筅安徽省淮南市第三中學全國新青年數(shù)學教師工作室　代銀

理解數(shù)學理解學生理解教學——一節(jié)省賽課的教學設(shè)計與教后反思

筅安徽省淮南市第三中學全國新青年數(shù)學教師工作室代銀

筆者有幸參加了2015年安徽省高中青年教師數(shù)學優(yōu)秀課評比和觀摩活動，并執(zhí)教了高二年級《人教A版選修2-1》中“充分條件與必要條件”一課.評比采用隨機抽簽分成兩組進行現(xiàn)場教學比賽，筆者以其中一組第一名的成績獲得了省賽一等獎，得到了評委老師的一致好評.然而“教學永遠是一門遺憾的藝術(shù)”，反思才是不斷進步的基礎(chǔ).章建躍博士也說過，數(shù)學課堂教學應該理解數(shù)學、理解學生、理解教學.筆者借此與大家一起從“理解”的三個方面分享比賽后的心得與收獲的同時，反思教學的“遺憾”，尋求數(shù)學教學的真諦.

一、教學設(shè)計

（一）教學目標

（1）使學生理解充分條件、必要條件的概念；

（2）能正確判斷是否是充分條件或必要條件；

（3）通過對充分條件和必要條件的研究，使學生掌握有關(guān)的邏輯知識，以保證推理的合理性和論證的嚴密性；通過以學生為主體的教學方法，讓學生自己構(gòu)造數(shù)學命題，體驗獲取知識的感受；

（4）通過對充分條件和必要條件與集合的關(guān)系的教學，建立概念間的多元聯(lián)系，培養(yǎng)同學們多角度審視問題的習慣.

（二）教學重難點

（1）重點：充分條件、必要條件概念；

（2）難點：必要條件概念的理解，充分條件、必要條件的判斷.

（三）教學方法

啟發(fā)誘導、合作探究.

（四）教學過程

1.問題引入

問題1：同學們，前面我們討論了“若p，則q”形式的命題，其中有的命題是真命題，有的命題是假命題，你能分別舉出一些這樣的命題的例子嗎？

設(shè)計意圖：從學生已有的知識體系出發(fā)提出問題，在學生的最近發(fā)展區(qū)構(gòu)建新知，符合學生的普遍認知規(guī)律.另外，對于充要條件和必要條件的學習涉及命題的真假，通過具體的例子有助于學生對這兩個概念的理解.

2.鋪墊過渡

“若p，則q”為真命題，是指由p經(jīng)過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可推出q，數(shù)學講究簡潔美，用符號語言，記作p圯q.

例如：“若x>1，則x>0”為真命題，即“x>1圯x>0”.

設(shè)計意圖：通過對命題的新的表述方式的引入，意在順利實現(xiàn)由“已有的知識結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)入“新知構(gòu)建”的過程.

3.新知建構(gòu)

下面我們探究命題中條件與結(jié)論之間的關(guān)系.“若p，則q”為真命題，由于p的成立可以使得q成立，我們就稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件.

定義：一般地，如果有p圯q，稱p是q的充分條件，q是p的必要條件.

結(jié)合學生之前的舉例，直觀感知概念.

從定義可見，“充分條件”、“必要條件”是在“若p，則q”為真命題的條件下，對命題的條件與結(jié)論之間關(guān)系的一種描述，條件p叫作結(jié)論q的充分條件，結(jié)論q叫作條件p的必要條件.

例1下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？

（1）若x>3，則x>2；

（2）若x=1，則x2-4x+3=0；

（3）若f（x）=x，則f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù).

問題2：對于命題（1）、（2）、（3），我們可不可以稱q是p的必要條件呢？

設(shè)計意圖：通過實例分析，將新知（充分條件、必要條件的概念）的構(gòu)建過程轉(zhuǎn)化為已有知識（命題真假的判斷）的應用過程.

4.鞏固新知

練習1：判斷下列問題中，p是q的充分條件嗎？

（1）p：兩圓面積相等；q：兩圓半徑相等.

