☉福建省連江第一中學 李鋒 林富春 林友枝

基于數(shù)學理解性學習的定理教學研究*
——關(guān)于“平面向量基本定理”的教學及思考

☉福建省連江第一中學 李鋒 林富春 林友枝

定理教學是高中數(shù)學教學的重要內(nèi)容，《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》指出，教學要努力揭示數(shù)學定理的發(fā)展過程和本質(zhì)，通過典型例子的分析和學生自主探索活動，使學生理解定理產(chǎn)生的背景和逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的思想，追尋數(shù)學發(fā)展的歷史足跡.然而實際教學中，一些教師常常忽視定理的形成過程而在應(yīng)用上“濃墨重彩”，認為只要多加訓練使學生熟練便自然能理解所學定理.李士琦教授對這種“孰能生巧”的古訓提出質(zhì)疑，他在《熟能生巧嗎？》一文中，研究了熟能生巧與深刻理解的關(guān)系，提出理解與操作訓練的關(guān)系問題.可見，熟練并不一定能自然達到理解，片面強調(diào)機械記憶、模仿訓練及復(fù)雜技巧無益于定理本質(zhì)和蘊涵的數(shù)學思想的理解，徒然增加了學習的負擔，而不理解的知識是難以記憶的，更說不上掌握和靈活應(yīng)用了.數(shù)學知識只有被深刻理解，才具有遷移與應(yīng)用的活性，才能成為支撐學生今后發(fā)展的有效資源.因此，關(guān)注學生理解、數(shù)學理解性學習的定理教學研究意義重大.

一、關(guān)于數(shù)學理解性學習的基本認識

數(shù)學理解就是指學生在已有數(shù)學知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，建立新知識的個人心理表征，并不斷完善和發(fā)展頭腦中的數(shù)學知識網(wǎng)絡(luò)，同時能將納入知識網(wǎng)絡(luò)中的新知識靈活地加以提取和應(yīng)用.數(shù)學理解性學習是指學生在理解基礎(chǔ)上的數(shù)學學習，它不僅能夠?qū)⑿轮R與已有知識聯(lián)系起來，并在原有知識網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上積極有效地納入新知識從而構(gòu)建一個更為完整、豐富的知識網(wǎng)絡(luò)，而且能將新知識網(wǎng)絡(luò)中的知識、方法、思想等靈活地遷移與應(yīng)用.因此，數(shù)學理解性學習是一個目標指向明確的、不斷建構(gòu)復(fù)雜心理聯(lián)系的具有靈活遷移性的學習過程.

二、基于數(shù)學理解性學習的定理教學設(shè)計

定理教學的主要任務(wù)有：了解定理背景、明確定理的結(jié)構(gòu)、掌握定理的證法、明確定理的應(yīng)用、了解有關(guān)定理之間的內(nèi)在聯(lián)系并建立定理體系.為有效完成任務(wù)，在定理教學中教師要重視學生的理解程度，運用系統(tǒng)方法對各種課程資源進行有機整合，促進學生的理解性學習，使學生理解數(shù)學定理產(chǎn)生的深刻背景和逐步形成的過程，體會其中的思想方法，領(lǐng)悟定理本質(zhì)及豐富內(nèi)涵并能熟練甚至是創(chuàng)造性地進行應(yīng)用.具體方法是，教師先不直接給出相關(guān)定理，而是利用其豐富的現(xiàn)實生活背景提出與之有關(guān)聯(lián)的一系列問題，或者將其還原為一個學生已經(jīng)熟知的數(shù)學問題，創(chuàng)設(shè)最接近學生發(fā)展區(qū)的問題情境，使學生通過有效的師生交流，在解決數(shù)學問題的過程中自然得出定理進而掌握定理.顯然，在這種教學方式下，學生自主探索定理產(chǎn)生的背景及蘊涵的思想，親身經(jīng)歷定理的發(fā)生、發(fā)展過程，并深刻體驗直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、演繹證明、反思與建構(gòu)等思維歷程.其結(jié)果必然是一個教師啟發(fā)引導、學生積極參與、師生有效交互、學生自主建構(gòu)、理解不斷加深的高效課堂.

