□王康道

在數(shù)學化的學習活動中進行概念教學*

□王康道

對概念的認識不是從概念開始的，而是從圍繞著它的其他途徑（思維途徑）開始的，概念是認識過程的結(jié)果。數(shù)學教學要通過數(shù)學活動讓學生親身經(jīng)歷對現(xiàn)實進行數(shù)學化的過程，使數(shù)學變成他們自己“再創(chuàng)造”的產(chǎn)物，而不是成人強加給他們的東西。

數(shù)學化 概念 長方體的表面積

我國著名數(shù)學教育家曹才翰說過“概念是思維的”，數(shù)學概念作為數(shù)學課程最基本的思維“細胞”是構(gòu)成整個數(shù)學體系的基礎(chǔ)。所以說概念是數(shù)學的靈魂、根本。把握這些概念的教學，使學生領(lǐng)悟概念的本質(zhì)是實現(xiàn)有效教學的根本。那么，如何領(lǐng)悟概念的本質(zhì)而不是記憶或背誦概念的形式化的定義？筆者認為，教學時，關(guān)鍵是要把握兩個核心要素：一是學生經(jīng)歷怎樣的數(shù)學化的學習過程形成概念的認知結(jié)構(gòu)？二是教師如何指導學生在數(shù)學化的學習活動中領(lǐng)悟概念的本質(zhì)？下面以“長方體的表面積”教學為例，談?wù)剶?shù)學化視角下小學數(shù)學概念教學的策略。

【探明學情】

課前，以“預習案”為拐杖，指導學生有序的“先學”。一是基于問題指導學生閱讀課本上的學習材料，學生初步感知教學內(nèi)容所指向的新的、未知的東西，知道要學什么數(shù)學知識，學會了什么，存在怎樣的困惑，從而帶著問題和思考走進課堂；二是教師對學生預習的情況進行檢查，分析和把握學情：學生現(xiàn)有發(fā)展水平怎樣？具有怎樣的數(shù)學知識和活動經(jīng)驗呢？等等，基于學情設(shè)計適合學生進行數(shù)學化活動的具體情境，學生在問題解決的學習活動中，建構(gòu)小學數(shù)學概念的認知結(jié)構(gòu)。如在教學“長方體的表面積”一課時，筆者設(shè)計了如下的“預習”提綱：圖1是一個微波爐的包裝箱，填一填。

1.這個微波爐的包裝箱的正面是什么形狀？長和寬各是多少？和它相同的面是哪個？

2.它的右面是什么形狀？長和寬各是多少？和它相同的面是哪個？

3.哪幾個面的長是0.7米，寬是0.5米？

圖1

【學習過程】

活動一：

電腦呈現(xiàn)一個微波爐的包裝箱（圖1）。

問題：你知道了哪些數(shù)學信息？

生：這個微波爐包裝箱是一個長0.7米，寬0.5米，高0.4米的長方體。

生：這個微波爐包裝箱有6個面，每個面都是長方形，上下面、前后面和左右面是完全相同的。

師：這個微波爐的包裝箱正面是什么形狀？長和寬各是多少？

生：正面是一個長方形，長0.7米，寬0.4米。

師：你是怎樣想到的呢？

生：（學生動手描一描）微波爐包裝箱正面的長方形是由長方體的長、高這些棱圍成的。

生：長方體的長是0.7米，高是0.4米，所以這個微波爐的包裝箱正面是一個長0.7米，寬0.4米的長方形。

師：（閉上眼睛想一想）這個微波爐包裝箱的右面、上面各是什么形狀？長和寬各是多少？

生：右面是一個長0.5米，寬0.4米的長方形，上面是一個長0.7米，寬0.5米的長方形。

活動二：

問題：做一個微波爐的包裝箱，至少要用多少平方米的硬紙板？（學生自主探究，合作交流）

方法一：

生：0.7×0.5+0.7×0.5+0.7×0.4+0.7×0.4+0.5× 0.4+0.5×0.4＝1.66（平方米）

師：大家能明白嗎？誰知道他算式中的每一步都在算哪個面的面積？

生：兩個0.7×0.5分別算的是上下兩個面，兩個0.7×0.4分別算的是前后兩個面，兩個0.5×0.4分別算的是左右兩個面。

師：誰來概括剛才這位同學的方法？

生3：長×寬+長×寬+長×高+長×高+寬×高+寬×高。

方法二：

生：根據(jù)長方體面的特征，我把它們分為三組，然后計算6個面的面積。算式是0.7×0.5×2+ 0.7×0.4×2+0.5×0.4×2＝1.66（平方米）。

師：為什么？

生：因為長方體相對的兩個面的面積相等，所以可以一對一對地算。

師：這個方法請每個同學用文字概括出來，自己讀一讀，想一想分別算了哪兩個面的面積。

生：長×寬×2+長×高×2+寬×高×2。

方法三：

生：根據(jù)長方體面的特征，我把長方體的6個面的面積分為兩組。不同的三個面為一組。比如，上面、正面、右面為一組。（0.7×0.5+0.7×0.4+0.5× 0.4）×2＝1.66（平方米）。

