張大朋，朱克強(qiáng)，牛天鑫，王自發(fā)

（1.寧波大學(xué)海運(yùn)學(xué)院，寧波315211；2.中海油天津分公司，天津300450）

拖纜水動(dòng)力學(xué)的正問(wèn)題與反問(wèn)題研究

張大朋1，朱克強(qiáng)1，牛天鑫1，王自發(fā)2

（1.寧波大學(xué)海運(yùn)學(xué)院，寧波315211；2.中海油天津分公司，天津300450）

基于不可壓縮流體中受到水動(dòng)力曳力作用下的不可伸長(zhǎng)的撓性纜索的二維運(yùn)動(dòng)模型，研究了在海洋地震勘探中重構(gòu)與流線型拖纜沖擊的海流速度的問(wèn)題。首先介紹了正問(wèn)題模型，并在已知拖船運(yùn)動(dòng)和水動(dòng)力載荷的條件下對(duì)拖纜的速度、曲率和張力進(jìn)行了求解。然后，通過(guò)離散纜索形狀和張力的樣本值，提出了推斷到海流速度的反問(wèn)題，并發(fā)現(xiàn)這個(gè)反問(wèn)題是缺秩和不適定的。在魯棒離散噪聲信號(hào)的背景下，解決逆問(wèn)題數(shù)值穩(wěn)定問(wèn)題，采用了基于廣義Tikhonov正則化算法。為了驗(yàn)證該方案的實(shí)用性，給出了一些用模擬噪聲數(shù)據(jù)重建海流的例子。

拖纜水動(dòng)力學(xué)；海流速度重組；病態(tài)反問(wèn)題

對(duì)于拖曳線列陣來(lái)說(shuō)，海流速度對(duì)于優(yōu)纜索線型非常重要。根據(jù)海流作用在拖纜上的水動(dòng)力去研究拖纜的空間幾何形態(tài)及張力已經(jīng)在國(guó)內(nèi)外大量的文獻(xiàn)中有詳細(xì)的論述與研究［1-6］，這就是所謂的拖纜水動(dòng)力學(xué)的正問(wèn)題；而拖纜水動(dòng)力學(xué)的反問(wèn)題是通過(guò)已知的拖纜的空間幾何形態(tài)及其張力去反推出拖纜周圍的海流流速分布情況，這在國(guó)內(nèi)學(xué)術(shù)界內(nèi)相關(guān)研究資料較少。這就在逆參數(shù)辨識(shí)問(wèn)題背景下提出了一個(gè)問(wèn)題，即通過(guò)定位及張力測(cè)量來(lái)重現(xiàn)沿拖纜海流流速分布圖。

本文選擇了一個(gè)簡(jiǎn)單的拖纜二維運(yùn)動(dòng)模型，首先提出了正演模型來(lái)描述在水動(dòng)力作用下纜索運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)單討論了幾種有限差分解法。然后通過(guò)積分方程重構(gòu)正演模型推導(dǎo)出反問(wèn)題，并用廣義Tikhonov正則化解決。以奇值分析和敏感性討論為背景，概述了反問(wèn)題的數(shù)值特征，還解決了阻力系數(shù)中涉及到的噪聲魯棒性和不確定性。并用仿真算例驗(yàn)證了該方法。計(jì)算結(jié)果表明，該方法對(duì)實(shí)際的工程實(shí)踐有一定指導(dǎo)意義。

1拖纜正問(wèn)題水動(dòng)力學(xué)模型

忽略慣性項(xiàng)，在切向-法向的坐標(biāo)系中，給出拖纜的牛頓運(yùn)動(dòng)定律以及動(dòng)量方程

為表示纜索的形狀和方向?qū)τ谙鄳?yīng)的速度分量的影響，給出纜索的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

式中：T（s，t）指在時(shí)間t時(shí)，與拖曳點(diǎn)距離為s處的張力；ρ為海水密度，d為纜索直徑，Ct為切向阻力系數(shù)，Cn為法向阻力系數(shù)，θ（s，t）為指s上的切向量和x軸正方向之間的方位度，?θ/?s為纜索曲率。纜索在切向和法線方向上的相對(duì)速度分別用Vtr（s，t）和Vnr（s，t）來(lái)表示，對(duì)應(yīng)的海流速度為u（s，t）和v（s，t），Vt（s，t）和Vn（s，t）分別為纜索的切向絕對(duì)速度和法向絕對(duì)速度。

