的感性描述的層面上.這也是導(dǎo)致本節(jié)課教學(xué)“偏離主題”的原因之一.

（一）生活問題數(shù)學(xué)化

問題情境1：水車是我國古代發(fā)明的一種利用水力的灌溉工具，如圖1，其外形酷似古代的車輪，省工、省力又省錢，現(xiàn)代農(nóng)村還可以找到相關(guān)的實(shí)物.假定，在水流量穩(wěn)定的情況下，水車上的每一個(gè)水筒都在作勻速圓周運(yùn)動(dòng).我們就可以把水車抽象為如圖2所示的圖形，你能選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型來描述水筒（視為質(zhì)點(diǎn)）的位置隨時(shí)間的變化而變化的規(guī)律嗎？

圖1

圖2

水車轉(zhuǎn)動(dòng)最直接的效果就是導(dǎo)致水筒高度的變化，這也是數(shù)學(xué)建模的切入口.建模的第一步是建系，以過水車中心的直線為x軸，得到的模型會(huì)比較簡潔，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖3所示.

圖3

（二）合理引入?yún)?shù)

要刻畫質(zhì)點(diǎn)高度的變化，還需要引入四個(gè)常量：水車的半徑、水車中心距水面的高度，水車的旋轉(zhuǎn)速度、質(zhì)點(diǎn)的初始位置.表示這些量就需要引進(jìn)相應(yīng)的參數(shù)，設(shè)水車半徑為R，水車中心距水面的高度為b；由于質(zhì)點(diǎn)的高度跟水車旋轉(zhuǎn)的角度有關(guān)，所以設(shè)水車轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω；設(shè)水車的初始位置為P0，所在半徑的射線所對(duì)應(yīng)的角的大小為φ.假設(shè)經(jīng)過時(shí)間t后，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置P，此時(shí)轉(zhuǎn)過的角度為ωt，則質(zhì)點(diǎn)的高度h可以表示為：h=Rsin（ωt+φ）+b，這就是刻畫水筒位置隨時(shí)間的變化而變化的數(shù)學(xué)模型.

教學(xué)實(shí)踐表明，大部分學(xué)生能用已有的三角函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來認(rèn)識(shí)水車作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的問題，但對(duì)此類開放性的現(xiàn)實(shí)問題沒有足夠的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，比如，如何選擇坐標(biāo)、如何引入?yún)?shù)、區(qū)分常量與變量等，這都需要教師給以有效引導(dǎo)，并要給充分的思考時(shí)間.經(jīng)歷了上述的數(shù)學(xué)建模過程，學(xué)生終于能夠體會(huì)到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）是刻畫周期運(yùn)動(dòng)的重要模型，并且初步感受到了參數(shù)“A，ω，φ”的實(shí)際意義.

二、信息作圖，探究參數(shù)對(duì)圖像的影響

問題情境2：我們已經(jīng)得到了水車轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)函數(shù)模型，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，我們要畫出它的圖像，并通過圖像研究性質(zhì).你覺得可以按照什么思路展開研究？

研究函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像與性質(zhì)，可以通過特殊到一般的思路展開，即先賦予參數(shù)“A，ω，φ”特殊值，然后再推廣到一般的情況.借助幾何畫板軟件，通過計(jì)算機(jī)模擬作圖，學(xué)生可以直觀地看到參數(shù)A，ω，φ對(duì)圖像的影響：參數(shù)A決定圖像的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，即振幅；參數(shù)ω決定圖像的周期，即角速度；參數(shù)φ決定圖像的起點(diǎn)，即初相.