下面筆者以參加市優(yōu)質(zhì)課評比獲獎的一節(jié)課“平面向量基本定理”為例，談?wù)劵跀?shù)學理解性學習的定理教學的一些思路及粗淺的體會.

（一）內(nèi)容解析

向量是近代數(shù)學中重要和基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)，解決幾何問題的有力工具；同時，向量還有著極其豐富的實際背景，蘊涵了豐富的數(shù)學思想，在數(shù)學和物理學中具有廣泛應(yīng)用.平面向量基本定理指出平面內(nèi)任一向量都可表示為兩個不共線向量的線性組合，這樣，如果將平面內(nèi)向量的始點放在一起，那么平面內(nèi)任意一點都可以由平面內(nèi)的一個點及兩個不共線向量來表示，這是引入平面向量基本定理的重要原因.另外，平面向量基本定理很容易遷移類比到空間向量基本定理，因此教學的重要性不言而喻.

（二）教學過程簡介

1.創(chuàng)設(shè)情境，自然引入新課

物理中學習了力與速度的分解，如圖1，放在斜面上的物體受到的重力G可分解為使物體沿斜面下滑的力F1和垂直于斜面的壓力F2，即G=F1+F2；飛機起飛時的速度v（設(shè)仰角為α）可分解為沿水平方向的速度vcosα和沿豎直方向的速度vsinα，即v=vcosα+vsinα.若e1，e2是同一平面內(nèi)兩個非零向量，a是這一平面內(nèi)的任一向量，那么a與e1，e2之間有什么關(guān)系？怎樣探求這種關(guān)系？

圖1

設(shè)計意圖：以力與速度的分解作為開場情境，將與定理相關(guān)的問題特殊化處理，還原為學生熟知的物理知識，不僅使學生理解定理產(chǎn)生的實際背景，而且自然引發(fā)學生進行類比思考：給定平面內(nèi)任意的兩個非零向量，那么該平面內(nèi)任一向量能否類似地進行分解？目標指向明確，直逼教學主題.

2.自主探究，逐步形成定理

探究1：對于平面內(nèi)的任意一個向量，能否只用“一個”已知的非零向量來表示？如圖2，若已知a，則b，c，d能否用a表示？

圖2

設(shè)計意圖：由向量共線定理易知，只用“一個”已知的非零向量（如a）可以表示任意與之共線的向量（如b，c），但無法表示與之不共線的向量（如d），學生自然聯(lián)想到能否用“兩個”已知的非零向量來表示平面內(nèi)任意一個向量.

操作1：已知如圖3所示的非零向量e1，e2，試分別作出向量：a=3e1+2e2，b=-e1+2e2.

圖3

問題1：對任意給定的實數(shù)λ1，λ2，你能作出形如λ1e1+λ2e2的向量嗎（可以借助幾何軟件動態(tài)演示）？請敘述作圖步驟.

設(shè)計意圖：學生動手操作，進一步體會向量加法法則，為下面的逆向探究奠定思維基礎(chǔ).學生經(jīng)歷作圖、觀察、歸納、類比，直觀感知“兩個”不共線的向量e1，e2可以表示平面內(nèi)任意形如λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的向量.

探究2：反之，給定平面內(nèi)任意兩個向量e1，e2，平面內(nèi)的任一向量a是否都可以用形如λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的向量表示？如果能，這“兩個”非零向量應(yīng)滿足什么條件？

操作2：已知如圖4所示的非零向量e1，e2，試將向量a，b表示成λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式.