拋物形方程組（1）～（4）是從笛卡爾坐標(biāo)系（X，Y）以θ角通過(guò)正交變換到二維坐標(biāo)系（t，n）得到的。其中，t（s）是指纜索上在s點(diǎn)的單位切向量，n（s）是指單位法向量。拖曳系統(tǒng)的構(gòu)型如圖1所示。

圖1 二維條件下拖纜的局部及全局構(gòu)型Fig.1 Local and global configuration of towed cable under two dimensional condition

如果系統(tǒng)在初始狀態(tài)是靜止的，4個(gè)邊界條件完全在系統(tǒng)中實(shí)施。纜索鉸接于拖船，纜索前端速率是

式中：θ（0，t）為纜索起始端的方位角，v1（t）和v2（t）是在時(shí)間t時(shí)船速在笛卡爾坐標(biāo)系下的分量，在這里設(shè)定v1和v2的合速度v船合=2.57 m/s。注意到根據(jù)條件（6）～（7）以參數(shù)形式給出的纜索速度的邊界信息，而給出纜索速率的邊界信息，需要預(yù)先知道拖曳點(diǎn)的角度以確定該點(diǎn)的速度。如圖1所示，在纜索和拖船鉸接的部位，拖船的速度就是纜索在此點(diǎn)的速度，而隨著纜索離鉸接點(diǎn)位置越來(lái)越遠(yuǎn)，沿纜索長(zhǎng)度方向某一位置的速度與拖船的速度相差越來(lái)越大。

［7-9］中考慮尾端（自由端）的張力為0，這樣的話，從理論上來(lái)說(shuō)，作用力和時(shí)間段的總和也會(huì)隨之消失。然而，在震動(dòng)纜索的尾部，通常裝備有一個(gè)附在表面浮標(biāo)來(lái)獲取一尾部的拖曳力［10］。事實(shí)上，這個(gè)拖曳力包含一個(gè)作為張力分布曲線的下端邊界的尾部張力，與纜索速度成線性關(guān)系

假設(shè)在速度為2.57 m/s時(shí)，TL=2 000 N，再者，假定角度的變化率為零，即

其中式（8）、式（9）中的L為纜索長(zhǎng)度。根據(jù)式（8）和式（2）可以推斷纜索在尾端的法向速度只是取決于橫向海流。

結(jié)合上述條件，在模型的數(shù)值實(shí)現(xiàn)中，假設(shè)纜索橫截面d是均勻的、各向同性的、彈性的且是不可伸長(zhǎng)的，并忽略其剪切變形和動(dòng)量項(xiàng)。

2正問(wèn)題的數(shù)值解

應(yīng)用有限差分法得到方程組（1）～（4）和（6）～（9）的數(shù)值解。特別地，首先，用時(shí)間上的有限差分將空間-時(shí)間問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為一個(gè)空間上的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題，然后將得到的非線性微分方程用一階泰勒級(jí)數(shù)展開來(lái)逼近，這樣可以得到一個(gè)線性的兩點(diǎn)邊值問(wèn)題。最后的代數(shù)方程組可以用牛頓法來(lái)解決［11］。Hughes［12］采用了一種基于廣義梯形法的隱式格式。Gatti詳細(xì)地論述了參數(shù)的選擇對(duì)穩(wěn)定性和精度的影響［13-14］。而Ablow使用的盒子方法（box method）是有條件穩(wěn)定的［15］，Gobat和Grosenbaugh采取基于盒子方法的廣義α算法，通過(guò)增強(qiáng)額外的時(shí)間均衡來(lái)校正不穩(wěn)定性［16］。正問(wèn)題的控制方程的矩陣形式及處理方法參見(jiàn)文獻(xiàn)［17］。

