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例析高考數(shù)列中的不等式問題四招求法

江西師大附中高三(1)班(330046)洪欣鵬

在高考數(shù)列問題中，我們經(jīng)常會遇到不等式問題．對于不等式，很多同學(xué)會覺得這類問題很難應(yīng)對，無從下手．經(jīng)過思考研究，我覺得數(shù)列中的不等式問題實際上并不難處理，只要我們把握解決問題的方法，就能輕松搞定高考數(shù)列中的不等式問題．

1比較法

比較法是證明不等式的一種最基本、最重要的方法．

例1(2015年陜西理科21)設(shè)fn(x)是等比數(shù)列1,x,x2,…,xn的各項和，其中x>0，n∈N，n≥2．

(2)設(shè)有一個與上述等比數(shù)列的首項、末項、項數(shù)分別相同的等差數(shù)列，其各項和為gn(x)，比較fn(x)與gn(x)的大小，并加以證明．

解析：(1)略.

(2)(法一)由題設(shè)，

(1)若λ=0,μ=-2,求數(shù)列{an}的通項公式；

評注：數(shù)列與不等式的綜合題一般考查數(shù)列通項與前n項和的求法及最值等問題，如果涉及遞推數(shù)列，且與不等式證明相結(jié)合，那么試題難度會大大加強，解答時常常利用轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想分散題目的難度，同時需注意不等式的證明常常要利用放縮法．但放縮時，必須時刻注意放縮的跨度，做到“放不能過頭，縮不能不及” ．本小題只是簡單的放大或縮小了分式中的分母，放縮有度．現(xiàn)在高考中只要求能進行簡單的放縮．常用的簡單放縮技巧有(1)刪掉(或添加)一些項；(2)在分式中放大或縮小分子或分母；(3)應(yīng)用均值不等式進行放縮等．

3數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法，在數(shù)列證明中常常用到．

評注：本小題是關(guān)于正整數(shù)n的一個命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法予以證明．解題中往往還會使用不完全歸納法，既要歸納發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又要能證明結(jié)論的正確性．因此，初步形成“觀察——歸納——猜想——證明”的思維模式，就顯得特別重要．

4構(gòu)造法

當(dāng)解決某些數(shù)學(xué)問題使用常規(guī)方法按照定向思維難以解決問題時，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點去觀察、分析、理解對象，牢牢抓住反映問題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，運用問題的數(shù)據(jù)、外形、坐標等特征，使用題中的已知條件為原材料，運用已知數(shù)學(xué)關(guān)系式和理論為工具，在思維中構(gòu)造出滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對象，從而使原問題中隱含的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對象中清晰地展現(xiàn)出來，并借助該數(shù)學(xué)對象方便快捷地解決數(shù)學(xué)問題．在不等式的證明中，構(gòu)造法就是特別重要的方法，尤其要注意函數(shù)的構(gòu)造．

(1)求a3的值；

(2)求數(shù)列{an}前n項和Tn；

當(dāng)n=1時，S1=1<2+2ln1=2，成立;

綜上可知，Sn<2+2lnn．