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2015年高考數學北京理第19題的探究

浙江省金華市第六中學(321000)虞懿

2015年高考數學北京卷理科第19題：

(Ⅰ)求橢圓C的方程，并求點M的坐標(用m,n表示)；

(Ⅱ)設O為原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N.問：y軸上是否存在點Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由．

1．問題解決

2．問題探究

波利亞曾說過：“沒有一道題目是徹底解決完的”．當我們做完一道題目后，我們除了可以研究它的解法(優(yōu)化)以外，更要從縱向、變式、橫向等角度出發(fā)，對這道題目進行拓展探究，從而得到一系列有價值的結論，這既是對原問題的深化與拓展，也是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的高效途徑．

2.1　縱向推廣

如果我們將橢圓一般化，點P任意化，能否得到類似結果呢？經過一番論證和計算，得到以下結論．

2.2　變式拓展

一道好的試題往往是命題者研究成果的結晶，在一個背景下，交換部分條件和結論，或給出某個問題一般結論的特例，便生成出一道新題，又能挑戰(zhàn)你的思維．筆者結合對相關題目的研究，又做了如下探究：

2.3　類比拓廣

波利亞說“類比是偉大的引路人．” 橢圓與雙曲線、拋物線“同宗同源”，那么雙曲線、拋物線是否具有上述類似結論成立？回答是肯定的．

結論9已知拋物線C:y2=2px(p>0)，點P(x0,y0)和點A(m,n)(n≠±y0)都在拋物線C上，直線PA交x軸于點M,設O為坐標原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N,則y軸上任意一點Q(異于原點)，使得∠OMQ=∠ONQ.

結論11已知拋物線C:y2=2px(p>0)，過x軸上一點M(t,0)(t>0)作直線與拋物線相交于P,A兩點，點B與點A關于x軸對稱，則直線PB恒過x軸上的定點N(-t,0).

結論12已知拋物線C:y2=2px(p>0)和x軸上兩點M(t,0),N(-t,0)(t>0),過點M作直線與雙曲線相交于P,A兩點，連接PN并延長交雙曲線于點B,則點A與點B關于x軸對稱．

(限于篇幅，結論5～12，請有興趣的讀者自行證明．)

3．探究感悟

探究試題是高中數學教師的一項重要工作，也是教師的一項基本功．通過對一些典型試題的探究，將它轉化為教學的素材，優(yōu)化教與學的過程．近年高考中的解析幾何試題往往依托本質，有很大的探究空間．特別是近年來頻繁出現的“定點”、“定值”等問題，一般都蘊含著一些規(guī)律在其中．作為教師應當做一個有心人，能夠引導學生進行探究，這樣才能舉一反三，提高我們課堂教學的實效性．