在matlab對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，設(shè)定纜索的長(zhǎng)度L=6 000 m，直徑d=0.05 m。纜索被拖曳在船舶上，以恒速行駛。水的密度設(shè)定為1 025 kg/m3，切向和法向上的牽引系數(shù)假設(shè)為Ct=0.006，Cn=2。為了仿真海流，使用了三角功能的組合。在固定的直角坐標(biāo)系中，海流的速度被纜索的長(zhǎng)度和仿真器時(shí)間上的持續(xù)簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)化如下

在本仿真方案的實(shí)施中，包含了一個(gè)由n=1 201個(gè)均勻分布成Δs=5 m纜元素的節(jié)點(diǎn)組成的網(wǎng)格。時(shí)間間隔設(shè)為Δt=10 s，仿真時(shí)間為0 s≤t≤3 000 s。仿真結(jié)果如圖2所示，這些圖形表示在連續(xù)流體動(dòng)力激勵(lì)下的張力和定位數(shù)據(jù)的連續(xù)空間變化。這個(gè)觀察對(duì)于反向問(wèn)題是很重要的，例如反向方法論的選擇需要一個(gè)前置數(shù)據(jù)可辨性的預(yù)知。再者，因?yàn)楦鶕?jù)預(yù)期，張力是一個(gè)嚴(yán)格遞減函數(shù)，切向纜索速度保持平穩(wěn)和負(fù)方向，這是切向坐標(biāo)向量的默認(rèn)方向也就是沿著纜索軸向的方向，而纜索的法向速度輪廓也是平穩(wěn)的，雖然它似乎是一個(gè)更大變量。

圖2 在平滑變化的切向和法向水動(dòng)力載荷下正問(wèn)題的計(jì)算結(jié)果Fig.2 Calculation results of the forward problem under smooth change of tangential and normal hydrodynamic loads

3反問(wèn)題簡(jiǎn)述

在前面的段落里，為了在拖曳數(shù)組觀察系統(tǒng)中建立相對(duì)于海流速度的測(cè)量方法，通過(guò)方程式組（1）～（9），調(diào)查了正向的流體動(dòng)力學(xué)模型。這樣，前置模型認(rèn)為纜索的形狀和張力受流體動(dòng)力干擾的影響。如果選擇適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，該系統(tǒng)的反應(yīng)是唯一確定的（在無(wú)限空間里），也就是說(shuō)，在一定邊界條件下，在一個(gè)任意時(shí)間點(diǎn)，拖纜的空間形態(tài)與其所處的海流環(huán)境呈一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系。再換句話說(shuō)，在一定條件下，可以根據(jù)這種一一對(duì)應(yīng)的映射關(guān)系根據(jù)拖纜的空間形態(tài)及所受到的張力反推出其所處的海流環(huán)境。因此，可以根據(jù)這種特殊條件下的對(duì)應(yīng)性和解決方法的唯一性對(duì)其進(jìn)行離散。

可認(rèn)為在任意一個(gè)時(shí)間點(diǎn)，認(rèn)為有限空間的內(nèi)射矩陣運(yùn)算B，在一個(gè)由儀器和物理噪音總量設(shè)定的一個(gè)容忍值內(nèi)映射海流的度量。這個(gè)總量用W=N（0，σ2）。

