☉江蘇省海安縣李堡初級中學　朱國生

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合理對話，層層深入，領悟數(shù)學之妙——以“反比例函數(shù)（第1課時）”教學為例

☉江蘇省海安縣李堡初級中學朱國生

在數(shù)學教學過程中，我們對新知識的引入，有時從現(xiàn)實生活中的事例，有時從學生原有基礎知識，有時從小游戲增加趣味性等，這就是數(shù)學教學中拋磚引玉、層層深入的教學方法.筆者以新近執(zhí)教“反比例函數(shù)（第1課時）”為例，談談“層層深入、激發(fā)思維”在教學中的應用.

一、學情分析

在前面我們學過“一次函數(shù)”“二次函數(shù)”，我們的學生對函數(shù)的研究探討仍處于初級階段，但我們的學生已經(jīng)掌握了研究函數(shù)的基本套路，積累了函數(shù)學習的一些基本經(jīng)驗.教材呈現(xiàn)的結構：函數(shù)概念，畫函數(shù)圖像，總結函數(shù)的性質，用所學的函數(shù)知識解決實際應用問題，對函數(shù)學習中的“數(shù)形結合”思想方法有多次體驗和認識.

但是，反比例函數(shù)的圖像和性質與我們之前學過的函數(shù)有所不同，圖像從“一條”到“兩支”，分布在兩個象限；由“連續(xù)”到“間斷”；由與坐標軸“相交”到“無限靠近”，在學習的過程中讓學生體會與已學的不同與聯(lián)系，從而對函數(shù)的理解進一步升華.

二、教學流程

活動1：拋磚引玉（PPT展示）

下列函數(shù)解析式中，正比例函數(shù)有（）；一次函數(shù)有（）；二次函數(shù)有（）.

設計說明：通過這一題幫助學生再現(xiàn)一次函數(shù)、二次函數(shù)的學習過程，有助于學生形成概念系統(tǒng)，初步了解本章的基本內(nèi)容和研究套路.同時也初步了解建立函數(shù)模型，為掌握新的知識打好基礎.特別指出：（5）是學生以前沒有學過的函數(shù)，讓學生產(chǎn)生疑問，激發(fā)學生的學習興趣.

活動2：情境引入（PPT展示）

下列問題中，變量間具有函數(shù)關系嗎？若有，求出函數(shù)關系式.

（1）已知甲、乙兩地相距20千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛時間t（單位：小時）與速度v（單位：千米/小時）之間的關系式是_________.

（2）某住宅小區(qū)種植一個面積1000 m2的草坪，草坪的長y（m）隨寬x（m）的變化而變化.

（3）已知北京市總面積為1.68×104平方千米，人均占有面積s（平方千米/人）隨全市人口n（人）的變化而變化.

課堂對話片斷如下所示.

師：大家觀察這三個解析式，各有幾個變量？

生4：兩個變量.

師：你能從解析式的結構上找出它們的共同特征嗎？小組成員間可討論.

注：如果小組不能討論出結果，教師可以提示：從等號左邊和右邊，或從分子和分母來總結.

生5：左邊是一個變量，右邊是一個不為0的常數(shù)除以另一個變量.

師：這就是小組合作的力量啊.

師：讓我們回頭看看情境引入中的三個函數(shù)解析式，它們是反比例函數(shù)嗎？

生眾：是.

師：反比例函數(shù)中自變量的取值范圍是什么呢？請大家思考.

生6：x≠0的一切實數(shù).

師：反比例函數(shù)還有其他的表達方式嗎？

生7：還有y=kx-1，xy=k，其中k是不為0的常數(shù).

師：大家應該有點兒掌聲.

活動3：開心練一練1（PPT展示）

限于篇幅，略去.

活動4：例題講解（PPT展示）

例1已知y是x的反比例函數(shù)，當x=2時，y=6.

（1）寫出y與x的函數(shù)關系式；

（2）求當x=4時y的值.

課堂對話片斷如下所示.

師：如何求函數(shù)的解析式呢？

師：這位同學講得很好.這種方法叫待定系數(shù)法.我把解題過程寫給大家看看.

教學解讀：用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的步驟：（1）設出反比例函數(shù)的解析式；（2）把擇定的自變量與函數(shù)值代入解析式，得到關于待定系數(shù)的方程；（3）解方程；（4）寫出解析式.