借助信息技術(shù)研究函數(shù)圖像，一是能夠方便快捷地作出圖像，化解了手工作圖帶來的困難（費(fèi)時(shí)且不準(zhǔn)確）；二是對(duì)參數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)賦值而實(shí)現(xiàn)“參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖像影響”的可視化；三是讓學(xué)生通過自主操作，調(diào)動(dòng)各種感官的作用，動(dòng)靜結(jié)合、手腦并用地認(rèn)識(shí)勻速圓周運(yùn)動(dòng)中各要素對(duì)運(yùn)動(dòng)過程的影響，直觀感知函數(shù)y= Asin（ωx+φ）的性質(zhì).這個(gè)為后面具體分析參數(shù)對(duì)圖像的影響奠定了直觀基礎(chǔ).

三、聯(lián)系現(xiàn)實(shí)，揭示圖像變換的規(guī)則

問題情境3：借助水車模型說明函數(shù)y=sin2x與y= sin（2x-）實(shí)際意義，并比較它們的異同點(diǎn).

顯然，這兩個(gè)函數(shù)模型都是刻畫半徑為1，以2為角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的水車上水筒高度的變化.但是，這兩個(gè)水筒的起始位置不同，一個(gè)初相為0，另一個(gè)為-.

同時(shí)，借助信息技術(shù)作出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，可以得到更加數(shù)學(xué)化的結(jié)論：兩個(gè)函數(shù)周期相同、函數(shù)y= sin（2x-）的圖像可以看成由函數(shù)y=sin2x的圖像向右平移得到，這樣就自然引出了本節(jié)課的重要內(nèi)容——圖像變換.在平時(shí)教學(xué)中，把函數(shù)y=sin2x的圖像變換成函數(shù)y=sin（2x-）的圖像，到底是平移還是個(gè)單位，一直是困擾學(xué)生的難點(diǎn).現(xiàn)在，可以利用水車模型把這個(gè)問題向?qū)W生解釋清楚.

由于兩個(gè)水筒P，Q在同一水車作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在同一時(shí)間點(diǎn)上，水筒P始終與水筒Q相差弧度，也就是說，兩個(gè)水筒相繼經(jīng)過圓上同一位置的時(shí)間差是一個(gè)定值.因?yàn)榻撬俣葹?，所以經(jīng)過弧度只需用個(gè)單位時(shí)間.相應(yīng)地，函數(shù)y=sin（2x-）的圖像就可以看成是由函數(shù)y=sin2x圖像向右平移個(gè)單位而得到.有了這個(gè)例題作鋪墊，接下去就可以研究更加一般的結(jié)論.

問題情境4：借助水車模型說明函數(shù)y=sinωx與y= sin（ωx+φ）圖像之間的關(guān)系.

兩個(gè)水筒P，Q在單位圓上以相同的角速度ω旋轉(zhuǎn)，初相差為φ，那么在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中兩者相繼到達(dá)同一位置的時(shí)間差始終是個(gè)單位，它們的圖像應(yīng)該是相差個(gè)單位.

同理，也可以借助水車模型說明函數(shù)y=sinωx與y= Asinωx、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）與y=Asin（x+φ）圖像之間的關(guān)系，進(jìn)而揭示圖像變換的法則.如此一來，圖像的平移、伸縮（橫向伸縮、縱向伸縮）都可以找到對(duì)應(yīng)的模型.

本課以三角函數(shù)的教學(xué)功能——“刻畫現(xiàn)實(shí)生活中周期現(xiàn)象的重要模型”為切入口，創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)問題情境，通過數(shù)學(xué)建模，不僅明確了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中各參數(shù)的實(shí)際意義，而且還揭示圖像變換規(guī)則的實(shí)際背景，突破了教學(xué)的難點(diǎn).整節(jié)課的設(shè)計(jì)依然遵循從特殊到一般、從具體到抽象的認(rèn)識(shí)規(guī)律，先通過典型事例讓學(xué)生觀察，獲得認(rèn)識(shí)后再安排變式活動(dòng)，最后引導(dǎo)學(xué)生歸納出一般結(jié)論.這顯然比傳統(tǒng)的“三步走”教學(xué)要科學(xué)合理得多.Z