反問(wèn)題的關(guān)鍵在于推斷出一個(gè)納入拖纜形態(tài)測(cè)量值的有限集去獲得其對(duì)應(yīng)的海流值，設(shè)這個(gè)集合為z=Z+W。式（11）中u和v的重建，主要依賴于前置運(yùn)算的可逆性和篡改數(shù)據(jù)的噪音等級(jí)。模型方程式（1）和（2）的微分形式認(rèn)為B是一個(gè)擬線性積分算子，它決定了一個(gè)由它的導(dǎo)數(shù)和一個(gè)邊界條件給出的未知離散函數(shù)。實(shí)際上，B-1是一個(gè)線性微分算子，它可以映像一個(gè)函數(shù)給它的第一空間導(dǎo)數(shù)，這個(gè)本身是它固有缺乏的秩。這個(gè)表明在一個(gè)自由度是n的函數(shù)f中，它的導(dǎo)數(shù)f只能被自由度n-1唯一指定，尤其在這些樣品n之間間隔的中點(diǎn)。結(jié)果，在由度量值n所給出的空間分辨率n度下的海流重建的反向問(wèn)題是有秩虧的缺陷的，這對(duì)于這個(gè)方案的唯一性和穩(wěn)定性有著直接的影響。對(duì)于這個(gè)工作的范圍，它足夠可以估算在n-1自由度下的海流流速分布，它可以構(gòu)成一個(gè)所謂輕微的病態(tài)問(wèn)題，因?yàn)殡m然非唯一性是根除的，但是由于模型的微分形式之間的結(jié)合中的噪音數(shù)據(jù)的影響使得穩(wěn)定性問(wèn)題依然存在。噪音數(shù)據(jù)的求導(dǎo)是極不穩(wěn)定的，在信號(hào)處理中，一直是被研究的對(duì)象。為了克服所提供的不穩(wěn)定性正則化，建立了一個(gè)強(qiáng)大的B-1算子的近似值，要利用一個(gè)所要求的預(yù)知信息。

為了制定反向問(wèn)題的正則化，需要引入2個(gè)動(dòng)量方程（12）和（13），用在tilde里所引用的噪音數(shù)據(jù)來(lái)表示

對(duì)于測(cè)得的張力和曲率中的噪音內(nèi)容，式（12）和（13）左邊的導(dǎo)數(shù)達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)Δs→0時(shí)，任意增長(zhǎng)，這樣的話，為了增強(qiáng)穩(wěn)定性，用核心是Heavyside的階躍函數(shù)的積分算子的逆分化改寫方程式。

在一個(gè)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的有限網(wǎng)格上，算子以B∈Rn×n-1的矩陣形式導(dǎo)出動(dòng)量方程式的積分公式

在上式中，D∈Rn-2×n-1是一個(gè)一階差分算子的離散形式，附加上之后，所以對(duì)于一個(gè)非0的參數(shù)λ，吉洪諾夫公式承認(rèn)了一個(gè)獨(dú)特的解析值

根據(jù)切向流體拖曳力的定義，纜索上的內(nèi)聯(lián)流速分布可以計(jì)算為

按照式（16）的類似程序，可以得到法向流體拖曳力的吉洪諾夫正則化的解決方案

在這里，⊙指的是元素級(jí)乘法，隨后從以下方程序計(jì)算出十字流速

4奇異值和靈敏度分析

在反向問(wèn)題的公式中，算子B和D，還有正則化因子λ，都扮演著重要的角色。在這個(gè)意義上，它們是密切相關(guān)的，差分算子將積分算子反轉(zhuǎn)，正則化參數(shù)衡量它們?cè)谥亟ń鉀Q問(wèn)題上的貢獻(xiàn)。關(guān)于反向問(wèn)題理論的詳細(xì)分析出現(xiàn)在很多教科書中，這里不再贅述。對(duì)于這個(gè)工作的范圍，它足夠可以以他們的奇異值譜來(lái)證明兩個(gè)算子的關(guān)系，這樣可以幫助選擇合適的λ。圖3表示的是離散在一條6 000 m長(zhǎng)的纜索上，有著601個(gè)等距節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)格上的算子的奇異值。以指數(shù)方式衰減的奇異值B和以對(duì)數(shù)方式減少的奇異值D，它們之間的反向的相互作用確定為BDT=I∈Rn×n-2。

圖3 B算子和D算子的奇異值Fig.3 The singular value of B operator and D operator

奇異值區(qū)間提供了一個(gè)對(duì)最優(yōu)正則化參數(shù)的選擇問(wèn)題的深入了解。這個(gè)參數(shù)從基本上，利用式（17）中對(duì)于最小化目標(biāo)的先前約束加權(quán)偏值，為之前和提取的測(cè)量信息之間，提供了必要的平衡。因此，這個(gè)選擇必須和測(cè)量中的噪音水平、模型參數(shù)的不確定性和可用先前信息的可靠性保持一致。最優(yōu)參數(shù)要滿足在這里指的是奇異值，它利用L曲線法或者廣義交互驗(yàn)證法來(lái)計(jì)算。