圖4

問題2：上述向量a，b關(guān)于e1，e2的表示形式λ1e1+λ2e2（即a，b關(guān)于e1，e2的分解式）是唯一的嗎（即同學們得到的結(jié)果是否一致）？改變e1，e2，如圖5，向量a，b還能作上述分解嗎？

圖5

問題3：如果e1∥e2，如圖6，向量a，b還能作上述分解嗎？

圖6

設(shè)計意圖：創(chuàng)設(shè)具體的問題情境，通過教師引導、學生自主思考、作圖驗證等活動，獲得對本節(jié)“對給定的兩個向量e1，e2，平面內(nèi)任一向量a是否可以表示成λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式”這一關(guān)鍵問題的初步體驗：即共線時不能，不共線時總能，為下面進一步歸納出平面向量基本定理、深刻理解定理奠定基礎(chǔ).

探究3：更一般地，給定平面內(nèi)任意兩個不共線向量e1，e2，平面內(nèi)任一向量a是否都可以用形如λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的向量表示，該表達式是否唯一？能用語言敘述嗎？

操作3：教師利用幾何畫板演示，通過改變向量a的方向及模的大小，引導學生觀察發(fā)現(xiàn)取不同值時的圖形特征，如圖7.還可以通過改變向量e1，e2（圖略），學生通過作圖研究向量a與e1，e2的關(guān)系，并利用語言表述.

圖7

設(shè)計意圖：理解定理的形成過程是定理教學的一項基本任務(wù)，根據(jù)探究發(fā)現(xiàn)學習理論與情境認知理論，基于理解性學習的要求，教師有計劃、有目的、有步驟循序漸進地提供一系列有利于學生發(fā)現(xiàn)定理的研究素材，通過廣泛而有效的教學交互活動，包括師生交互（教師必要的啟發(fā)與引導）及生生之間的交互（學生獨立思考與展開討論），學生親身經(jīng)歷實踐觀察、作圖分析、歸納類比等思維活動，建立猜想，自然得出平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.在上述定理得出環(huán)節(jié)的教學中，學生經(jīng)歷了直觀感知、操作確認、歸納猜想、反思建構(gòu)等一些列目標明確的復(fù)雜而聯(lián)系緊密的心理活動，深刻理解定理的背景及逐步形成的過程.

3.領(lǐng)悟內(nèi)涵，構(gòu)建定理體系

問題4：同一平面內(nèi)基底唯一嗎？基底中允許有零向量嗎？

問題5：平面內(nèi)的任一向量a在基底e1，e2下的分解式唯一嗎？例如，若me1+2e2=e1+ne2，則m=___，n=___.

問題6：若λ1e1+λ2e2=0，則λ1=___，λ2=___.

問題7：若實數(shù)λ1，λ2中有且只有一個為0時，a與基底e1，e2有什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：在前面借助具體實例直觀感知、通過數(shù)形結(jié)合作圖探究、操作驗證自然形成平面向量基本定理的基礎(chǔ)上，進一步抽象概括，明晰定理的條件與結(jié)論，建立定理條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，挖掘定理的本質(zhì)與內(nèi)涵，理解有關(guān)定理之間內(nèi)在聯(lián)系（如問題7表明，向量共線定理是平面向量基本定理的特殊形式.事實上，一個非零的向量可以表示任一與之共線的向量，兩個不共線的向量可以表示與之共面的任一向量，三個不共面的向量可以表示空間內(nèi)的任一向量，這正是由一維的向量共線定理推廣到二維的平面向量基本定理，再進一步推廣到三維的空間向量基本定理，體現(xiàn)了類比思想），從而形成數(shù)學定理體系，有利于定理的內(nèi)化、遷移與靈活應(yīng)用.

圖8

4.遷移應(yīng)用，深化定理理解

例1如圖8，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB=2DC，M，N分別是DC，AB的中點.在圖中確定一組基底，將其他向量用這組基底表示出來.

例2已知e1，e2是兩個不共線的向量，=2e1-4e2，=e1-λe2=2e1-9e2，若A，B，D三點在同一條直線上，求實數(shù)λ的值.