活動5：開心練一練2（PPT展示）

師：誰能說出這三道題的答案.

生9：（1）k=-2，（2）y=2，（3）k=-1.

教學解讀：這是例題基礎上的提升，能使學生進一步理解反比例函數(shù)的概念，讓學生掌握求反比例函數(shù)的解析式的方法，并能用反比例函數(shù)解決問題.

變式1：（PPT展示）已知y與x2成反比例，并且當x=3時，y=4.

（1）寫出y和x之間的函數(shù)關系式；

（2）求x=-2時y的值.

師：這道題大家是如何思考的呢？

生10：把x2看成一個整體，設y=，再把x=3和y=4代入，求k.

師：你回答得非常好，請大家自己做一做，我請一位同學把解題過程寫到黑板上來.

教學解讀：學生要根據(jù)“y是x的某某函數(shù)”等已知條件，建立相應的函數(shù)模型，當變量不是單獨的字母時，學生要能正確寫出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)模型和已知條件建立方程（組），并正確求解.

變式2：（PPT展示）如果y是z的反比例函數(shù)，當z=3時，y=4；z是x的正比例函數(shù)，當x=1時，z=4，那么y與x具有怎樣的函數(shù)關系？求出函數(shù)關系式.

師：我們來看變式2，該如何思考？y與z成反比例怎樣設？

師：z與x成正比例怎樣設？

生12：設z=kx，把x=1、z=4代入，求出k=4，所以z=4x②，把②代入①，得y=

師：大家想一想，在同一題中，這兩個k的值能設成一樣嗎？

生13：不能相同，應加以區(qū)別，可分別設為k1、k2.

（生板書，教師巡視）

教學解讀：通過學生自己求解的過程，親自感受在同一題目中，兩個常量不可以設成相同的字母，應加以區(qū)別對待，這是學生常見的一種錯誤.

想一想：（出示投影片6）如果y是z的反比例函數(shù)，z是x的正比例函數(shù)，且x≠0，那么y與x有怎樣的函數(shù)關系.

師：同學們小組討論，并與同伴們交流.

（生討論.交流得出結果）

教學解讀：學生是學習的主人，教師要保證每一個學生都有參與活動的機會，獨立思考與小組合作相結合，通過個體間的交流，使學生的思維得到重新的認識，提高教學效果.

活動6：課堂小結

師：談談本節(jié)課你有哪些收獲.

教學解讀：當堂小結，使學生所學知識得到鞏固和提升，又使模糊認識得到澄清，對所學知識在第一時間達到最清晰的認識，這就是高效課堂的價值，也是提高學生學習的有效手段.

三、教后反思

1.情境創(chuàng)設要重視與現(xiàn)實生活的聯(lián)系

在引入環(huán)節(jié)，設計出學生熟悉的問題情境，通過多個與現(xiàn)實生活相關的實例引導，通過類比方法探究反比例函數(shù)的概念.學生用數(shù)學思想重新認識日常生活中的變量關系.在課尾，學生的歸納總結也對此作了呼應，進一步明晰本章的研究方法和內(nèi)容.

2.關注反比例函數(shù)概念的生成過程

執(zhí)教者沒有選擇直接給出概念，而是根據(jù)概念教學的規(guī)律和學生的認知特點，在反比例函數(shù)的概念生成上下足了功夫，充分利用學生已有的社會生活經(jīng)驗和已學知識為背景，挖掘問題中變量間的關系和變化規(guī)律，再加上由淺入深的例題和練習，讓學生熟練掌握本節(jié)課所學知識.

3.注重數(shù)學思想的滲透式教學

類比思想是貫穿本課始終的邏輯鏈條，通過類比能促進新舊知識間的積極遷移.本節(jié)課的教學由淺入深，循序漸進，逐步深入，教師適當點撥和學生充分討論形成共識，探究的問題由淺入深有挑戰(zhàn)性，設置的練習題也是由淺入深，可加深對本課知識的理解與掌握.通過例題、習題的訓練，歸納出求反比例函數(shù)的一般步驟.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.李庾南.自學·議論·引導教學論［M］.北京：人民教育出版社，2013.

3.章建躍.構建邏輯連貫的學習過程使學生學會思考［J］.數(shù)學通報，2013（6）.

4.朱國生.找準生長點，學程重生成——以“一元二次方程解法（第2課時）”教學為例［J］.中學數(shù)學（下），2015（8）.