有些模型參數(shù)，比如纜索的長(zhǎng)度和直徑，可以精確的測(cè)量出來(lái)，但是有些很難準(zhǔn)確的獲得。例如在經(jīng)過(guò)一系列的實(shí)驗(yàn)室控制實(shí)驗(yàn)后，拖曳系數(shù)Ct和Cn是分配值，雖然似乎有理由認(rèn)為存在小小的不確定性，但還是應(yīng)該更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臋z查這種不確定性對(duì)反演方法性能的影響。從模型方程式中清楚的知道，Ct中的錯(cuò)誤只對(duì)內(nèi)聯(lián)流速的計(jì)算值產(chǎn)生影響，Cn中的錯(cuò)誤只對(duì)十字速度分量產(chǎn)生影響。

如果確切知道切向系數(shù)，那么，在認(rèn)為無(wú)噪音存在的測(cè)量中，可以用一個(gè)給定的小值λ從式（19）中得到準(zhǔn)確的內(nèi)聯(lián)流速u*。引入一個(gè)小的擾動(dòng)值δ，所以Ct→Ct＋δ。

可以根據(jù)一個(gè)平方誤差導(dǎo)出一個(gè)輪廓u

在這里，我們知道張力梯度總是負(fù)的。為了便于比較，對(duì)精確的法向拖曳系數(shù)用同樣的攝動(dòng)，比如Cn→Cn＋δ，計(jì)算出在十字線速度上的平方誤差

在這里，從式（21）中獲得v*的精確值。當(dāng)拖曳系數(shù)的標(biāo)稱值滿足Ct?Cn，很顯然但是這不一定表明對(duì)于同樣的δ來(lái)說(shuō)，εδ(u)＞εδ(v)。事實(shí)上，公式中，張力對(duì)εδ(v)的影響是決定性的，雖然這關(guān)系到曲率的反比例，在和應(yīng)用相關(guān)的角度范圍中，因子T⊙?θ/?S可以任意大，尤其是朝著拖曳點(diǎn)。再者，Grosenbaugh中已經(jīng)指出，在不穩(wěn)定的拖曳運(yùn)動(dòng)中發(fā)生的流激振動(dòng)，可能導(dǎo)致纜索的拖曳系數(shù)與它們的名義值有很大差異。特別是在切向上是多種多樣的，法向系數(shù)改變是可能的，在運(yùn)動(dòng)中多達(dá)40％。在這種情況下，Cn上的大偏移可能對(duì)重建的十字電流產(chǎn)生誤導(dǎo)的結(jié)果。為了避免發(fā)生這種情況，允許沿著纜索的拖曳系數(shù)的分布的不確定性在一定范圍內(nèi)，建議的反演方法需要在以穩(wěn)健的參數(shù)估計(jì)下重新表示。

為了闡述在兩個(gè)分量中的一個(gè)作為主導(dǎo)的重建速度剖面的過(guò)程中，反演方法的強(qiáng)大性和堅(jiān)決性，進(jìn)行了一些附加的模擬。在一個(gè)問(wèn)題中，假設(shè)大的均勻速度CX（x，t）垂直于原先的垂直纜索配置，低幅度平滑變化的電流Cy（y，t）平行于初始柜道。假設(shè)在一個(gè)北上的直線軌道，以勻速2.57 m/s拖曳，設(shè)定CX（x，t）=10 m/s，Cy（y，t）=2 m/s（最大速度絕對(duì)值）。所得的法向拖曳力導(dǎo)致纜索逐漸偏離船舶軌跡，最終在一個(gè)大角度θ時(shí)，得到一個(gè)0度曲率配置。如圖4的第一行所示，高法向速度的影響隨著朝向末端的低張力，越來(lái)越大，調(diào)整它的形狀可將法向流速的影響最小化。當(dāng)θ增加時(shí)，圖表顯示纜索接近筆直，所以最終大部份投射在t軸上。在相反的情況下，流速主要平行于纜索時(shí)，張力增加，由于邊界條件（8）使得張力梯度變化的絕對(duì)值增加，也使得曲率保持在一個(gè)低水平。圖4最后一行所顯示的結(jié)果已經(jīng)用CX（x，t）=-10 m/s和Cy（y，t）=2 m/s（最大速度絕對(duì)值）計(jì)算出來(lái)，它們的拖曳速度和軌道是相同的。在這種情況下，決定形狀和曲率的定位數(shù)據(jù)的精確性變得很重要，因?yàn)閮?nèi)聯(lián)流速方法的靈敏度關(guān)系到在曲率變化中張力的產(chǎn)生，因此偏離直線軌道將意味著更高的法向流速。