（2）p：x>a2+b2；q：x>2ab.

（3）p：a>b；q：ac>bc.

（4）p：x為無理數(shù)；q：x2為無理數(shù).

問題3：像在（3）（4）兩個問題中p與q的關(guān)系應如何描述？

設(shè)計意圖：概念的否定是概念理解的重要方面，讓學生在直觀理解的基礎(chǔ)上給出“充分條件”和“必要條件”的否定形式.以幫助學生全面認識和理解概念.

練習2：判斷下列各組問題中，q是p的必要條件嗎？

（1）p：x>3；q：x>5.

（2）p：x>3；q：x>2.

（3）p：同位角相等；q：兩直線平行.

（4）p：四邊形對角線相等；q：四邊形是平行四邊形.

設(shè)計意圖：提升學生的認識水平，試圖從不同角度幫助同學們理解“充分”和“必要”.

總結(jié)例1、練習1、練習2：

（1）判斷p是不是q的充分條件，q是不是p的必要條件，都是在判斷“若p，則q”是否為真命題；

（2）“p圯q”與“p是q的充分條件”、“q是p的必要條件”之間是“三種表述，一個意思”.

問題4：在什么條件下，我們能說q是p的充分條件？p是q的必要條件？

例2用“充分條件”或“必要條件”填空：

（1）a>5是a>0的______________；

（2）四邊形的對角線互相垂直是四邊形為菱形的________.

設(shè)計意圖：本例的設(shè)計和應用主要目的有：（1）強調(diào)條件和結(jié)論之間的推出關(guān)系，即推出箭頭的方向性；（2）體會“充分條件”和“必要條件”的不同表述方式；（3）讓學生初步體會充分條件與必要條件的四種不同類型，為下節(jié)課提前準備.

課堂活動：請同學們自己舉例給出p、q并判斷其二者之間存在的是否是充分條件或必要條件的關(guān)系.

設(shè)計意圖：讓學生自主構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，加深對充分條件與必要條件的認識.

教師補充：p：x∈Z，q：x∈R，p圯q.（p是q的充分條件，q是p的必要條件）

設(shè)計意圖：為討論充分條件、必要條件與集合的聯(lián)系做鋪墊.

思考：已知p：x∈A，q：x∈B，且p圯q，試判斷集合A，B間的關(guān)系.

設(shè)計意圖：從集合關(guān)系的角度幫助同學們進一步理解“充分條件”和“必要條件”，并建立兩者之間的聯(lián)系，在提升學生對新知識的理解的同時，還可以使得學生對數(shù)學知識的掌握達到融會貫通的效果.

歷史文化：我國戰(zhàn)國時期《墨經(jīng)》對充分條件、必要條件的描述：

充分條件：“有之則必然，無之則未必不然”；

必要條件：“無之則必不然，有之則未必然”.

設(shè)計意圖：通過歷史文化的學習，增強學生學習數(shù)學的興趣和激發(fā)對民族文化的熱愛的同時，進一步加深對新知的全面認識.

理性認識：追根溯源，其實對必要條件的理解，還可以從逆否命題的角度看待：原命題“若p，則q”為真命題，其逆否命題“若劭q，則劭p”也為真命題.即“q不成立，則p一定不成立”.

例如：“小明是蕪湖人，則小明是安徽人”；

“小明是蕪湖人”是“小明是安徽人”的充分條件.

“小明不是安徽人，則小明不是蕪湖人”.

“小明是安徽人”是“小明是蕪湖人”的必要條件.

設(shè)計意圖：通過原命題與逆否命題的真假聯(lián)系，從理性上認識必要條件這一難懂的概念認識，實現(xiàn)難點的有效突破.

5.能力提升

例3填空：（寫出一個滿足題意的即可）

（1）“ab=0”的一個充分條件是_________；

（2）“x<3”的一個必要條件是___________.

