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探析高校自主招考試題中函數(shù)方程的求解策略

浙江省紹興魯迅中學(xué)(312000)洪建松虞關(guān)壽

函數(shù)方程是指含有未知函數(shù)的等式，即方程兩邊含有不確定的函數(shù).函數(shù)方程與其他知識(shí)結(jié)合以綜合題的形式常出現(xiàn)在近幾年的高校自主招考試卷和各級(jí)各類競(jìng)賽試卷中.函數(shù)方程的形式特點(diǎn)雖然較多，但解函數(shù)方程沒有系統(tǒng)的理論和方法，所以如何求解成為其難點(diǎn).所謂解函數(shù)方程就是求這個(gè)方程的所有的解，它實(shí)際上是一個(gè)探求函數(shù)解析式的過程，它盡管沒有理論上的指導(dǎo)，但還是可以根據(jù)函數(shù)方程的特征給出一些基本的求解策略和常用的方法.本文試想通過具體的例子，探析這些方法和策略，供參考.

一、賦值法

所謂賦值法就是根據(jù)所給條件，在函數(shù)定義域內(nèi)適當(dāng)?shù)貙?duì)自變量賦予某些特殊值或特殊的式子，從而使問題清楚明了.通過賦值簡(jiǎn)化了函數(shù)方程式，抓住了問題的本質(zhì)，達(dá)到了解決問題的目的.

例1函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y，滿足f(x+y2)=f(x)+2f2(y)且f(1)≠0，則f(2012)=.

試求：(1)函數(shù)y=f(x)的解析式；

(2)常數(shù)a的取值范圍.

二、換元法

將函數(shù)方程中的自變量適當(dāng)?shù)匾詣e的變量代換，以得到一個(gè)新的易解的函數(shù)方程.在換元的過程中，不可忽視換元之前與換元之后的等價(jià)性，同時(shí)要隨時(shí)注意消元，以減少運(yùn)算量.

例4已知f(x)是定義在N*上的函數(shù)，且滿足f(1)=1,f(2)=3,f(x+2)+2f(x)=3f(x+1)，求f(2012)的值.

三、待定系數(shù)法

此法適合于當(dāng)函數(shù)方程中的未知函數(shù)是多項(xiàng)式時(shí)的情形.首先寫出多項(xiàng)式的一般表達(dá)式，代入函數(shù)方程，然而根據(jù)兩個(gè)多項(xiàng)式相等的條件，確定多項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù).此法的依據(jù)是所給函數(shù)方程是未知函數(shù)定義域上的恒等式.在解題過程中要充分利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等函數(shù)的性質(zhì).

四、“猜想、歸納、證明”法

此法應(yīng)用于函數(shù)迭代問題.將給定的函數(shù)先迭代幾次，觀察得到的規(guī)律，加以歸納、總結(jié)，然后猜想迭代結(jié)論，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí)猜想結(jié)論.應(yīng)用此法在計(jì)算函數(shù)值時(shí)，應(yīng)注意周期性規(guī)律的變化.

解：根據(jù)題設(shè)，易求得f(1000)=997,

f(999)=f[f(1006)]=f(1003)=1000,

f(998)=f[f(1005)]=f(1002)=999,

f(997)=f[f(1004)]=f(1001)=998,

f(996)=f[f(1003)]=f(1000)=997,

f(995)=f[f(1002)]=f(999)=1000

f(994)=f[f(1001)]=f(998)=999,

f(993)=f[f(1000)]=f(997)=998,

f(992)=f[f(999)]=f(1000)=997,

f(991)=f[f(998)]=f(999)=1000,

f(990)=f[f(997)]=f(998)=999；…

由此可猜測(cè)

解：由條件易得f(1)(2004)=2003,f(2)(2004)=2002,……,f(2004)(2004)=0,f(2005)(2004)=0,f(2006)(2004)=0,…，由此歸納可知當(dāng)n<2004時(shí)，f(n)(2004)>0；當(dāng)n≥2004時(shí)，f(n)(2004)=0.

∴關(guān)于n的方程f(n)(2004)=0的最小正整數(shù)解為2004.

五、特殊函數(shù)法

該法先根據(jù)所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，尋找一些初等函數(shù)模型，通過這些特殊函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.例如設(shè)f(x)是R上的連續(xù)函數(shù)，且對(duì)所有x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),根據(jù)這個(gè)方程的特征可知這個(gè)函數(shù)方程的解f(x)=kx(k為常數(shù)).

(1)問f(xn)與f(x)有怎樣的關(guān)系，并說明理由；

(2)如果f-1(x)存在，則f-1(x)具有怎樣的性質(zhì)？并說明理由；

分析：由已知性質(zhì)馬上可與對(duì)數(shù)函數(shù)掛鉤，用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

解：(1)聯(lián)想對(duì)數(shù)函數(shù)可得f(xn)=nf(x).現(xiàn)說明如下：f(xn)=f(x·xn-1)=f(x)+f(xn-1)=f(x)+f(x·xn-2)=2f(x)+f(xn-2)=…=nf(x).

(2)由于對(duì)數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，故可得這樣的性質(zhì)f-1(x+y)=f-1(x)f-1(y).現(xiàn)說明如下：∵f(ab)=f(a)+f(b)，設(shè)t=f(ab)，x=f(a)，y=f(b)，則t=x+y，且ab=f-1(t)，a=f-1(x)，b=f-1(y)，于是得f-1(t)=ab=f-1(x)f-1(y)，f-1(x+y)=f-1(x)f-1(y).

試問：(1)f(x)的奇偶性如何？說明理由；

(2)在(0,4a)上，f(x)的單調(diào)性如何？說明理由.

綜上，f(x)在(0,4a)上是增函數(shù).