設(shè)計意圖：利用選定的基底來表示平面內(nèi)任一向量是向量運算的起始步驟，雖然基本但很重要，學生必需熟練掌握.這一過程體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想，無論什么向量，最終都可以用兩個已知的基底向量表示，為向量的運算提供了極大的便利.例1是一道開放題，不同基底的選擇影響到解題的繁簡程度，通過本題，使學生認識選擇適當基底的重要性，體會平面向量基本定理的作用；例2先將三點共線轉(zhuǎn)化為向量共線，再利用平面向量基本定理所蘊涵的唯一性求解，體會向量共線定理與平面向量基本定理之間的聯(lián)系，深化理解定理的本質(zhì)與內(nèi)涵.

圖9

設(shè)計意圖：平面向量基本定理的形成和應(yīng)用是一個循序漸進、逐步深化的過程，通過拓展性練習，使學生在前面的探究活動中獲得的數(shù)學知識、數(shù)學技能、數(shù)學經(jīng)驗與數(shù)學方法能順利內(nèi)化，達到拓展雙基、遷移能力的目的.進一步加強學生對定理的作用和價值的認識，理解知識之間的內(nèi)部聯(lián)系，建構(gòu)良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu).

三、思考

當前，“為理解而教”作為一種重要的教學理念逐漸被廣大教師所認同，關(guān)注學生理解、數(shù)學理解性學習的教學研究也備受重視.新課程倡導要密切關(guān)注學生的發(fā)展，要在教學中真正確立學生的主體地位并將學生的理解視為重要的關(guān)注點.因為數(shù)學知識只有被學生深刻理解了，才具有遷移與應(yīng)用的活性，才能內(nèi)化成為學生未來發(fā)展的有效資源；同時學生也只有理解了相關(guān)知識，才能享有根本意義上的主體地位，成為真正享受學習、理解學習的探究者.

通過本節(jié)課教學可以發(fā)現(xiàn)，基于數(shù)學理解性學習的定理教學一般包括創(chuàng)設(shè)問題情境、歸納猜想定理、明確條件與結(jié)論的聯(lián)系、證明定理、應(yīng)用定理、建立定理體系等六個步驟.教師首先創(chuàng)設(shè)一系列有目的的問題情境，然后展開積極有效的師生之間、生生之間的交流活動，讓學生親身經(jīng)歷直觀感知、操作確認、歸納猜想、應(yīng)用拓展等探究過程，自然地、水到渠成地得出定理，這非常有利于學生體會定理深刻的背景及逐步形成的過程，深刻理解定理的本質(zhì)與內(nèi)涵，從而能夠應(yīng)用定理甚至是創(chuàng)造性地應(yīng)用定理解決實際問題.同時，學生經(jīng)歷了新舊知識的認知沖突與聯(lián)系、新知識的同化與遷移等復(fù)雜的心理活動過程，有利于培養(yǎng)學生的直覺思維，大力發(fā)展學生包括合情推理在內(nèi)的推理論證能力，培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新精神，提升數(shù)學素養(yǎng).

1.劉紹學.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學必修4［M］.北京：人民教育出版社，2007.

2.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

3.李俊.基于數(shù)學理解性學習的教學設(shè)計探究——以“數(shù)列的概念及其表示”的教學為例［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2014（3）.

4.毛良忠.為理解而教——“懂而不會”現(xiàn)象的再透析［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2013（1-2）.

5.李鋒.基于人本理念體現(xiàn)教育價值——一類背景相似圓錐曲線問題的變式探究及思考［J］.數(shù)學教學研究，2015（12）.

6.陽志長.基于語言視角的平面向量教學探討［J］.中學數(shù)學（上），2013（11）.

7.李鋒.有機融入數(shù)學文化大力倡導數(shù)學精神——對《不等關(guān)系與不等式》一課的感悟與思考［J］.中學數(shù)學（上），2013（2）.Z

*本文系福建省連江縣2015年度教育科研課題“基于數(shù)學理解性學習的概念教學研究”（立項編號：LJJKXB15-002）的研究成果.