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對圓錐曲線又一共性的研究

四川省南充高級中學(637000)張小丹

文[1]給出了圓錐曲線的一個實用性結論：

1、題源再現(xiàn)

近來，我在研題時發(fā)現(xiàn)了題1：

(1)求橢圓W的方程；

2、猜想與探究

下面我們將此猜想規(guī)范化：

猜想2若E為雙曲線或拋物線，那么上述命題還成立嗎？

經過探究，我們同樣可以得到上述結論(有興趣的讀者可以自己證明).于是我們可以將之統(tǒng)一如下：

猜想3當E的焦點在y軸時，是否也有類似的結論呢？下面我們仍以橢圓為例，進行探究.

同樣地， 當E為焦點在y軸的雙曲線或拋物線時，也有類似的性質，證明略.

于是，我們可以將此性質統(tǒng)一如下：

(i)當E的焦點在x軸時，等式左邊為直線的斜率的平方(k2)；

3、例題賞析

(1)若點P關于x軸的對稱點為M，求證：直線MQ經過拋物線的焦點F；

例2已知直線y=k(x+1)與拋物線C:y2=4x相交于A、B兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若|FA|=2|FB|，則k=().

例3[2013陜西高考題改編]已知動點M(x,y)到直線l:x=4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.

(1)求動點M的軌跡C的方程；

(2)過點P(4,0)的直線m與軌跡C交于A、B兩點，若A是PB的中點，求直線m的斜率.

例4(2014四川部分中學質量評價題改編)在平面直角坐標系xOy中，已知B(1,0)，圓(x+1)2+y2=16，動點P在圓A上，線段BP的垂直平分線與直線AP相交于點Q，設動點Q的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

參考文獻

[1]張小丹,湯強.對一類圓錐曲線?？碱}目結論的探究[J].中學數(shù)學研究(江西師大).2013.9.