陳其琴

（福建省泉州市泉港區(qū)三川中學(xué)）

初中數(shù)學(xué)一元二次方程應(yīng)用題解析

陳其琴

（福建省泉州市泉港區(qū)三川中學(xué)）

【試題】

兒童玩具店的老板以2元/個(gè)的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批玩具小汽車，以3元/個(gè)的價(jià)格出售，每天可以售出200個(gè)。然而，老板為了促銷，決定降價(jià)處理，這種小型玩具小汽車每降價(jià)0.1元/個(gè)，每天可以多銷售40個(gè)。此外，兒童玩具店的老板要想每天付給房東24元房租。

（1）請(qǐng)問(wèn)：如果兒童玩具店的老板要想每天盈利200元，應(yīng)將每個(gè)玩具小汽車的售價(jià)降低多少元？

（2）如果該兒童玩具店的老板要想盈利最大，應(yīng)將每個(gè)玩具小汽車的售價(jià)降低多少元？

一、闡述命題意圖

以一元二次方程來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題在歷年中考中出現(xiàn)頻率最高的類型，也是每年必考題。中考大綱山野多次強(qiáng)調(diào)“學(xué)生能夠利用所學(xué)一元二次方程知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題”。一般是以2問(wèn)式出現(xiàn)的頻率比較高，考查學(xué)生對(duì)一元二次方程的求解、圖像、對(duì)稱軸、最大值、最小值等幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考查，重點(diǎn)考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。第一題考查的是一元二次方程的求解，一般比較簡(jiǎn)單。這道題主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和分析問(wèn)題的能力。第二道題則是考查一元二次方程的對(duì)稱軸、最大值、最小值的知識(shí)點(diǎn)，也就是考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

二、說(shuō)明考點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的考綱要求

按照初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的一元二次方程及其解法、可化為一元二次方程的方程解法為學(xué)習(xí)目標(biāo)的九年級(jí)數(shù)學(xué)的“一元二次方程”和“二次函數(shù)”模塊，組成中考必考內(nèi)容。必考內(nèi)容對(duì)學(xué)生有難易不同的考查。

一元二次方程、二次函數(shù)作為中考必考內(nèi)容要求學(xué)生：

（1）能夠根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。

（2）會(huì)解簡(jiǎn)單的二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超過(guò)兩個(gè)）。

（3）理解配方法，會(huì)用因式分解法、公式法、配方法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。

（4）能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解的合理性。

（5）會(huì)從具體問(wèn)題中尋找數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。

（6）能結(jié)合圖象對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析。

三、試題講解過(guò)程

根據(jù)題型特點(diǎn)和新課程的教學(xué)理念，我設(shè)計(jì)了如下教學(xué)流程：

學(xué)生現(xiàn)狀：有足夠的相關(guān)知識(shí)儲(chǔ)備。

首先，我和學(xué)生一起閱讀該題目，一起審題，了解該題中所包含的數(shù)量關(guān)系，了解現(xiàn)實(shí)的生活的贏利是如何計(jì)算，從最簡(jiǎn)單的一天的贏利算起，看看自己作為店老板一天可以賺多少錢。列出相關(guān)的數(shù)量關(guān)系“每天的贏利=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量-固定成本（房租）”列出方程求解即可。

如果我們?cè)O(shè)應(yīng)將每個(gè)玩具小汽車的售價(jià)降低x元，根據(jù)題意：

再者，列出方程，學(xué)生小組討論，看如何解決一元二次方程，如何化簡(jiǎn)方程，如何解一元二次方程。最后學(xué)生在黑板上展示解題過(guò)程

-400x2+200x-24=0 化簡(jiǎn)可得50x2-25x+3=0

解得x=0.2或者0.3

因?yàn)槭菫榱舜黉N，所以應(yīng)該降價(jià)0.3元

但是由于此題是函數(shù)問(wèn)題，因而我引導(dǎo)學(xué)生設(shè)置變量，設(shè)兒童玩具店的老板盈利為y

學(xué)生小組討論，如何討論該二次函數(shù)什么時(shí)候取得最大值，畫出圖象，討論。

解得x=0.25時(shí)，y取得最大值。

四、試題的拓展延伸及變式分析

1.知識(shí)拓展

（1）一元二次方程的求解計(jì)算：如公式法、十字相乘、配方法等多種方法的求解方法，并把自己求解的新的交流展示。

（2）二次函數(shù)的談?wù)摚阂龑?dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用對(duì)稱軸，頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)的圖像的討論，并且把這些知識(shí)點(diǎn)一起總結(jié)起來(lái)。

2.能力拓展

（1）二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)強(qiáng)化：在班級(jí)里，每個(gè)學(xué)生重點(diǎn)負(fù)責(zé)總結(jié)二次函數(shù)在中考題中出題類型，每次做完相關(guān)實(shí)際問(wèn)題后，由負(fù)責(zé)學(xué)生找出解題方法，歸類整理。

（2）自主命題：由學(xué)有余力的學(xué)生帶動(dòng)其小組成員，在本篇試題中按照中考考查的主要知識(shí)點(diǎn)，自主合成一份標(biāo)準(zhǔn)試題，分別側(cè)重一元二次方程和二次函數(shù)結(jié)合問(wèn)題解答綜合問(wèn)題。

五、試題的價(jià)值、反思及感悟等

一元二次方程、二次函數(shù)是中考試卷的必考知識(shí)點(diǎn)，因此，我們需要加強(qiáng)平時(shí)對(duì)學(xué)生計(jì)算方面的訓(xùn)練，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生熟記常見(jiàn)的一元二次方程的解法，求根公式，配方法、十字相乘等，進(jìn)而拓展學(xué)生一元二次方程求解的有效途徑。

授之以魚(yú)，不如授之以漁。本節(jié)課的學(xué)習(xí)，師生互動(dòng)，共同探究，教學(xué)相長(zhǎng)，其樂(lè)融融，這才是教育真正的意義。這才是我們這些教育工作者真正的幸福。

·編輯 謝尾合