圖4 在時(shí)間為60 s、80 s、100 s和120Δt時(shí)模擬和重現(xiàn)海流Fig.4 Simulation for reproducing of the current in time for 60 s，80 s，and 100 s and the 120Δt

圖5 無(wú)噪音時(shí)的計(jì)算結(jié)果Fig.5 Calculation results without noise

式（18）和（20）的重建公式清楚的表明了內(nèi)聯(lián)流速方法的敏感度完全依賴于沿著纜索的張力的梯度變化剖面的解決。從這個(gè)意義上，有著高楊氏模量的纜索在檢測(cè)切向流速時(shí)將會(huì)提高靈敏度。換句話說(shuō)，通過(guò)觀察纜索的形狀和關(guān)系到靈活度的曲率的改變，十字流速的檢測(cè)是很明顯的。所以，對(duì)于低剛度模量的纜索，預(yù)計(jì)在法向流速里有更高的靈敏度。

5結(jié)果和討論

5.1無(wú)噪音數(shù)據(jù)的重建

在第一個(gè)例子中，我們認(rèn)為理想的情況是，擁有無(wú)噪音的測(cè)量值，可以直接從模型方程式中恢復(fù)。無(wú)論是在（12）和（13）中使用FD計(jì)劃來(lái)估算梯度變化，還是用零的正則化的積分方程式（18）和（20），都可以實(shí)現(xiàn)。選擇后者，設(shè)定λ=0，得到了如圖5所示的，在瞬時(shí)t=50.1 s和150Δt時(shí)的電流剖面。這些圖表說(shuō)明了在仿真和重建剖面之間有精確的匹配。這和關(guān)于第4部分中得到的積分算子的屬性分析，是一致的。事實(shí)上，對(duì)于0正則化，采用Moore?Penrose pseudo?in?verse的形式，有n-1個(gè)非零的奇異值。這可與下一步要討論的，在現(xiàn)實(shí)噪音水平下，反向方法的演繹作比較。

圖6 有噪音σ1=0.01z時(shí)的計(jì)算結(jié)果Fig.6 Calculation results with noise for σ1=0.01z

圖7 有噪音σ2=0.03z時(shí)的計(jì)算結(jié)果Fig.7 Calculation results with noise for σ1=0.03z

5.2重建噪音數(shù)據(jù)

當(dāng)數(shù)據(jù)中注入添加的隨機(jī)噪音時(shí)，正則化變得越發(fā)重要。在采集的真實(shí)觀察數(shù)據(jù)中，這些數(shù)據(jù)因?yàn)閮x器誤差和物理噪音而被破壞，這種情況尤其會(huì)發(fā)生。為了模擬這些條件，在正向變量上引入一個(gè)偽隨機(jī)白噪音信號(hào)W=N（0，σ12），在這里，σ1=0.01z，z指的是T，Vt，Vn和θ的平均值。當(dāng)時(shí)間t=300 s和400 Δt時(shí)模擬的海流流速分布圖如圖6所示，還有正則化參數(shù)的不同值時(shí)的重建剖面。每一個(gè)圖闡述了由吉洪諾夫方法獲得的重建方案，為了闡述參數(shù)對(duì)于重建速度的空間分辨率的影響，它是利用（19）和（21），當(dāng)λ=0.1，10和100時(shí)進(jìn)行計(jì)算的。在所采用的廣義吉洪諾夫方案中，根據(jù)D算子的選擇所強(qiáng)加的之前光滑的假設(shè)，λ在反向問(wèn)題中控制光滑度。

