□朱希萍

逆向聯(lián)想 提升能力

□朱希萍

數學教學中教師要敢于創(chuàng)設“反其道而思之”的練習素材，促使學生反過來聯(lián)想思考。具體來說，可以采取從問題的相反面深入探索、從結論往回推、倒過來思考等方式實施教學，從而發(fā)展學生的逆向思維，提升空間觀念、數感、計算能力、數據分析觀念和解決問題的能力。

逆向 聯(lián)想 思維 學習材料

逆向聯(lián)想是一種重要的思維方式，是對司空見慣的已成定論的事物或觀點反過來聯(lián)想思考的一種思維方式。下面就數學教學中如何創(chuàng)設逆向聯(lián)想材料、提升解決問題能力談幾點看法。

一、創(chuàng)設逆向聯(lián)想材料提升空間觀念及問題解決能力

空間觀念是課程改革的一個核心概念，主要表現(xiàn)在“能夠由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與其三視圖、展開圖之間的轉化”。這是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析，由低級到高級不斷向前發(fā)展的認識客觀事物的過程。

小學數學圖形與幾何這部分內容最重要的目標是培養(yǎng)學生具有初步的空間觀念和問題解決能力。

那么，如何在平面圖形的教學中創(chuàng)設逆向聯(lián)想材料來達到以上目的。下面筆者以復習“平面圖形的面積計算”為例來談具體做法。

出示思考題：如果已知一個圖形中兩條互相垂直的線段長度分別是8厘米、5厘米，就能計算出它的面積，你能想象出這是一個怎樣的平面圖形嗎？請在格子紙上畫一畫，并計算它的面積。（注：格子紙的每一小方格邊長為1厘米）

當學生明白要求后，很快地就進入了想象的思考。教師在巡視中發(fā)現(xiàn)大部分學生，先想到的是長和寬分別是8厘米、5厘米的長方形，或者是直角邊分別為8厘米、5厘米的直角三角形；還有部分學生想到了底是8厘米、高是5厘米的其他三角形。思考片刻后有許多學生想到了平行四邊形。

接著教師又提出問題：除了三角形、平行四邊形之外，你還會想到什么圖形呢？

學生又一次進入沉思，在學生疑惑之時，教師在黑板上畫了兩條互相垂直，而垂足不在線段的端點上的情況。學生看到此圖忽然開朗，他們在格子紙上馬上畫出了如圖1的四邊形。并且很快地計算出了這個四邊形的面積是“8×3÷ 2+8×2÷2＝8×（3+2）÷2＝20（平方厘米）”。發(fā)現(xiàn)這個四邊形的面積與以上想到的所有三角形面積是相等的。

圖1

接著教師利用投影，先在投影上呈現(xiàn)一個底是8厘米、高是5厘米的三角形，并向學生提出問題：你們能繼續(xù)想象到與這個三角形面積相等的三角形嗎？你是通過怎樣的方法想到的？

教師根據學生的想象描述，在投影上演示（如圖2）。通過圖形的動態(tài)演示，使學生進一步理解等底、等高的三角形有無數個。

圖2

接著教師以同樣的方式，引導學生對同底、等高的平行四邊形進行想象變化（如圖3）。

圖3

再接著教師出示兩條對角線互相垂直的四邊形，如圖4中的左邊圖形。并提出問題：你觀察這個四邊形你還能想象到更多的面積相等的四邊形嗎？你是通過什么方法想到的？

教師根據學生的描述，利用投影作出動態(tài)的演示，如圖4中的右邊圖形。

圖4

學生觀察以上的動態(tài)演示，又領悟到了面積相等的四邊形也有無數個。在觀察中細心的學生還發(fā)現(xiàn)，當這條5厘米的線段平移到在端點垂直時，剛好這個四邊形變成三角形了。

圖5

接著教師在投影上展示圖5，形成上、下兩個平行四邊形的圖形，讓學生計算這個圖形的面積。

通過計算，學生發(fā)現(xiàn)這個圖形的面積與底與高分別是8厘米、5厘米的一個平行四邊形的面積是相等的。教師繼續(xù)引發(fā)學生想象，并再次利用投影的動態(tài)演示，使學生觀察驗證自己的想象，像這樣的圖形也有無數個。

以上教學給學生提供的條件，只是已知長度且互相垂直的兩條線段，并且通過這兩條線段就能計算出這個圖形的面積。要求學生把符合這樣條件的圖形重新進行想象，畫在格子紙上。顯然呈現(xiàn)這樣的逆向聯(lián)想素材，不僅僅是讓學生再次計算這些圖形的面積，而更重要的是讓學生在想象中再次認識計算這些圖形面積的相關條件，同時梳理出同底等高的三角形或同底等高的平行四邊形都有無數個。學生在想象中還延伸到對角線互相垂直的四邊形，并且知道這樣面積相等的四邊形也有無數個。更重要的是在圖4中學生能將四邊形變形成三角形，這樣的等積變形的思想是極其可貴的。

