陳六一，張 浩

（1.蘇州市陽(yáng)山實(shí)驗(yàn)小學(xué)校，江蘇 蘇州 215151；2.蘇州市高新區(qū)金色小學(xué)，江蘇 蘇州 215000）

教學(xué)核心素養(yǎng)，關(guān)乎著培養(yǎng)什么樣的人?？墒牵绻挥欣砟顩](méi)有行動(dòng)，教育就是海市蜃樓。雖然我們?cè)谄毡樾灾羞M(jìn)行思考，但卻生活在細(xì)節(jié)之中。所以小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，要看得見(jiàn)學(xué)生“對(duì)數(shù)學(xué)的持久興趣，對(duì)數(shù)學(xué)思想的融會(huì)貫通”[1]。當(dāng)小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落地，成為學(xué)生的自覺(jué)，教與學(xué)才可謂“君子不器”。

一、可見(jiàn)的教：平衡表層理解與深層理解

表層理解涉及對(duì)觀念或事實(shí)的認(rèn)知，深層理解的兩個(gè)過(guò)程——關(guān)系加工和精細(xì)加工，造成了思維性質(zhì)的變化。關(guān)系加工的問(wèn)題需要學(xué)生把一種組織模式施予既有材料之上；精細(xì)加工需要學(xué)生超越既定信息、知識(shí)觀念，提出適用于所有情況的更為普遍的規(guī)則或者證明。從這些表層的和深層的認(rèn)知與理解當(dāng)中，學(xué)生能夠建構(gòu)觀念，進(jìn)而形成他們參與表層和深層學(xué)習(xí)的方法。

但并不是說(shuō)，表層理解必然是劣質(zhì)的，深層理解則完全是好的。正確的觀點(diǎn)是強(qiáng)調(diào)在兩者之間的平衡：因?yàn)閷W(xué)習(xí)的過(guò)程是一段從觀念走向理解再走向建構(gòu)，并繼續(xù)往前走的旅程；是一段學(xué)習(xí)、遺忘學(xué)習(xí)、融通學(xué)習(xí)的旅程。[2]

【案例1：認(rèn)識(shí)埃及分?jǐn)?shù)】

師：同學(xué)們，今天我們一起來(lái)研究一節(jié)課本上沒(méi)有的數(shù)學(xué)知識(shí)，愿不愿意挑戰(zhàn)？

生：愿意。

師：出示大屏幕，研究什么？

生：埃及分?jǐn)?shù)。

師：對(duì)于埃及分?jǐn)?shù)，你有什么提問(wèn)的嗎？

生：分?jǐn)?shù)還分國(guó)度嗎？

生：什么叫作埃及分?jǐn)?shù)？

師：容我賣個(gè)關(guān)子，先插播一道數(shù)學(xué)問(wèn)題，3塊同樣大小的餅，平均分給4個(gè)同學(xué)，每人分得多少塊餅？

生：3÷4=（塊）

師：懂了，我們五年級(jí)時(shí)，是這樣思考的，可是四五千年前的埃及人可不是這樣分餅的，他們先將2塊餅都均分成2份，這樣每個(gè)同學(xué)可以取走其中的1份，即塊餅；再將剩下的1塊餅均分成4份，每個(gè)同學(xué)再取走4份中的1份，即塊餅。（老師邊動(dòng)畫(huà)演示，邊敘述。）重點(diǎn)來(lái)了哦，誰(shuí)來(lái)回答剛才那位同學(xué)的提問(wèn)：什么叫作埃及分?jǐn)?shù)？

