□黃細(xì)把

探索角的規(guī)律問(wèn)題

□黃細(xì)把

學(xué)習(xí)了角的知識(shí)后，同學(xué)們有時(shí)會(huì)遇到一些探索角的規(guī)律問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題的最大特點(diǎn)是在已知條件下，先求出一個(gè)角的度數(shù)或確定兩個(gè)角之間的關(guān)系，然后使原問(wèn)題的某些條件發(fā)生變化，要求我們探索原結(jié)論的變化情況或變化規(guī)律.下面舉例說(shuō)明.

例1如圖1，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.

（1）求∠MON的度數(shù)；

（2）若∠AOB＝α，其他條件不變，則∠MON＝；若∠BOC＝β，其中β為銳角，其他條件不變，則∠MON＝____；

（3）從上面的結(jié)果中，你能得出什么結(jié)論？

圖1

分析：從∠MON＝∠MOC－∠CON入手，求∠MON的度數(shù).

解：（1）由∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，

得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC

＝120°.

因?yàn)镺M平分∠AOC，ON平分∠BOC，

所以∠MON＝∠MOC－∠CON

＝45°.

（2）先分別求出或用字母分別表示∠MOC和∠CON的度數(shù).

若∠AOB＝α，其他條件不變，

則∠AOC＝α＋30°.

所以∠MON＝45°.

（3）從上面結(jié)果可以看出，不管∠AOB或∠BOC如何變化，∠MON的大小只與∠AOB有關(guān)，且∠MON＝∠AOB.

例2如圖2所示，∠AOB和∠COD都是直角.

（1）試猜想，∠AOD和∠BOC在數(shù)量上是否存在相等、互余或互補(bǔ)關(guān)系？你能說(shuō)明其正確性嗎？

（2）當(dāng)∠COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，你的猜想還成立嗎？

圖2

圖3

分析：由于∠AOD是鈍角，∠BOC是銳角，所以它們之間不可能存在相等或互余關(guān)系，只可能存在互補(bǔ)關(guān)系.這只需判斷它們的和是否等于180°.

解：（1）在圖2中，∠AOD和∠BOC在數(shù)量上存在互補(bǔ)關(guān)系.理由如下：

因?yàn)椤螦OB＋∠AOD＋∠COD＋∠BOC＝360°，

又∠AOB＝90°，∠COD＝90°，

所以∠AOD＋∠BOC＝180°.

所以∠AOD和∠BOC互補(bǔ).

（2）在圖3中，∠AOD和∠BOC的互補(bǔ)關(guān)系還成立.理由如下：

因?yàn)椤螦OB＝90°，

所以∠AOD＝90°＋∠BOD.

因?yàn)椤螩OD＝90°，

所以∠BOC＝90°－∠BOD.

所以∠AOD＋∠BOC＝（90°＋∠BOD）＋（90°－∠BOD）＝180°.

所以∠AOD和∠BOC互補(bǔ).

例3如圖4，OB、OC是∠AOD內(nèi)部的兩條射線(xiàn)，OM和ON分別∠AOB和∠COD內(nèi)部的一條射線(xiàn)，且∠AOD＝α，∠MON＝β.

圖4

（1）當(dāng)∠AOM＝∠BOM，∠DON＝∠CON時(shí)，試用含α和β的式子表示∠BOC；

（2）當(dāng)∠AOM＝2∠BOM，∠DON＝2∠CON時(shí)，∠BOC等于什么？當(dāng)∠AOM＝3∠BOM，∠DON＝3∠CON時(shí)，∠BOC等于什么？

（3）根據(jù)上面的結(jié)果，請(qǐng)?zhí)羁眨寒?dāng)∠AOM＝n∠BOM，∠DON＝n∠CON時(shí)，∠BOC＝____.

分析：不難發(fā)現(xiàn)，∠BOC＝∠MON－（∠BOM＋∠CON）.單獨(dú)求∠BOM和∠CON非常困難，應(yīng)把∠BOM＋∠CON當(dāng)作一個(gè)整體.

解：（1）由∠AOM＝∠BOM，

∠DON＝∠CON，

得∠BOM＋∠CON

＝∠AOM＋∠DON.

因?yàn)椤螦OD＝α，∠MON＝β，

所以∠AOM＋∠DON＝α－β.

因?yàn)椤螧OC＝∠MON－（∠BOM＋∠CON），

所以∠BOC＝β－（α－β）

＝2β－α.

（2）先用含α和β的式子表示∠BOM＋∠CON.

當(dāng)∠AOM＝2∠BOM，

∠DON＝2∠CON時(shí)，

得∠BOM＋∠CON

所以

∠BOC＝∠MON－（∠BOM＋∠CON）

當(dāng)∠AOM＝3∠BOM，

∠DON＝3∠CON時(shí)，

得∠BOM＋∠CON

（3）仔細(xì)觀察和比較條件中∠AOM與∠BOM、∠DON與∠CON之間的變化情況，及求出的∠BOC的關(guān)系式，得