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突破相互制約實(shí)現(xiàn)成功解脫——例談多參數(shù)問(wèn)題的處理策略

江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)(212300)劉少卿

近幾年的高考題不僅重視了對(duì)含參數(shù)問(wèn)題的考查，而且似有參變因素多元化的趨勢(shì)，這些參數(shù)之間相互制約，相互影響，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”.此類(lèi)問(wèn)題分析要求高、思維難度大，學(xué)生常陷于盤(pán)根錯(cuò)節(jié)的參數(shù)關(guān)系中而無(wú)法理清頭緒，或者難以確定突破方向而無(wú)從下手，或者盲目下手，因繁復(fù)不堪而后繼乏力.如何引導(dǎo)學(xué)生從多重變化因素中解脫出來(lái)？應(yīng)引起人們的思考、探索與關(guān)注.筆者對(duì)此作了初步的探討.

一、從諸多變化因素中恰當(dāng)消去參數(shù)

解決含有多重變化因素問(wèn)題的主導(dǎo)思想是善于洞察具體問(wèn)題的特點(diǎn)，盡量減少參變因素.其途徑之一就是恰當(dāng)消參.

例1設(shè)a>b>c，且a+b+c=0，求拋物線(xiàn)y=ax2+2bx+c被x軸截得弦長(zhǎng)l的取值范圍.

二、從諸多變化因素中剔除假變因素

有些問(wèn)題中變化因素紛繁復(fù)雜，但只要靜心考察，便可發(fā)現(xiàn)有時(shí)某些似乎變化的因素只是“湊湊熱鬧”而已.其中有的是利用題設(shè)條件便可剝?nèi)プ兞康摹巴庖隆倍D(zhuǎn)化為可以待定的常數(shù)(即為假變數(shù))；有的盡管變化不定，而實(shí)質(zhì)上對(duì)問(wèn)題的研究沒(méi)有絲毫的影響.如能排除這些“假變因素”，便能減少參變因素，揭開(kāi)問(wèn)題的本質(zhì)，有利于問(wèn)題的解決.

例2已知直線(xiàn)l1⊥平面M于定點(diǎn)B，l2是平面M內(nèi)過(guò)定點(diǎn)A而不過(guò)點(diǎn)B的任一直線(xiàn)，AB=a.在l1,l2上分別有動(dòng)線(xiàn)段PQ=p,RS=q(p,q為定值).試問(wèn)在什么情況下，四面體PQRS取得最大體積？其最大體積是多少？

三、從諸多變化因素中窺探不變因素

動(dòng)中求靜、變中求定是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法.這在解決含有多重變化因素的問(wèn)題中更有其特殊的功效.

例3當(dāng)實(shí)數(shù)a,b變化時(shí)，直線(xiàn)l1:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0與直線(xiàn)l2:m2x+2y+n=0恒有一個(gè)相同的公共點(diǎn).問(wèn)點(diǎn)(m,n)應(yīng)在怎樣的曲線(xiàn)上？

四、從諸多變化因素中挖掘直觀因素

對(duì)于“含參”問(wèn)題一般較為抽象，解題中應(yīng)充分運(yùn)用函數(shù)的圖像、善于根據(jù)數(shù)式構(gòu)造圖形、借助幾何知識(shí)或抓住某些參數(shù)的幾何意義等手段，力求使抽象問(wèn)題具體化、直觀化.

五、從諸多變化因素中分清主變因素

多參數(shù)問(wèn)題含有兩個(gè)或兩個(gè)以上變?cè)覀冊(cè)诮忸}進(jìn)程中，可視其中一個(gè)為主元，其余視為參數(shù)，便可降低思維難度，化多元問(wèn)題為一元問(wèn)題.

(1)求實(shí)數(shù)a的值所組成的集合A；

分析：本題含有3個(gè)參數(shù)a,m,t，可在不同解題階段確立不同的主元，隱去另兩個(gè)參數(shù)，即可化為單參數(shù)問(wèn)題.

∵對(duì)x∈[-1,1]，f′(x)是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)a=1時(shí)，f′(-1)=0，以及當(dāng)a=-1時(shí)f′(1)=0.

∴A=[-1,1].

六、從諸多變化因素中尋求制約因素

在諸多變化因素之間，往往滿(mǎn)足某種特定的條件或存在某些隱含的制約因素，如能理順有關(guān)變?cè)g的關(guān)系并且充分地加以運(yùn)用，就可在“多參”、“多變”中穿梭自如，不至于迷失方向.

例6(2007高考江蘇題)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，a1=b1,a2=b2≠a1，記Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

(1)若bk=am(m,k是大于2的正整數(shù))，求證：Sk-1=(m-1)a1；

(2)若b3=ai(i是某一正整數(shù))，求證：q是整數(shù)，且數(shù)列{bn}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{an}中的項(xiàng)；

(3)(略).

分析：題中涉及的參數(shù)較多，有等差數(shù)列的公差d，等比數(shù)列的公比q以及m,k，令人眼花繚亂，無(wú)從下手.但如果考慮到⑴⑵所要證明的結(jié)論都僅與等比數(shù)列有關(guān)，而在已知首項(xiàng)的前提下，等比數(shù)列的關(guān)鍵制約因素是其公比q，因此可以認(rèn)為q是眾多變化因素中的制約因素，解題思路可緊緊圍繞q展開(kāi).

證明：設(shè){an}的公差為d，由a1=b1,a2=b2≠a1，知d≠0,q≠1，d=a1(q-1)(a1≠0).

(2)b3=a1q2,ai=a1+(i-1)a1(q-1)，由b3=ai，所以q2=1+(i-1)(q-1),q2-(i-1)q+(i-2)=0,解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因?yàn)閕是正整數(shù)，所以i-2是整數(shù)，即q是整數(shù).

設(shè)數(shù)列{bn}中任意一項(xiàng)為bn=a1qn-1(n∈N+)，設(shè)數(shù)列{an}中的某一項(xiàng)am=a1+(m-1)a1(q-1)(m∈N+).

(3)(略)

綜上所述，解多參數(shù)問(wèn)題的著眼點(diǎn)在于減少變?cè)獋€(gè)數(shù)，化繁為簡(jiǎn)，變難為易，由此出發(fā)，就可產(chǎn)生諸多解題策略.只要我們?cè)跍p元轉(zhuǎn)化上下功夫，就能突破多重參數(shù)之間的相互制約，實(shí)現(xiàn)成功解脫.