生：分子是1的分?jǐn)?shù)，例如等。

無(wú)疑，案例中呈現(xiàn)的“研究什么？”“什么叫作埃及分?jǐn)?shù)？”“每人分得多少塊餅？”等問(wèn)題的思考都是表層理解，但正是這種表層理解，激發(fā)著學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望——“什么，分?jǐn)?shù)還有國(guó)度之分？這到底是怎么回事？”對(duì)過(guò)往學(xué)習(xí)的回憶也是表層理解，縱然過(guò)往的學(xué)習(xí)過(guò)程也許是深層理解。這樣學(xué)生已然熟知的分餅策略，就與古代埃及人的分餅方法發(fā)生了沖撞，這種思維的沖撞必然引起學(xué)生的好奇，數(shù)學(xué)就這樣如同孩子的游戲，步步驚心。當(dāng)然，教師也要具備一種能夠在學(xué)生的學(xué)習(xí)朝著成功標(biāo)準(zhǔn)邁進(jìn)時(shí)適時(shí)“抽身”的技巧。[3]

【案例2：研究】

老師發(fā)起問(wèn)題：我們先來(lái)研究一下，誰(shuí)能將它拆分成兩個(gè)不同的埃及分?jǐn)?shù)之和？學(xué)生陷入思索之中，兩分鐘之后，有些許同學(xué)有了點(diǎn)眉目。老師一邊巡視，一邊與寫(xiě)出正確答案的同學(xué)做個(gè)別交流：

生：我先試著將的分子、分母同時(shí)擴(kuò)大，得到；這樣可有

生：我先想到比小一點(diǎn)的埃及分?jǐn)?shù)，再用，結(jié)果得到，這樣剛好湊成了

學(xué)生明白了埃及分?jǐn)?shù)的含義，但能像古代埃及人那樣靈活運(yùn)用埃及分?jǐn)?shù)嗎？原來(lái)我們不比四五千年的人聰明多少，埃及分?jǐn)?shù)的秘密需要付出思維的代價(jià)。案例二在老師適時(shí)“抽身”之后，學(xué)生通過(guò)挖掘自己的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，哪怕不乏學(xué)生沒(méi)有尋找出答案，也是在試圖平衡表層理解與深層理解，以便成功建構(gòu)合理的認(rèn)知和現(xiàn)實(shí)的理論。于是，當(dāng)教師成為他們自己教學(xué)的學(xué)習(xí)者，學(xué)生成為他們自己的教師的時(shí)候，對(duì)于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就會(huì)產(chǎn)生最大的效果。

二、可見(jiàn)的學(xué)：被學(xué)生所感知的教學(xué)質(zhì)量

1.可見(jiàn)的挑戰(zhàn)

把拆分成兩個(gè)不同的埃及分?jǐn)?shù)之和，對(duì)于剛剛接觸埃及分?jǐn)?shù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是從興趣升級(jí)到了挑戰(zhàn)。而這個(gè)看似簡(jiǎn)單但又不能輕松獲得的答案，反而更加刺激著學(xué)生的感官。隨后，課堂中挑戰(zhàn)接踵而至。

第一步，老師將大家的結(jié)果整理如下：；讓學(xué)生觀察這三組算式中的數(shù)字，提問(wèn)能找到什么秘密嗎？

第二步，教師出示讓學(xué)生自己探求。

第三步，等號(hào)右邊第一個(gè)加數(shù)的分母如何確定呢？3，2；5，3；15，8……規(guī)律是什么？

每一次歷經(jīng)挑戰(zhàn)，學(xué)生都能清晰地感受到自己仿佛學(xué)功夫，又精進(jìn)了一步。原來(lái)，挑戰(zhàn)和學(xué)習(xí)被學(xué)生所感知，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要要素，所以張景中院士說(shuō)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣類似于下棋，是思考之樂(lè)，是挑戰(zhàn)之樂(lè)?！盵4]課堂，不斷丟給學(xué)生問(wèn)題，讓學(xué)生花些力氣去解決，并品嘗到挫折；直到他們亟須一個(gè)想法時(shí)，再給他們一些技巧。但不要給太多。學(xué)生樂(lè)于其中，并借此不斷積累思維的經(jīng)驗(yàn)。

2.可見(jiàn)的娛樂(lè)