如果λ*是根據(jù)數(shù)據(jù)里的噪音內(nèi)容的參數(shù)的最優(yōu)值，圖中所示的是利用一個(gè)λ（遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于λ*）來(lái)規(guī)范內(nèi)反向問(wèn)題，這樣噪音的影響更大。換句話說(shuō)，如果選擇λ（遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于λ*）來(lái)規(guī)范外這個(gè)問(wèn)題，可以有效的過(guò)濾解決方案中一些細(xì)節(jié)特征，因此可以讓給空間分辨率。λ*=10的最優(yōu)值是利用L曲線方法計(jì)算出來(lái)的。

觀察圖6中的這些圖表可發(fā)現(xiàn)，對(duì)于所有的正則化參數(shù)值來(lái)說(shuō)，法向分量v的重建，無(wú)論在定性還是定量上，都要比切向分量u的重建容易。事實(shí)上，這是合理的，因?yàn)楸M管它們的公式相似，相比（18），反演公式（20）提供了一個(gè)更好更有意義的噪音魯棒性。因?yàn)槠骄植荚谙蛄恐械膹埩?，乘以原方程式中的正則逆曲率，會(huì)毀壞污染張力數(shù)據(jù)中的大部份噪音，而且因?yàn)槟J(rèn)（圖2），對(duì)于（20）的噪音影響有限。

作為第二種情況，考慮到在更多的強(qiáng)噪音條件下的仿真數(shù)據(jù)，在運(yùn)動(dòng)開始以后，在時(shí)間t=500Δt和600Δt時(shí)被捕獲。在模擬過(guò)程中，拖曳的船舶被設(shè)定為執(zhí)行一個(gè)半徑為3 000 m的圓形軌道，恒定速度為2.57 m/ s。注入測(cè)量值的噪音信號(hào)被設(shè)定為當(dāng)σ2=0.03 z時(shí)，W=N（0，σ22）。正如之前，通過(guò)估算第一個(gè)最優(yōu)正則化參數(shù)來(lái)計(jì)算沿著纜索的規(guī)則水動(dòng)力載荷和速度。和預(yù)期的一樣，隨著數(shù)據(jù)中噪音水平的增加，需要通過(guò)增加光滑數(shù)量來(lái)穩(wěn)定解決方案。L曲線法的實(shí)施產(chǎn)生了一個(gè)參數(shù)的最優(yōu)值λ*=30。在時(shí)間t=500Δt和600Δt時(shí)的仿真速度和重建速度剖面如圖7所示。和前一個(gè)情況的結(jié)果比較起來(lái)，最佳重建方案的空間分辨率u（λ*）和v（λ*）受到測(cè)量值中的噪聲畸變的損害，而在切向分量的重建之前，影響是最大的。在同一個(gè)圖中，也提供了一些用非最佳正則化所獲得的反向解決方案，為了說(shuō)明解決方案中參數(shù)的影響。特別是，對(duì)于λ＜1，施加在光譜B上的過(guò)濾總和不足以穩(wěn)定解決方案，這個(gè)方法無(wú)法產(chǎn)生一個(gè)信息化解決方案。

圖8 重建海流攻角的預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.8 The prediction results for the angle of attack at the reconstructed currents

5.3攻角或入射角預(yù)測(cè)

和纜索的最佳轉(zhuǎn)向直接相關(guān)的拖曳數(shù)組是攻擊角的估算和預(yù)測(cè)。正如在前一段中所描述的，海流流速分布圖的重建為系統(tǒng)提供了一些重要的輸入，可以控制纜索的轉(zhuǎn)向，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，攻角象征了這個(gè)信息。更精確的撞擊飄帶的海流速度信息可以產(chǎn)生一個(gè)攻角α的估計(jì)值