練習3：（1）“x>a”是“x>2”的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）“x>a”的一個充分條件是“x>2”，求實數(shù)a的取值范圍.

思考：將上述練習中“充分條件”改為“必要條件”，結(jié)果又會如何？

設(shè)計意圖：（1）引導學生觀察問題的問法和之前例題有無不同，培養(yǎng)學生的觀察能力；（2）從條件判斷填空到開放的填寫條件有助于彰顯學生對問題的理解程度，通過這組練習，可以了解學生“會了什么”、“還存在什么問題”，使后面的教學更有針對性！

6.牛刀小試

練習4：判斷下列各組問題中，p是不是q的充分條件，以及p是不是q的必要條件？

（1）p：|x|=x；q：x2≥0.

q：直線l與平面α垂直.

（4）p：函數(shù)（fx）滿足（f0）=0；q：函數(shù)（fx）是奇函數(shù).結(jié)合練習，引導學生歸納如下：

從練習中我們發(fā)現(xiàn)在p與q之間存在以下幾種關(guān)系：

對于這幾種關(guān)系我們應如何描述呢？下節(jié)課，我們將解決這一問題.

設(shè)計意圖：反饋練習的設(shè)計，既幫助學生全面掌握本節(jié)課的學習內(nèi)容，再次鞏固所學知識和方法，也在前面例3的基礎(chǔ)上明確了充要條件涉及的四種類型，為順利進入下節(jié)課的學習打下堅實的基礎(chǔ).

7.課堂小結(jié)

師生共同回顧本節(jié)課的教學過程，小結(jié)如下內(nèi)容：

（1）知識內(nèi)容：①充分條件與必要條件的概念；②充分條件與必要條件的判斷；③充分條件和必要條件與集合的聯(lián)系.

（2）思想方法：學會觀察、歸納、總結(jié)，進行探索發(fā)現(xiàn)，注意邏輯推理的合理性和嚴密性.

設(shè)計意圖：再現(xiàn)課堂，小結(jié)提升，有助于學生明確學習的重點.

8.作業(yè)布置

（必做）課本第12頁A組1、2，B組1.

二、教學反思

（一）理解數(shù)學，有的放矢

1.知識地位

“充分條件與必要條件”是高中《人教A版數(shù)學選修2-1》第一章簡單邏輯用語第二節(jié)的內(nèi)容.邏輯是研究思維規(guī)律的學科，而“充分條件與必要條件”是數(shù)學中常用的邏輯用語，邏輯用語在數(shù)學中具有重要的作用，學習數(shù)學需要全面準確地理解概念，正確地進行表述、判斷和推理，這些都離不開對邏輯知識的掌握和運用.在選修中學習邏輯用語，可以結(jié)合邏輯用語的使用對我們已經(jīng)學習過的必修部分的數(shù)學知識加以鞏固和提升，同時能夠體現(xiàn)出邏輯用語的工具價值，也可以更好地應用于今后的學習.

2.知識內(nèi)容

“充分條件與必要條件”是在p圯q時，對條件p與結(jié)論q之間關(guān)系的一種描述，是一個數(shù)學概念.“p圯q”與“p是q的充分條件”、“q是p的必要條件”之間是同一邏輯關(guān)系的三種不同描述形式，前者是符號表示，后兩者是文字表示.通過對命題真假的判斷，研究命題中條件與結(jié)論之間的關(guān)系，所以判斷充分條件與必要條件的關(guān)鍵是分清條件與結(jié)論，再判斷命題的真假.考慮到充分條件與必要條件的相對性，在判斷上還需關(guān)注方向性.另外，充分條件與必要條件和集合知識的聯(lián)系在豐富知識外延拓展的同時，幫助我們從“形”上（韋恩圖表示集合關(guān)系）進一步理解充分條件與必要條件的內(nèi)涵.

3.過程方法

充分條件與必要條件的知識學習過程中蘊含著數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的觀察、歸納、總結(jié)等方法，在知識的形成與運用中還體現(xiàn)了數(shù)學思維的合理性、嚴密性，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，這些都是數(shù)學的精髓.