數(shù)學(xué)不在“真相”里，而在“搜尋真相”的經(jīng)歷之中、“創(chuàng)造真相”的過(guò)程之中。本來(lái)看不出來(lái)的，突然間就看見(jiàn)了。能夠從“無(wú)”當(dāng)中創(chuàng)造出簡(jiǎn)單的純粹的美麗，并且在這個(gè)過(guò)程中，豐盈了自己的思維，這不正是至上的娛樂(lè)嗎？一如數(shù)學(xué)家保羅·拉克哈特的興奮之詞：“我純粹就是在玩。這就是數(shù)學(xué)——想知道、游戲、用自己的想象力來(lái)娛樂(lè)自己?！盵5]

【案例3：歸納公式】

師：你們獲得花了5分鐘，而你們考我，我答出只用了不到5秒鐘，不覺(jué)得似乎有什么竅門嗎？

生：后一個(gè)加數(shù)的分母是前兩個(gè)分母的乘積。

師：對(duì)的。那等號(hào)右邊第一個(gè)加數(shù)的分母如何確定呢？

生：……

師：看，3，2；5，3；15，8。規(guī)律是什么？

生：先將所要拆分的分母+1，再將結(jié)果除以2，商就是第一個(gè)埃及分?jǐn)?shù)的分母。

師：棒極了！那

生：

師：

生：

這就是數(shù)學(xué)的外貌和感覺(jué)：對(duì)于我們想象的創(chuàng)造物提出簡(jiǎn)單而直接的問(wèn)題，然后制作出令人滿意而又美麗的解釋。沒(méi)有其他事物能達(dá)到如此純粹的概念世界，令人著迷、充滿趣味。

3.可見(jiàn)的改進(jìn)

再回過(guò)頭來(lái)，審視案例2和案例3的學(xué)習(xí)。面對(duì)問(wèn)題，學(xué)生們并不是總能立即反應(yīng)出答案，甚至在獲得答案的過(guò)程中，常常伴隨著錯(cuò)誤。例如有學(xué)生寫(xiě)出，可是這不符合兩個(gè)不同的埃及分?jǐn)?shù)的要求；然而，面對(duì)錯(cuò)誤，學(xué)生沒(méi)有氣餒，嘗試著將一個(gè)加數(shù)的分母調(diào)整為3，眼睛豁然一亮，另一個(gè)埃及分?jǐn)?shù)不就是嗎？再例如，學(xué)生對(duì)所內(nèi)含的規(guī)律產(chǎn)生了困窘，只能判定等號(hào)右邊第二個(gè)埃及分?jǐn)?shù)的分母，是這個(gè)埃及分?jǐn)?shù)的前面兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母的乘積；不過(guò)，一旦老師提醒大家聚焦分母“3，2；5，3；15，8”，思路頓時(shí)打開(kāi)了。所以說(shuō)，學(xué)習(xí)是可錯(cuò)的，更是能夠被改進(jìn)的，每個(gè)學(xué)生都能看得見(jiàn)這種改進(jìn)。

還有，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非總是大聲的、興奮的，但是又很少有沉郁、壓抑的時(shí)候，常常是緊湊的、富有活力和冒險(xiǎn)的。一旦學(xué)生進(jìn)入了數(shù)學(xué)冒險(xiǎn)、興奮，還有些許的不確定的探究緊張，走彎路，乃至錯(cuò)誤自然出現(xiàn)，然而，就像上文的兩個(gè)案例，哪一次錯(cuò)誤不是數(shù)學(xué)成功的基石？

4.可見(jiàn)的思想

【案例4：特殊到普通】

生：老師，你教我們體驗(yàn)的都是比較特殊的分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)埃及分?jǐn)?shù)的和嗎？例如。

生：

師：但是問(wèn)題又來(lái)了，古埃及人可不懂這樣將分子、分母同時(shí)乘一個(gè)數(shù)再去拆分，他們只會(huì)實(shí)物操作，我們?cè)僖苑诛灋槔?，可以變成什么樣的?wèn)題？

