陸靜

情境引入的生活化與知識建構的數學化
——以“直線與圓的位置關系”教學為例

陸靜

數學來源于生活，存在于現實且應用于生活，教學過程是幫助學生把現實生活問題轉化為數學問題的過程。以“直線與圓的位置關系”教學為例，從情境引入的生活化、知識建構的數學化以及生活化數學課堂教學要注重教向學的轉變三個層面入手，開展生活化數學課堂教學，充分展示數學課堂教學的生活化，凸顯生活現象的數學化。

數學教學；情境引入；知識建構；生活化；數學化

荷蘭教育家弗賴登塔爾認為：“數學來源于生活，存在于現實，并且應用于生活，教學過程是幫助學生把現實生活問題轉化為數學問題的過程?！边@是對數學生活化的精彩描述。生活中無處沒有數學，處處存在著數學思想，關鍵是教師是否善于結合課堂教學內容去捕捉“生活現象”，采擷生活數學實例，為課堂教學服務。教師應努力創(chuàng)設生活化情境，把教材內容與生活情境有機結合起來，使數學教育真正回歸到學生生活中，使數學學習真正與生活交融在一起，實現教學氛圍生活化。這樣，就會使學生真正體會到生活中處處有數學，處處用數學，感受到數學的生活價值，聆聽生活中的數學真諦。本文以“直線與圓的位置關系”教學為例，探討數學教學中情境引入的生活化與知識建構的數學化這一課題。

一、情境引入的生活化

建構主義學習理論強調“情境”是學習環(huán)境的重要因素，知識是學生積極主動建構的，是個體根據對外部世界的獨特體驗并賦予其個人經驗來建構的。知識不是灌輸的，只有在真實的環(huán)境中生成的知識，才是有效的，如果給予學習者一個近似真實環(huán)境的氛圍，學習者的學習就會更為主動、積極，學習者就能主動去思考、探究，先前建構的知識會不斷擴充、積累。但是，運用情境教學時首先需用“著眼發(fā)展”的觀點，全面提出教學任務，而后優(yōu)選教學方案，根據教學任務、班級特點及教師本人素質，選擇創(chuàng)設情境。創(chuàng)設情境的途徑有很多，例如，生活展現情境、實物演示情境、圖畫再現情境、音樂渲染情境、表演體會情境、語言描述情境等，縱觀各種途徑，無一不是與生活相關的，可見，情境引入的生活化在課堂教學中具有深遠意義。

生活是數學的源泉，生活中充滿了數學問題。教師要從學生的生活出發(fā)，把生活中的數學原型生動地展現在課堂上，使學生眼中的數學不再是冰冷的、抽象的，而是富有情感的、貼近生活的、具有活力的東西。只有這樣，學生才能在具體形象的豐富感知中，化抽象為具體，真正形成對數學的認識。生活情境應該促進學生在自主探究的學習過程中，真正理解和掌握數學知識、技能、數學思想和方法，并建構自己的數學知識，同時，積累廣泛的數學經驗。傳統(tǒng)的數學課堂教學中的許多問題情境，僅僅是作為引入新知識的“腳手架”或“拐杖”，而沒有在新知識的發(fā)生、發(fā)展過程中發(fā)揮其實質性的作用。這里所說的發(fā)生、發(fā)展的過程就是數學知識“再創(chuàng)造”的過程，不是數學老師的直接灌輸、而是學生主動建構數學新知的過程。只有經歷了這樣的學習過程，學生的學習熱情才會被充分地激發(fā)出來。例如，“直線與圓的位置關系”這節(jié)課題引入，為了讓學生從生活中發(fā)現直線與圓的位置關系，通過“展一展”環(huán)節(jié)，在《學習任務單》中設計了以“日出”為主題的三個項目：（1）畫一幅主題為“日出”的色彩作品；（2）拍攝或搜集有關“日出”的照片；（3）制作主題為“日出”的動畫。

課堂教學的導入猶如文章的“鳳頭”，樂曲的“引子”，戲劇的“序幕”，負有醞釀情緒、集中學生注意力、滲透主題和帶入情境的任務。其中，項目一的內容緊扣學生所學專業(yè)——藝術設計；項目二來源于學生的生活實際；項目三的內容不僅與學生的生活實際密切相關，而且需要學生通過動畫效果呈現主題。這樣，學生能夠經歷三種不一樣的生活情境。日出，讓學生體驗到數學來源于生活，發(fā)現了日出情境中蘊含著直線與圓的位置關系，感知到生活中數學的美，并激發(fā)他們進一步學習直線與圓的位置關系的欲望。在這樣的氛圍里，學生的思想不受束縛，往往能得到很多意想不到的收獲。學生憑著自己的經歷和經驗，對貼近生活的數學知識具有一定的直觀認識和感性認識，教師加以適當引導，就很容易使學生理解抽象的數學知識，讓學生學得輕松、愉快。這樣，不僅能提高學生學習數學的興趣，而且能促進學生去求索和創(chuàng)新。

二、知識建構的數學化

建構主義的核心理念是，學習者應該主動建構自己的知識，而非被動地從環(huán)境中接受知識。[1]建構主義對教學有以下五個建議：（1）課堂應給學生提供需要解決的問題，讓學生從中體驗發(fā)現新知的機會；（2）課堂應給學生提供復雜的學習體驗，便于學生從不同的視角考察知識、整合知識；（3）課堂應提供學生與教師以及其他同學進行合作交流、思考與學習的機會；（4）學生應學會自我調節(jié)，成為自己學習的主人；（5）學生需要參與真實的學習體驗。數學課堂教學生活化為學生主動建構數學知識提供了一個平臺。學生在學習數學概念、數學命題、數學問題時，教師需提供一定的生活情境，啟發(fā)引導學生在積極主動的學習過程中觀察、合作、交流和體驗，從而建構自己的數學知識。