由此可見，我們采用這樣的逆向聯(lián)想方式，其主要目的是給學生創(chuàng)設了更大的思維空間，學生以果索因，根據提供的條件，在想象聯(lián)想平面圖形的面積計算中熟練計算公式；在圖形動態(tài)想象、觀察中訓練空間觀念，達到了最佳的梳理和訓練效果。

二、創(chuàng)設逆向聯(lián)想材料提升數感與計算能力

（一）培養(yǎng)數感

數感是對數的感悟。對數意義的理解，是對數大小相對性的一種感覺，是對結果合理性的判斷，能為解決問題而選擇適當的算法等。數感的培養(yǎng)要體現(xiàn)在過程中，結合在教學實踐中。下面筆者結合“式與方程”來談談具體做法。

先說“式與方程”，它由“用字母表示數、解方程、用方程解決問題”三部分組成。學習這部分知識學生學習的薄弱點在哪里呢？在分析學生解題思維過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學生困難的根源是對未知數與已知數進行四則運算后，所表示出來的式子其含義的理解上出現(xiàn)了問題。為了突破這一難點，我們創(chuàng)設逆向聯(lián)想材料突出對意義的理解。

筆者在復習“式與方程”時先來回憶用字母表示數，如果用一個字母“x”表示一個數（板書：一個數 x），你能想象一下這個字母“x”可以表示什么數呢？（學生說到了許多數，教師及時給予肯定：對了，這個字母可以表示我們所想象到的所有數）

緊接著教師隨手寫下“4x”，并提出問題：4x與x有什么關系呢？

生：4x表示x的4倍。

師：這里“x的4倍”的結果用“4x”表示，這“4x”就表示另一個數。

接著教師又隨手寫下“2x+4”，并提出問題：現(xiàn)在另一個數用這樣的式子表示，這另一個數又與x有什么關系呢？（學生又說出：另一個數是x的2倍還多4）

再接著教師又寫下“x÷2-4”，學生經過思考說出：另一個數是x的一半還少4。

在以上教學中筆者特意突出另一個數與前一個數（用字母所表示的數）的關系，先出示式子，再讓學生針對式子表述與一個數的關系，使學生進一步理解一個式子同樣表示著一個數的含義。這樣倒過來根據式子理解意義，設計多元表征之間的轉換對學生來說既有趣又有意義。

（二）培養(yǎng)計算能力

運算能力是課程標準中重新加回的關鍵詞。運算能力的幾個基本特征是：正確、有據、合理、簡潔。如何培養(yǎng)學生正確、有據、合理、簡潔的運算能力呢？

如在復習六年級的“簡便計算”時，第一環(huán)節(jié)教師讓學生光做第一組的5道計算題，在學生計算后，又出示第二組的5道題。

與第一組的5道題比較，復習梳理了運算定律，接著通過改編各題的運算符號或數據提醒學生容易犯錯之處，從而小結引出：做題時要仔細觀察、認真分析、選擇方法。這樣既夯實了基礎，又重視了學習習慣的培養(yǎng)。第二環(huán)節(jié)又出示3道題如下：

（20.8-12.49-7.51）÷2.5×40

（20.8-12.49+7.51）÷2.5÷40

(20.8-12.49-7.51)÷2.5÷40

在學生獨立計算后，通過與第一組題的學習比較，讓學生明確在計算中有時題目中的某一部分能簡便。運用運算定律簡便計算時一定要合理、靈活。

基于第一、第二環(huán)節(jié)中直接運用、部分應用簡便計算的方法后，第三環(huán)節(jié)教師出示如下2題：

在這個環(huán)節(jié)中學生通過計算不由自主地得出轉化運用、過程應用，再經教師的點撥，梳理出簡便計算的4種類型（直接簡便、部分簡便、轉化簡便、過程簡便），讓學生形成了一個整體認識。

第四環(huán)節(jié)讓學生通過自主擴充算式，提升能力。

針對下面的算式，進行擴充算式，使擴充后的算式可以運用運算規(guī)律得到簡便。

出示第五組題如下：

學生在以上幾個環(huán)節(jié)中概括地掌握了簡便計算的幾種類型，在第四環(huán)節(jié)中讓學生根據提供的一步計算的式子擴編成可以運用運算規(guī)律簡便的式子。這樣的活動將教學推向了一個高潮，一方面源于學生對擴題有新鮮感，另一方面這樣讓學生自主編題，逆向思考題目的來源，可以使學生清晰理解簡便計算的幾種題型。