黑龍江省社科院孫文政研究員做了《海陵王瓜州失敗始末及其原因》的報(bào)告。他認(rèn)為，海陵王為了實(shí)現(xiàn)統(tǒng)一全國(guó)，做中國(guó)正統(tǒng)的皇帝，不顧金朝的實(shí)力，孤注一擲南伐滅宋，在瓜州慘遭失敗。失敗的原因是多方面的，既有主觀原因，也有客觀原因，既有歷史的偶然性，也有歷史的必然性。海陵王貿(mào)然發(fā)動(dòng)統(tǒng)一全國(guó)的戰(zhàn)爭(zhēng)，不僅遭到宋朝軍民的堅(jiān)決抵抗，而且遭到金朝軍民的強(qiáng)烈反對(duì)，以及宋、金雙方戰(zhàn)略戰(zhàn)術(shù)上的差異，致使海陵王瓜州失敗。

所以反饋控制角αc可以根據(jù)纜索轉(zhuǎn)向預(yù)計(jì)的位置而調(diào)整，卻不需考慮到海流。圖8中，攻角α在時(shí)間t= 300 s、400 s、500 s和600Δt時(shí)，對(duì)于在最佳正則化下的第二個(gè)仿真數(shù)據(jù)，用仿真和預(yù)測(cè)的剖面制圖。結(jié)果顯示了在噪音條件下，模擬和預(yù)測(cè)剖面之間的良好協(xié)議，事實(shí)證明了反演方法在協(xié)助優(yōu)化飄帶轉(zhuǎn)向中的效用。

6結(jié)論

（1）在正問(wèn)題中，在纜索和拖船鉸接的部位，拖船的速度就是纜索在此點(diǎn)的速度，而隨著纜索離鉸接點(diǎn)位置越來(lái)越遠(yuǎn)，且由于纜索本身為撓性結(jié)構(gòu)，以上兩種因素導(dǎo)致沿纜索長(zhǎng)度方向某一位置的速度與拖船的速度相差越來(lái)越大。

（2）在一定條件下，當(dāng)拖船航速不高（例如本文中的0.257 m/s），拖纜長(zhǎng)度較長(zhǎng)（例如本文中的6 000 m），在忽略彎曲剛度的前提下，當(dāng)知道沿纜索長(zhǎng)度方向的空間形態(tài)變化和張力變化時(shí)，可以解決海流流速剖面的反向問(wèn)題。而如拖船拖速過(guò)高拖纜長(zhǎng)度過(guò)短則由于不能充分得到足夠的纜索空間形態(tài)的變化情況進(jìn)而會(huì)造成不能充分將纜索的形狀和樣本值離散化，統(tǒng)計(jì)樣本的不足使得此種方法不再適用。

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Research of forward and inverse problems in towed cable hydrodynamics

ZHANG Da?peng1,ZHU Ke?qiang1,NIU Tian?xin1,WANG Zi?fa2
(1.Faculty of Maritime and Transportation,Ningbo University,Ningbo 315211,China;2.International Company, COOEC,Tianjin 300450,China)

Based on a two?dimensional model describing the motion of a flexible,inextensible cable in the pres?ence of hydrodynamic drag forces in an incompressible fluid,the problem of reconstructing the velocities of the ocean currents impinging on a towed streamer cable during an offshore seismic survey has been researched.Firstly, the forward model was introduced and then solved to get the cable′s velocity,curvature and tension in the knowl?edge of the towing vessel motion and the hydrodynamic loads applied.In sequence,the inverse problem of inferring the ocean current velocities from discrete samples of the cable′s shape and tension was formulated and the result shows that this is rank deficient and ill?posed.In approaching the inverse problem a numerically stable algorithm was adopted based on generalized Tikhonov regularization,in the context of robust differentiation of discrete noisy signals.In order to demonstrate the practical performance of the scheme,some examples of ocean current recon?structions obtained using simulated noisy data were presented.And it has certain guiding significance to the actual project practice.

towed cable hydrodynamics;ocean current velocity reconstruction;ill?posed inverse problem

TV 131.2

A

1005-8443（2016）04-0375-10

2015-12-15；

2016-03-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11272160）

張大朋（1987-），男，山東省聊城人，助理研究員，主要從事船舶與海洋結(jié)構(gòu)物設(shè)計(jì)制造。

Biography：ZHANG Da?peng(1987-),male,assistant professor.