（二）理解學生，因材施教

理解學生，就是課前充分認識當前的數(shù)學知識與學生的生活經(jīng)驗和已有認知基礎(chǔ)的聯(lián)系，以及它們之間的距離，以便在“最近發(fā)展區(qū)”創(chuàng)設(shè)問題，也即理解學生的當期與需求，做好課堂預設(shè)；課中堅持以學生為本、發(fā)揮學生的主體性，關(guān)注每個學生的個性發(fā)展，能根據(jù)學生的不同“生成”及時反饋，調(diào)整教學策略、教學方法；課后通過作業(yè)輔導、談話交流等方式了解學生“學會了多少”，“還有哪些不會”，關(guān)注學生對知識的掌握情況，為后續(xù)教學工作提供借鑒、打好基礎(chǔ).

其中，課前對學生的充分了解是上好一節(jié)課的必要前提，筆者所任教的班級是安師大附中高二年級（8）班的學生，該班是理科普通班，參加上課的25名學生（學號26~50）整體水平較好，但據(jù)課前了解，其中尚有4~5名學生數(shù)學成績不夠理想，學生數(shù)學基礎(chǔ)存在參差不齊的現(xiàn)象.因此，“高立意、低起點、小跨度、多層次”成為本節(jié)教學設(shè)計的基本理念.但在實際教學中，在對充分條件與必要條件的認識上所用到的已有知識的選取存在過偏、過難，干擾學生新知的構(gòu)建，成為學生學習的“絆腳石”的情況，這些都是因為筆者對學生的了解不夠，過高地估計了學生的學習水平所致.可見備好課先要備學情，充分了解學生才能真正做到“因材施教”.

（三）理解教學，科學自然

“充分條件與必要條件”作為高中數(shù)學傳統(tǒng)的重點內(nèi)容，難點內(nèi)容.筆者希望通過本節(jié)課的教學，讓學生準確地理解這一概念，能簡單的運用這一知識，并希望能夠通過較為愉悅的課堂環(huán)境，使學生保持濃厚的學習興趣，不要產(chǎn)生畏難情緒.為了達到這樣的教學效果，筆者的教學設(shè)計力求做到以下幾點：

1.堅持“師為主導，生為主體”的教學理念

本節(jié)課的教學設(shè)計和實際教學中，教師更多的是站在一個引路人的角度，告訴學生該向哪里走，怎么走，讓他們自己去走.例如：在例題的教學中，筆者大多是先帶領(lǐng)學生分析問題，探求解決問題的方法，在學生通過自己的努力嘗試解答之后，筆者再進行總結(jié)，避免了“滿堂灌”.

2.注重對學生的思維訓練

引導學生多角度的審視問題，從不同角度去看問題、分析問題、思考問題，從而可以使得對一個具體問題理解的更準確、更全面、更深刻.例如：在概念教學中，為了更好地理解概念，筆者通過具體問題引導學生從表達形式（符號表示與文字表示）、通俗語言的描述（有它就行和缺它不行）、不同概念間的聯(lián)系（充分條件與必要條件和集合的聯(lián)系）來輔助概念教學.

3.課堂教學層次鮮明、銜接自然

筆者把整個教學過程劃分為七個環(huán)節(jié)：問題引入、鋪墊過渡、新知建構(gòu)、鞏固新知、能力提升、牛刀小試、課堂小結(jié).以問題為主線，為了解決問題，學習新知識，掌握了新知識再來解決問題.這樣就把幾個環(huán)節(jié)很自然地聯(lián)系在一起.

（四）肯定亮點

1.尊重學生，關(guān)注學生體驗

波利亞指出：“學習任何知識的最佳途徑是自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)、聯(lián)系.”教師要相信學生的認知潛能，防止鋪墊過多、提問過細、指導過濫，多為學生提供探索的時間和空間，鼓勵學生主動地從事觀察、實驗、猜測、推理與交流等數(shù)學活動，在“探”中學習數(shù)學.

