嚴(yán)李健，龐珊珊，牟金平，林炯毅

（臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

一類特殊球面螺旋線弧長的求解＊

嚴(yán)李健，龐珊珊，牟金平＊，林炯毅

（臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

根據(jù)微分幾何基本理論，定義出一類特殊的球面螺旋線，針對該球面螺旋線弧長不可積的問題進(jìn)行探討與研究，證明了這類對于給定參數(shù)的球面螺旋線弧長存在上下界. 通過引入第二類橢圓積分基本理論并結(jié)合微機(jī)計(jì)算的方法，提供了一種近似求解球面螺旋線弧長的公式.

球面螺旋線；第二類橢圓積分；Matlab求解

球面螺旋線是空間中一種形態(tài)優(yōu)美的曲線，其幾何性質(zhì)在機(jī)械工程［1］、電子科學(xué)與技術(shù)［2］、化學(xué)工程與技術(shù)［3］和工藝品生產(chǎn)加工［4］等方面都有著廣泛的應(yīng)用.目前，人們對一般螺旋線的研究已相當(dāng)?shù)某墒?然而，球作為最美的幾何體之一，針對球面螺旋線的研究卻是少之又少，尤其球面螺旋線上的曲線段是不能用弧長公式來直接求解的，這給球面螺旋線的深入研究帶來很大的不便.為此，本文根據(jù)微分幾何基本理論，定義了一類特殊的球面螺旋線，并對其弧長的求解方法進(jìn)行研究，得出了一般性的結(jié)論.

1 符號與概念的介紹

設(shè)球面的參數(shù)方程為［5］

其中R是球面半徑.

為了便于討論，本文定義一類特殊形式的球面螺旋線.設(shè)θ=2mφ，其中m為球面螺旋線的旋轉(zhuǎn)圈數(shù)，可得關(guān)于參數(shù)φ的球面螺旋線方程為

事實(shí)上，球面螺旋線的弧長是不易求解的.因此，對該類特殊球面螺旋線弧長求解的研究就顯得十分重要了.為此，利用第二類橢圓積分的基本理論，本文將通過對球面螺旋線的弧長用分段擬合的方式進(jìn)行求解.

2 第二類橢圓積分基本理論

歷史上，橢圓積分來自于求橢圓的弧長［6］. 第二類橢圓積分的標(biāo)準(zhǔn)形式為

其中k為橢圓的離心率，0

通常，稱（2.1）式為第二類不完全橢圓積分，其原函數(shù)無法用初等函數(shù)的形式表達(dá)，但可以展開為無窮級數(shù).將（2.1）式的被積函數(shù)按二項(xiàng)式定理展開，并逐項(xiàng)積分可得：

3 基于第二類橢圓積分的球面螺旋線弧長的求解

進(jìn)行初等變換［8］，令（3.1）式中的，得

當(dāng)θ=m時(shí)，有

文獻(xiàn)［9］給出了橢圓周長的公式為

其中a為橢圓的長半軸，e為橢圓的離心率.通過比較（3.3）式與（3.4）式，我們可以得到以下命題:命題1 球面螺旋線弧長的問題可以轉(zhuǎn)換為求橢圓的弧長問題.

由（2.2）式和（3.3）式，得

經(jīng)過上面的推導(dǎo)，可以將球面螺旋線的曲線長表示為冪級數(shù)的形式.這是一個(gè)準(zhǔn)確的球面螺旋線的弧長公式，但實(shí)際計(jì)算時(shí)不易求解.因此，求球面螺旋線的弧長可以通過微機(jī)進(jìn)行求解.

4 球面螺旋線弧長的近似計(jì)算公式

通過以上斂散性的判別，容易得出球面螺旋線的弧長s（π）存在且唯一.為了界定s（π）的值，我們首先給出如下結(jié)論.

定理1 對于（1.1）式類型的球面螺旋線，只要給定參數(shù)m和R，就有

證明：

令（4.2）式中的t=2m，化簡得

得證.

命題2 球面螺旋線弧長的表達(dá)式為

其中α、β為待定的參數(shù).

要確定參數(shù)α、β的值，根據(jù)最小二乘原理，使誤差的平方和達(dá)到最小，定義每一項(xiàng)估計(jì)值的誤差為δm=Sm-sm（m=1，2，……，p，p∈N+），即

其中Sm表示（3.5）式中，螺旋圈數(shù)為m時(shí)，s（π）的值；sm表示（4.3）式中，螺旋圈數(shù)為m時(shí)，S的值.

運(yùn)用MATLAB編程可得，到當(dāng)p取不同正整數(shù)時(shí)，各參數(shù)所對應(yīng)的值如表1所示.

表格1 不同螺旋圈數(shù)下各參數(shù)的值

從表格中我們可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)螺旋圈數(shù)較低時(shí)，即當(dāng)P≤10時(shí)，可以用公式來近似計(jì)算.

圖1 球面半徑R=1時(shí)，球面螺旋曲線長與旋轉(zhuǎn)圈數(shù)之間的關(guān)系

當(dāng)螺旋的圈數(shù)較高時(shí)，即p＞10時(shí)，橢圓的離心率趨向于1，且變化很小，為此得到一個(gè)較高螺旋下弧長的近似計(jì)算公式.

分析可得，

綜合比較（4.4）式與（4.5）式，得球面螺旋線（1.1）式的近似求解公式為

5 結(jié)束語

本文根據(jù)微分幾何的基本理論，對一類特殊的球面螺旋線弧長問題進(jìn)行了研究，證明了對于給定參數(shù)的球面螺旋線的弧長存在上下界，并給出了其近似求解的公式.

作為一種形態(tài)規(guī)則、變化均勻的曲線，球面螺旋線還有許多其他的問題值得探討，如對其它球面螺旋線的弧長進(jìn)行求解時(shí)，可以通過分段擬合的方式進(jìn)行精確計(jì)算，以此得到進(jìn)一步的結(jié)果，而這將是下一步的研究內(nèi)容.

［1］武斌功.球面螺旋天線的CAD/CAM一體化技術(shù)［J］.中國機(jī)械工程，2003，14（18）:1548-1550.

［2］夏冬玉，張厚，耿方志，等.寬帶圓極化球面螺旋天線研究［J］.空軍工程大學(xué)學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版，2007（2）:60-62.

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［6］王竹溪，郭敦仁.特殊函數(shù)概論［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2000：520-559.

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［8］過家春，張慶國，章林忠，等．基于第二類橢圓積分的橢圓弧長公式變換與應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2011，41（24）:210-216．

［9］花向東.橢圓周長的近似計(jì)算［J］.林區(qū)教學(xué)，2005（2）:51-51.

Solution of one Special Spherical Helix Arc Length

YAN Lijian，PANG Shanshan，MOU Jinping*，LIN Jiongyi

（School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,Zhejiang,China）

App lying the relevant theory of differential geometry,defining a special spherical helix,the problem of not integrable of spherical spiral arc length is discussed. It is proved that there exist the upper and low er bounds of a given spherical spiral arc length. By introducing theory of the second kind elliptic integral and combining w ith the computer calculation method,it provides a solution way for a spherical helix arc length.

Spherical Helix;Elliptic integral of second kind;Com puter calculation

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2016.06.001

（責(zé)任編輯：耿繼祥）

2016-09-18；

2016-11-16

臺州學(xué)院校立學(xué)生科研項(xiàng)目（16xs13）；浙江省大學(xué)生于科技創(chuàng)新項(xiàng)目（2015R43006）。

簡介：牟金平（1974- ），男，浙江黃巖人，講師，博士，主要從事復(fù)雜系統(tǒng)的建模與分析研究。