三、創(chuàng)設逆向聯(lián)想材料提升數據分析能力

新課程標準理念下將統(tǒng)計與概率改成數據分析。關鍵詞的改變，讓人們逐漸認識到對于這個領域的學習重要性絕不僅僅是畫統(tǒng)計圖、求平均數等技能的學習，而是要讓學生“親近”數據，加強對學生數據分析觀念的培養(yǎng)。

例如在教學五年級下冊“折線統(tǒng)計圖”的復習課中，教師出示逆向聯(lián)想材料引發(fā)猜想。

教師給學生提供以下沒有標題的三張圖，要求根據以下的學習要求讀懂圖的意思。

練習要求：

1.想一想：這三張圖分別統(tǒng)計了張亮和陳明的什么情況？給每張統(tǒng)計圖補上合適的標題和橫坐標與縱坐標的名稱。

學生經過獨立思考小組交流后，教師組織學生集體交流。從反饋情況分析，學生合情地說出了第一張圖表示的是張亮和陳明兩位同學身高情況；第二張圖是表示這兩位同學的體重情況；第三張圖大部分同學都說出了是表示這兩位同學的考試分數情況。

2.讀了這三張統(tǒng)計圖后，你有什么想法想在小組里說一說嗎？

教師針對學生對每張圖的標題、橫坐標與縱坐標的表示組織評價，接著利用投影呈現(xiàn)三張完整的統(tǒng)計圖讓學生對照檢查。

再接著在每一圖上分別添加上標準身高、標準體重和班級的平均分（如下圖）。

以上我們先呈現(xiàn)的是張亮和陳明兩位同學的三張不同背景不完整的統(tǒng)計圖，要求學生從圖中相關數量的信息讀懂每張圖所反映的情況。這一過程也正是培養(yǎng)學生對折線統(tǒng)計圖解讀能力的過程。當學生通過質疑得到完整統(tǒng)計圖后，教師繼續(xù)在圖上呈現(xiàn)出標準身高、標準體重和班級平均分的折線，從而進一步豐富了學生的思考空間，激發(fā)了學生的學習興趣，培養(yǎng)學生的數據分析觀念。

四、創(chuàng)設逆向聯(lián)想材料提升解決問題能力

解決問題教學主要結合問題情境，注重問題情境的解讀，通過對數學問題的提煉、解題思路的訓練、多種解題方法的展示，來培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

在問題解決教學中變教師呈現(xiàn)問題為學生自主設計方案，他們針對自己所設計的方案、提供的材料進行觀察比較、質疑或在拓展的過程中進行思考、提升、梳理。

例如給不同的商場設計不同的促銷方案。（同學們，前幾天老師逛街的時候，發(fā)現(xiàn)有三家商場出售作業(yè)本的價格都是每本0.5元，同一款商品，標著不同的打折方法：耀達商場“九折優(yōu)惠”，你們說“三江購物”“陽光購物”該使用怎樣的促銷方案呢？這樣讓學生為兩個商場設計促銷方案，學生通過討論得出“三江購物”買5送1；“陽光購物”滿55元8折優(yōu)惠。再出示問題：六(1)班要買100本作業(yè)本,去哪家商店購買比較合算?請寫出思考過程。

這樣學生在設計方案的過程中要考慮：方案既要吸引顧客的眼球，又要讓商家有利可圖，然后通過問題解決提升能力。使學生在現(xiàn)實情境中思考，在方案設計中提升，在質疑中梳理。

又如，在復習百分數應用題時，教師與學生一起梳理了百分數應用題的類型及解決方法后，讓學生回憶分數百分數應用的類型有哪些，并用式子來表示，算式有：

①800×80% ②800÷80%

③ 800×（1-20%） ④800÷（1-20%）

⑤ 800×（1+20%） ⑥ 800÷（1+20%）

⑦800÷（1-20%-40%）……

讓學生再根據算式猜猜他們可能會碰到生活中的哪些問題，即根據算式編題。這樣提供逆向材料（算式）讓學生自主梳理百分數應用題的類型，在編題的過程中清晰百分數的題型，提高了分析問題解決問題的能力。

總之，在學生學習數學知識提升解決問題能力的過程中，即要注重順應、同化的教學手段，也可向學生呈現(xiàn)逆向聯(lián)想材料，以果索因，正逆互換，提升解決問題的能力。

（浙江省臨海大洋小學 317000）