本節(jié)課的教學引入，筆者采用的是問題引入的方式：“問題1：同學們，前面我們討論了“若p，則q”形式的命題，其中有的命題是真命題，有的命題是假命題，你能分別舉出一些這樣的命題的例子嗎？”從學生的最近發(fā)展區(qū)搭起“臺階”，學生熟悉，易于接受，而且能迅速將學生的注意力集中起來，共同參與課堂探究.另外，通過對學生自己所舉例子的研究，分析構(gòu)建新知，學生以“主人翁”的角色“身臨其境”地體驗了知識的形成過程，提高學生學習的“成就感”，教學效果自然會大大提高.

為進一步加深對充分條件與必要條件概念的理解，幫助學生進行知識的重組與構(gòu)建，筆者安排了一個課堂活動：“請同學們自己舉例給出p、q并判斷其二者之間存在的是否是充分條件或必要條件的關(guān)系.”這樣做，一方面，可以讓全體學生“動起來”，參與課堂討論，自主構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)；另一方面，可以幫助筆者及時了解每個學生對知識的掌握情況，方便課堂教學策略的及時調(diào)整.

2.妙問揭本質(zhì)，思維上臺階

“思維是從問題開始的”.學生認知的發(fā)展就是觀念上的“平衡—失衡—再次平衡”的反復漸進過程.

在學生初步理解充分條件與必要條件的概念之后，筆者安排了一個問題思考：“問題4：在什么條件下，我們能說q是p的充分條件？p是q的必要條件？”看似不經(jīng)意的一問，打破原有“平衡”，引領(lǐng)學生尋找新的“平衡點”，不顯山不露水地揭示了概念的本質(zhì)，加深了學生對概念的深層理解，創(chuàng)新了思維，提高了認識.

3.直觀認識、嚴格論證，多角度認識事物

充分條件與必要條件的教學重點在于對概念的理解，難點在于學生對必要條件概念的理解.著名數(shù)學家笛卡爾說過：“要想獲得真理和知識，唯有兩件武器，那就是清晰的直覺和嚴格的演繹.”為了幫助學生理解充分條件與必要條件的概念，筆者設(shè)置了思考問題：“思考：充分條件、必要條件與集合間的聯(lián)系.已知p：x∈A，q：x∈B，且p圯q，試判斷集合A，B間的關(guān)系.”將充分條件、必要條件與集合建立聯(lián)系，并通過韋恩圖直觀認識充分條件與必要條件.同時為了兼顧數(shù)學思維的嚴密性，筆者還給出從原命題與逆否命題的等價關(guān)系上論證了充分條件與必要條件的內(nèi)在含義，幫助學生從“形”“數(shù)”的不同維度理解概念.

4.注入文化元素，關(guān)注情感教育

關(guān)注學生數(shù)學文化意識的養(yǎng)成，努力推進數(shù)學文化教育，已經(jīng)成為當今數(shù)學教育改革的一個重要特征.在學生對充分條件與必要條件的概念理解有足夠認識的基礎(chǔ)上（尤其是在與集合建立聯(lián)系之后，以韋恩圖直觀展現(xiàn)），介紹我國戰(zhàn)國時期《墨經(jīng)》對充分條件與必要條件的描述，通過古代精辟的概括性語言加深學生對概念理解的同時，領(lǐng)略我國數(shù)學歷史文化的博大精深，努力提高學生的學習興趣和民族自豪感.

5.注重知識連貫性、整體性

數(shù)學的課堂教學不能僅僅局限于當前的一節(jié)課，要考慮到知識的連貫性和整體性，教學中不僅要引用、鞏固所學，還要為以后所學做好鋪墊、埋下伏筆，考慮到下節(jié)內(nèi)容要帶領(lǐng)學生學習“充要條件”，筆者在“鞏固新知”和“小試牛刀”中分別安排了例2和課堂練習題.這些習題的安排檢驗了本節(jié)所學的同時，也為下一節(jié)充要條件的四種類型做好鋪墊、打下基礎(chǔ)，可以很好地將本章知識繼續(xù)“串”下去.