師：誰能解釋這個算式？

生：0.7×0.5+0.7×0.4+0.5×0.4分別算出上面、正面、右面三個面積的和，“×2”就是還有一組三個對應(yīng)的面，分別是下面、后面、左面。

師：請大家把這種計算方法用文字概括。

生：（長×寬+長×高+寬×高）×2。

活動三：

師：比較解決“至少要用多少平方米的硬紙板”數(shù)學問題的三種方法，你得出什么結(jié)論？

生：第一種方法一個面一個面計算，比較麻煩，后面兩種方法一組一組地算，比較簡便。

生：無論采用哪種方法，都是求長方體6個面的總面積。

師：長方體6個面的總面積，叫作它的表面積。通過研究，可以發(fā)現(xiàn)長方體的表面積和它的面有關(guān)，其實就是跟它的長、寬、高有關(guān)系，我們要找準每個面的長和寬。

【思考】

一、在數(shù)學化學習過程中“再創(chuàng)造”概念的形式

數(shù)學化的學習過程應(yīng)遵循布魯納關(guān)于兒童思維發(fā)展的認知規(guī)律：操作水平、表象水平和分析水平。那么，學生經(jīng)歷怎樣的數(shù)學化的學習過程“再創(chuàng)造”概念的形式，形成概念的認知結(jié)構(gòu)呢？教學時，圍繞解決“做一個微波爐包裝箱，至少要用多少硬紙板？”這一實際問題，設(shè)計了三個數(shù)學活動，活動一：遵循點、線、面認識圖形的規(guī)律，理解“要做一個怎樣的微波爐包裝箱”的這一數(shù)學信息。做一個長0.7米，寬0.5米，高0.4米長方體微波爐包裝箱，這個微波爐包裝箱是由6個相對面面積相等的長方形圍成的立體圖形，建構(gòu)長方體的每個面是由哪些棱圍成的認知結(jié)構(gòu)，如前面的面是由長方體的長（0.7米）和高（0.4米）圍成的長方形，右面的面是由長方體的寬（0.5米）和高（0.4米）圍成的長方形，等等。那么，學生經(jīng)歷橫向數(shù)學化的學習過程，建立數(shù)學和生活之間的聯(lián)系，理解數(shù)學概念的本源?；顒佣航鉀Q“至少要用多少硬紙板”這一實際問題，啟發(fā)思考“怎樣計算長方體6個面的總面積？”這一問題關(guān)鍵所在，引導學生把計算長方體每個面的面積轉(zhuǎn)化成計算每個長方形的面積，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，這樣，學生經(jīng)歷縱向數(shù)學化的學習過程，建立抽象數(shù)學知識之間的聯(lián)系，形成數(shù)學概念之間縱向聯(lián)結(jié)的網(wǎng)絡(luò)?；顒尤涸诮鉀Q問題的學習過程中，通過比較、概括和抽象長方體表面積這一概念的形式化的定義，也就是長方體6個面的總面積?？傊趯W情和遵循學生認知發(fā)展規(guī)律設(shè)計體現(xiàn)不同水平的學習活動，學生親歷概念的形成過程，在這一數(shù)學化的學習過程中逐步抽象和概括出概念形式化的定義。

二、在數(shù)學化的學習活動中指導學生把握概念的本質(zhì)

把握概念的本質(zhì)是有效教學的根本。長方體的表面積這一概念是由“長方體”“6個面”“總面積”這幾個頻繁出現(xiàn)的詞語構(gòu)成的，這是長方體的表面積形式化的定義，那么，這一數(shù)學概念的本質(zhì)是什么呢？筆者認為，是求6個長方形的總面積。既然如此，教學時，關(guān)鍵是要指導學生理解一個核心要素：每個長方形是由長方體的哪些棱圍成的？那么，教師如何指導學生在數(shù)學化的學習活動中把握概念的本質(zhì)，而不是記憶或背誦概念的形式化的定義？筆者認為可以向?qū)W生提供現(xiàn)實的、有數(shù)學意義的、富有挑戰(zhàn)性的問題情境：用硬紙板做一個長0.7米，寬0.5米，高0.4米的微波爐包裝箱，至少要用多少平方米的硬紙板？指導學生結(jié)合已有的知識經(jīng)驗，體會做一個微波爐包裝箱需要的硬紙板就是“求6個長方形的面積”這一數(shù)學事實；啟發(fā)學生思考一個數(shù)學問題：每個長方形的長和寬是由長方體的哪些棱圍成的？向?qū)W生提供充分的主動進行探究、推理和交流等數(shù)學活動的機會，建立長方體的三條棱（長、寬和高）和長方形的長和寬之間橫向聯(lián)系的紐帶。接著，引導學生親歷解決“至少要用多少平方米硬紙板”這一數(shù)學問題的學習活動，由于學生的思考角度不同，會選用不同的方法進行計算，通過交流、比較，理解各種算法。最后，在解決問題的過程中形成解決問題的策略和方法，抽象、概括出長方體的表面積這一數(shù)學概念，從內(nèi)容到形式，從形式到內(nèi)容，自主建構(gòu)“長方體表面積”這一數(shù)學概念的形式和內(nèi)容?？傊?，教師的責任是創(chuàng)設(shè)適合學生進行數(shù)學化活動的具體情境，有效地指導他們積極參與到數(shù)學化活動中去，傾聽他們對概念本質(zhì)的理解。

（廣州市增城區(qū)教育局教研室 511300）

*本文是廣州市教育科學“十二五”規(guī)劃課題“‘先學后導’在小學數(shù)學教學中的實踐研究”（課題編號：2013B461）的研究成果之一。