生：5塊餅平均分給6位同學(xué)，每人分得多少塊？

師：那我們穿越到四千多年前，像古埃及人那樣實(shí)際操作一下如何？

生：先取出3塊餅，每塊平均分成2份，每人取1份，即得塊；再將剩下的2塊餅平均分成3份，每人取1份，即得塊。所以

在課被設(shè)計(jì)好以后，在內(nèi)容被傳授以后，在課堂被組織起來(lái)以后，就出現(xiàn)了教學(xué)成果的完整概念。在案例4中，學(xué)生習(xí)得了同學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，可以通過(guò)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將分子、分母同乘一個(gè)數(shù)，將改寫(xiě)成，從而發(fā)現(xiàn)需要的埃及分?jǐn)?shù)。毋庸置疑，學(xué)生掌握了類比推理的數(shù)學(xué)思想。

同時(shí)，用畫(huà)草圖的方式，將數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，又有數(shù)形結(jié)合的意思。更重要的是，這些方法雖然呈現(xiàn)了一定的推理與模型思想，可是所得的推理與模型并不能解決所有的分?jǐn)?shù)如何轉(zhuǎn)化為埃及分?jǐn)?shù)。那古老的埃及人是怎樣使得的呢？

是的，學(xué)生歷經(jīng)重重挑戰(zhàn)與挫折，通過(guò)改進(jìn)自己的錯(cuò)誤，探究出了分子是1和分子是2的分?jǐn)?shù)，拆分成不同的兩個(gè)埃及分?jǐn)?shù)的一般表達(dá)式：和。不過(guò)，分子是3、4、5……的分?jǐn)?shù)呢？因?yàn)榉肿拥牟煌加幸粋€(gè)不同的表達(dá)式嗎？有沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式？

這就是數(shù)學(xué)思想的力量，既能解決問(wèn)題，又是下一個(gè)問(wèn)題的孵化器。當(dāng)然，下一個(gè)問(wèn)題還得依靠數(shù)學(xué)抽象思想、推理思想、模型思想。學(xué)生的解題策略吻合上了數(shù)學(xué)家的問(wèn)題解決方式。吸引了幾千年來(lái)的數(shù)學(xué)家們的埃及分?jǐn)?shù)問(wèn)題，竟成了學(xué)生需要直面的問(wèn)題。于是就有了接下來(lái)的場(chǎng)面：盡管下課了，學(xué)生還在關(guān)心著斐波那契的貪心求法。

綜上所述，教師是學(xué)生學(xué)的促進(jìn)者以及審慎的引領(lǐng)者。但學(xué)習(xí)終歸需要內(nèi)化成學(xué)生素養(yǎng)的表現(xiàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三要素是：數(shù)學(xué)人文、數(shù)學(xué)意識(shí)、數(shù)學(xué)思想。[6]三要素中每個(gè)要素都是必要的，但是單獨(dú)哪一個(gè)要素對(duì)于有效學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)又都是不夠的。缺少某一個(gè)要素，哪怕是很小一部分的缺乏，學(xué)生也可能幾乎什么都沒(méi)學(xué)到。因此，數(shù)學(xué)不是名詞，而是動(dòng)詞，甚至是生活方式?！?/p>

參考文獻(xiàn)：

[1][6]劉曉萍，陳六一.小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理論分析[J].今日教育，2016（3）：24-26.

[2][3]約翰·哈蒂.可見(jiàn)的學(xué)習(xí)[M].彭正梅，鄧?yán)颍咴?，等，譯.北京：教育科學(xué)出版社，2015：28-36.

[4]張景中.怎樣才能快樂(lè)地學(xué)數(shù)學(xué)[J].中學(xué)生數(shù)理化（七年級(jí)數(shù)學(xué)）（人教版），2008（3）：6-8.

[5]保羅·拉克哈特.一個(gè)數(shù)學(xué)家的嘆息[M].高翠霜，譯.臺(tái)北：經(jīng)濟(jì)新潮社，2013：17.