（五）反思不足

1.課堂想“放”，但卻沒有完全“放”開

教學開始環(huán)節(jié)，筆者通過設(shè)置問題，試圖放開讓學生舉例引入新課的探究.另外，在安排的“課堂活動”：請學生自己舉例給出p、q并判斷其二者之間存在的是否是充分條件或必要條件的關(guān)系時的學生展示上，筆者沒有給學生更多的時間與機會展示自己所找到的例子，而只是通過3~4名學生的展示，“急匆匆”進入下一環(huán)節(jié).這樣做一定程度上挫傷了部分同學學習的積極性，也沒有盡量全面地了解每個學生的個性成長情況.

2.例題與練習的安排不夠精簡，感覺時間“緊”，任務(wù)“重”

為了使得學生能更加深入認識問題本質(zhì)，筆者從不同維度、不同層次設(shè)置了例題、練習及變式思考，但是在有限的課堂45分鐘里，量的增多必然影響學生對問題“質(zhì)”的認識，比如：“能力提升”環(huán)節(jié)例3之后筆者設(shè)置了練習1，并在此練習之后設(shè)置了思考，課堂上留給學生去思考、反饋，讓學生和老師都感覺太過匆忙，學生大腦思維過于“緊繃”，影響教學效果.若是教師“不貪多”，而留給學生課下思考、求解，效果可能會更好一些.

（六）完善教學，優(yōu)化設(shè)計

鑒于以上分析與反思，并結(jié)合課堂實際教學反饋，現(xiàn)把“充分條件與必要條件”的教學設(shè)計做如下調(diào)整：

1.降低選取的已學知識的難度，保證學生新知構(gòu)建順利自然

充分條件與必要條件的概念教學必然需要通過我們已經(jīng)學習過的必修部分為依托說明邏輯關(guān)系，但是已學知識的選取過難、過偏往往會適得其反.如例1的練習1中“p：x>a2+b2，q：x>2ab”的判斷，課堂練習中“p：函數(shù)f（x）滿足f（0）=0q：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)”的判斷，都可換成一些更簡單的知識條件，減少不必要的障礙，更有利于學生對新知的學習與構(gòu)建.

2.變式思考，課后思考

將“能力提升”環(huán)節(jié)例3練習1的變式思考留給學生課下思考，既能為其他教學環(huán)節(jié)的充分開展“節(jié)約”時間，也可以為學生的深入“思考”、“對比”、“提升”提供保證.

3.讓學生更多參與討論，展示個性收獲

“課堂活動”與“課時小結(jié)”應該把更多時間與機會交給更多的學生，讓大家一起分享、展示自己的收獲，以幫助教師更好地了解每個學生個體的成長，同時提高學生學習數(shù)學的成就感，分享學習的快樂.

教學是一門科學，也是一門藝術(shù)，上好數(shù)學課是需要智慧的.數(shù)學教師的課堂應力求達到理解數(shù)學、理解學生、理解教學.數(shù)學教學應從數(shù)學的本質(zhì)出發(fā)、以學生的現(xiàn)有認知程度為基礎(chǔ)，訓練他們的數(shù)學思維，培養(yǎng)并提升他們的數(shù)學核心素養(yǎng).

1.趙緒昌.數(shù)學教學應從學生的認知基礎(chǔ)出發(fā)［J］.中學數(shù)學（上），2015（6）.

2.張國林.在數(shù)學概念課中尋找生長點的幾種策略［J］.數(shù)學通訊，2016（4）.

3.孫福元.重視數(shù)學課堂參與，提高教學有效性［J］.中學數(shù)學（上），2012（10）.

4.劉廣瓊，俞曉蕓.把握課堂節(jié)奏，提高教學效率——基于滬教版《實數(shù)的概念》公開課的啟示［J］.數(shù)學教學，2015（9）.F