宋鵬翔 鄭立飛 吳養(yǎng)會(huì)

（1.海軍航空工程學(xué)院青島校區(qū) 山東 青島 266000 2.西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院 陜西 楊凌 712100）

眾所周知，學(xué)生在學(xué)習(xí)極限并計(jì)算極限的時(shí)候，等價(jià)無(wú)窮小量的誤用是經(jīng)常的事情。這個(gè)地方的錯(cuò)誤率非常高，盡管主講老師多次強(qiáng)調(diào)，等價(jià)無(wú)窮小在加減的時(shí)候不可以隨意使用，但是學(xué)生的作業(yè)，考試中此類(lèi)錯(cuò)誤仍舊頻頻出現(xiàn)。另外，“一題多變”可以逐漸深入，舉一反三，開(kāi)發(fā)學(xué)生思維，擴(kuò)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生思維創(chuàng)造能力[1-5]。利用“一題多變”的策略進(jìn)行教學(xué)，可以使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)達(dá)到活化、深化和融會(huì)貫通，

解：

有的學(xué)生提出：能否將上題第一項(xiàng)的分母換為相應(yīng)的等價(jià)量 sin2x，而得到相同結(jié)果呢？由此，得到下述變化的題目：

這個(gè)題目的解法如下：從而培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維能力。為此，在給學(xué)生講課的時(shí)候，針對(duì)一個(gè)作業(yè)題，筆者重點(diǎn)對(duì)其進(jìn)行了一題多變，由此告知學(xué)生：等價(jià)無(wú)窮小在求極限的時(shí)候一定要注意使用條件。

筆者在黑板上講解的原題為：

首先給出此題的正確解法：

顯然結(jié)果并非正確答案，從而說(shuō)明極限式的分子中的第一項(xiàng)不可以換為 sin2x.

有學(xué)生又問(wèn)，原題既然可以寫(xiě)為

這個(gè)等式右邊的第二項(xiàng)的分母能否換為x2，換了后結(jié)果一樣嗎？由此得到如下的題目：

顯然結(jié)果并不是正確答案。

對(duì)變化 2的題目進(jìn)一步改造，就得到如下題目：

解：

上述題目的各種變形說(shuō)明：利用等價(jià)無(wú)窮小量求極限的時(shí)候，初學(xué)者一定要注意該方法的適用范圍。一般而言，等價(jià)無(wú)窮小量只在乘除的情況下使用，不主張?jiān)诩訙p的情況下使用其求極限，否則，會(huì)導(dǎo)致各種不同的極限值。如果為了進(jìn)一步提高學(xué)生的研究能力，可以給出如下解法：

以上是用無(wú)窮小代換把cosx換成二次多項(xiàng)式。可以進(jìn)一步思考的是，究竟用二次多項(xiàng)式替換還是一次或更高次多項(xiàng)式替換好，值得初學(xué)者思考。

顯然，結(jié)果不對(duì)，這里也用的是等價(jià)無(wú)窮小代換，為什么就得不到正確的結(jié)果呢？

前幾次變式用等價(jià)無(wú)窮小替換其實(shí)就是一階

結(jié)果顯然還是不同。

同樣，將第一項(xiàng)的x2換為 tan2x后，給出如下的題目：

變化4：計(jì)算

結(jié)果再次發(fā)生變化，還是錯(cuò)誤的結(jié)果。

泰勒公式展開(kāi)，由于精確度較差，有些題無(wú)法解決，此時(shí)可以嘗試使用泰勒公式展開(kāi)得到更高階數(shù)來(lái)求解。

上述做法也說(shuō)明，當(dāng)課堂教學(xué)中遇到學(xué)生容易產(chǎn)生錯(cuò)誤做法的內(nèi)容時(shí)，教師不妨利用一題多變來(lái)對(duì)相應(yīng)的問(wèn)題進(jìn)行解析，這樣更容易讓學(xué)生看到問(wèn)題的本質(zhì)，從而更好地理解相關(guān)知識(shí)，達(dá)到大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目的。