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橢圓內接梯形的一個性質

江蘇省興化市戴南高級中學(225721)朱傳美江蘇省興化市戴南中心小學(225721)李曉芳

文[1]就2013年湖北省的一道解幾競賽題做了很有意義的思考，得到了很好的性質，筆者讀后深有感觸，繼續(xù)做了一點思考，發(fā)現(xiàn)文[1]的證明略顯繁瑣，并且還發(fā)現(xiàn)了橢圓內接梯形的一個性質，整理如下，與徐老師共勉.

在證明此定理前，需要用到以下兩個引理：

引理1在梯形ABCD中，AB∥CD，AD交BC于M， AC交BD于N，E、F分別是AB、CD的中點，則M、N、E、F四點共線.

這兩個引理的證明就留給讀者.

由引理1和引理2很快能證得O、G、M、N四點共線，文[1]的證明略顯復雜一點.

下面給出定理的證明：

圖1

(2)當AB∥CD，且斜率存在時(如圖2)，設直線AB的方程為y=kx+m，直線CD的方程為y=kx+n(|m|≠|n|).

圖2

綜合(1)和(2)可得OM·ON=OG2.

當然，上述結論也可以類比到雙曲線和拋物線，這里不再說明，更進一步的探究就留給讀者去完成.

參考文獻

[1]徐全德.2013年湖北省高中競賽解幾題的簡證、推廣和引申[J]，數(shù)學通訊(上)，2013(11、12):85-86.