例如，“直線與圓的位置關系”這一課的建構歸納環(huán)節(jié)，可引導學生仔細觀摩如圖1所示幾何畫板軟件制作動畫“日出”：當太陽從地平線冉冉升起，日出的景象像是一條地平線（直線）與太陽（圓）相交、相切、相離的過程。

圖1 幾何畫板軟件制作的動畫“日出”

有了這樣的感性認識，教師再理性地引導學生“試一試”分析以下三點：（1）如果我們將太陽看作一個圓，那么地平線可以看作什么呢？（2）請問，太陽冉冉升起的過程中與地平線有幾種位置關系呢？（3）每一位同學體驗一下幾何畫板軟件制作的日出動畫。通過此活動，學生注意到一種直觀判斷直線與圓位置關系的方法——幾何法，即判斷圓心到直線的距離d與圓半徑r的大?。喝鬱＜r，則直線與圓相交；若d=r，則直線與圓相切；若d＞r，則直線與圓相離。

人們從感知到思維的每一個認識過程都是從注意開始的，注意是一切認識過程的開端。俄國著名的教育學家烏申斯基在談到注意的作用時說：“注意是一扇門，一切來自外部世界的，剛剛進入人的心靈的東西都要從它那里通過。”因此，教師應著重引導學生思考問題：這直線與圓的三種位置關系，可否有代數方法來判斷呢？為了吸引學生的注意力，可創(chuàng)設“探一探”：通過觀察如圖2所示“小黃人”幾何畫板圖形，積極探索以下4個有趣的數學問題：（1）請寫出“機器人臉”的“左眼”所在圓的方程和左唇線所在直線的方程；（2）猜猜“左脣線”的延長線與“左眼”是什么位置關系；（3）如何判斷“左脣線”的延長線與“左眼”的位置關系；（4）“左脣線”的延長線的方程與“左眼”的方程有公共解？如何判斷？

問題是有效教學的一種重要的輔助行為，通過7個數學問題的環(huán)環(huán)引導，學生使用個人的知識儲備來積極構建他/她的解釋和意義，鼓勵學生集中注意力思考和解決問題，幫助他們進入最佳的知識建構過程，從而理清一個事實。即直線L和圓C的方程分別為：

Ax+By+C=0,x2+y2+Dx+Ey+F=0。

圖2 “小黃人”幾何畫板圖形

如果直線L和圓C有公共點，由于公共點同時在直線L和圓C上，所以公共點的坐標一定是這兩個方程的公共解。反之，如果這兩個方程有公共解，那么，以公共解為坐標的點必是直線L與圓C的公共點。從而，引導學生找到判斷直線與圓的另一種方法——代數法，即聯立直線方程與圓的方程，構成方程組：。

解方程組，依據解的個數判斷兩者的位置關系。學生獲得判斷直線與圓的位置關系的第二種方法：（1）若方程組有兩個不同的解，即直線與圓有兩個交點，則直線與圓相交；（2）若方程組僅有一組解，即直線與圓有一個交點，則直線與圓相切；（3）若方程組無解，即直線與圓沒有交點，則直線與圓相離。由此進一步引導學生對直線與圓的位置關系進行分類，并總結出判斷兩者位置關系的方法：（1）判斷圓心到直線的距離與圓的半徑大小關系；（2）聯立直線與圓的方程，構成方程組，判斷解的情況。這里的方法（1）能夠培養(yǎng)學生用數形結合思維方式思考解決問題。經過上述知識的建構，接下來，進一步引導學生進入“理一理”活動環(huán)節(jié)。如圖3所示，學會用一張圖表總結出判斷直線與圓的位置關系的兩種方法：（1）幾何法；（2）代數法。從圖中，我們可以清晰地發(fā)現直線與圓的位置關系的幾何特征與代數特征。

圖3 直線與圓的位置關系

三、生活化數學課堂教學要注重教向學的轉變

如果說教一個活動的最好辦法是演示，那么學一個活動的最好方法是做。生活化數學課堂教學為一個個教師活動與學生活動所貫穿，例如，情境導入中的“展一展”活動，它帶領學生從生活中發(fā)現直線與圓的位置關系，體現了數學教學的生活化；又如，知識建構中的“試一試”、“探一探”、“理一理”三個活動層層遞進，引導學生一步步理清數學原理，嘗試“再創(chuàng)造”學習過程，體現情境生活的數學化。所以，無論是在情境引入環(huán)節(jié)還是在知識建構環(huán)節(jié)，我們需要重點關注的是將教轉向學，從教師活動轉向學生活動并且由感覺效應轉到運動效應。[2]

值得注意的是，生活化的數學課堂教學會因學生的學習經驗、學習基礎、學習特點不同而異。然而，不管如何教與學，應該遵循主體性原則、情境性原則及主動構建原則。教師要充分展示數學課堂教學的生活化，凸顯生活現象的數學化。

[1]托馬斯.費茲科，約翰.麥克盧爾.教育心理學——課堂決策的整合之路[M].吳慶麟，譯.上海：上海人民出版社，2008：159.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，譯.上海：上海教育出版社，1995：103.

[責任編輯盛艷]

陸靜，女，江蘇聯合職業(yè)技術學院揚州商務分院講師，教育碩士，主要研究方向為數學課程與教學論。

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1674-7747（2016）33-0043-03