安徽省合肥市第四十八中學

史承灼 魏大付 (郵編：230061)

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復習考試

舊題賦新意 老樹開新花

安徽省合肥市第四十八中學

史承灼 魏大付 (郵編：230061)

2016年安徽中考數(shù)學壓軸的第23題似曾相識，又推陳出新, 立意新穎，引起廣泛關(guān)注.下面試對該題進行探源、探析.

1 原題呈現(xiàn)

圖1

圖2

圖3

如圖1，A、B分別在射線OM、ON上，且∠MON為鈍角.現(xiàn)以線段OA、OB為斜邊向∠MON的外側(cè)作等腰直角三角形，分別是△OAP、△OBQ，點C、D、E分別是OA、OB、AB的中點.

(1)求證：△PCE≌△EDQ；

(2)延長PC、QD交于點R.

①如圖2，若∠MON=150°，求證：△ABR為等邊三角形；

2 試題探源

此題源于兩道姊妹題.

圖4

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

圖5

(2016年安徽“合肥十校”聯(lián)考數(shù)學模擬(一)第23題)如圖5，在鈍角△ABC中，點D是BC的中點，分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形ABE和ACF，M、N分別為AB、AC的中點，連接DM、DN、DE、DF、EM、EF、FN．求證：

(1)△EMD≌△DNF；

(2)△EMD∽△EAF；

(3)DE⊥DF．

這兩題都是以鈍角三角形的邊為斜邊向形外側(cè)作等腰直角三角形，考查等腰直角三角形的性質(zhì)(兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內(nèi)切圓的直徑)和應用、三角形中位線定理的應用、全等三角形的判定和性質(zhì)的應用，平行四邊形的判定和性質(zhì)，以及相似三角形的判定和性質(zhì)的應用等.

3 試題剖析

2016年安徽中考第23題，在鈍角的邊上截取兩條線段(依然鈍角三角形)，以兩條線段為斜邊向角的外部作等腰直角三角形，將兩個等腰直角三角形斜邊上的中線延長，建構(gòu)新圖形，由相似三角形出發(fā)探究角的度數(shù)和線段的比值，給問題的求解增添了難度，煥發(fā)“舊題賦新意，老樹開新花”的效果.

第(1)問，根據(jù)點C、D、E分別是OA、OB、AB的中點，可得DE、CE是△AOB的中位線.根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到DEOC,CEOD,推出四邊形ODEC為平行四邊形，于是得到∠OCE=∠ODE.由△OAP與△OBQ都是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的定義易得，由全等三角形的判定方法即可證明△PCE≌△EDQ.

顯然，有效的解題不能單純地依靠模仿和記憶，而是應該通過觀察、猜想、驗證推理等數(shù)學活動，形成自己對數(shù)學知識的理解和掌握.使知識內(nèi)化，方法獲得遷移，能力得以提升，因此，教學中錘煉解題思想方法，積累解題經(jīng)驗尤為重要.

圖6

第(2)問①如圖6，連接RO，根據(jù)PR與QR分別為線段OA與OB的垂直平分線，得到AR=OR=BR,由等腰三角形的性質(zhì)得到∠ARC=∠ORC,∠ORD=∠BRD.在四邊形OCRD中，由∠OCR=∠ODR=90°,∠MON=150°，可得∠CRD=30°，進而得∠ARB=60°.由“有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形”得△ABR為等邊三角形.

通過分析，不難發(fā)現(xiàn)該題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)、全等三角形的判定、“三線合一”性質(zhì)、線段垂直平分線的判定及性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和及等邊三角形的判定(有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形)、相似三角形的判定及性質(zhì)等.圖中線多干擾視角，影響思考.全等條件(特別是角)隱藏圖中，需認真觀察、仔細分析、多方探尋.無線段長度，求線段比值等令人心發(fā)慌.可熟悉的題型與圖形又給人“似曾相識燕歸來”之感.此情此景又會讓人“有法可想、有口可入、有路可走”乃至“有利可圖”，只要有所思、有所想、有所悟，各種思維、思想、方法和靈感便會引爆，進而解決問題.

4 試題引發(fā)的思考

鑒于上述剖析，可以看出面對這種難題，靠考場上的靈機一動，計上心來，或靠總復習時的突擊就想解決，顯然不太靠譜.立足數(shù)學核心概念，關(guān)注基礎(chǔ)知識和基本技能；強調(diào)數(shù)學思維，關(guān)注數(shù)學學習過程；基于試題研究，積累解題經(jīng)驗是解決這些難題比較好的策略.

4.1 立足數(shù)學核心概念，關(guān)注基礎(chǔ)知識和基本技能

數(shù)學核心概念是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)中的“聯(lián)結(jié)點”，也是“生成”其他數(shù)學知識的基礎(chǔ).立足數(shù)學核心概念，把握數(shù)學問題本質(zhì)，是理解數(shù)學知識，解決數(shù)學問題的關(guān)鍵.針對“圖形與幾何”學習內(nèi)容,考查學生基礎(chǔ)知識和基本技能的達成情況，主要是借助基本圖形：三角形、四邊形和圓，考查學生對重要幾何基本事實的理解和運用，考查圖形的性質(zhì)及圖形變化，考查學生在具體情境中合理應用圖形的性質(zhì)及判定解決問題的能力.因此,首先，強調(diào)基礎(chǔ)知識落實.以教材為載體，以幾何概念的內(nèi)涵和外延為重點，理解概念所蘊含的數(shù)學思想方法，避免死記硬背概念，避免片面追求“偏題、難題、怪題”.關(guān)注教材中的例題、習題的落實，力求大多數(shù)能堅持正常數(shù)學學習的學生達到基本要求.其次，幫助學生構(gòu)建“核心概念”之間結(jié)構(gòu)體系，形成知識網(wǎng)絡(luò)，通過變式訓練，提煉基本圖形等促使學生掌握應用圖形性質(zhì)及判定解題的基本技能，提升解決數(shù)學問題的水平.

4.2 強調(diào)數(shù)學思維，關(guān)注數(shù)學學習過程

有的同學做題又快又準，有的同學總能用最簡單的方式來解題，有的同學總出現(xiàn)這樣那樣的問題，比如，時間不夠用、考場上卡殼以及會做的題得不了滿分……. 顯然“思維”決定著考試的節(jié)奏和成績. 何為思維呢？思維就是指人腦利用已有的知識對記憶的信息進行分析、計算、比較、判斷、推理、決策的動態(tài)活動過程.它是獲取知識及運用知識求解問題的根本途徑.數(shù)學思維就是數(shù)學基礎(chǔ)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵于數(shù)學知識之中，是數(shù)學知識的精髓.

由此我們得到：在復雜問題的解決時，要善于在眾多條件和信息中有方向性的選擇有用信息，形成新的判斷和認識.不時地提出問題，甚至是假設(shè)或猜想，明確問題所在，由問題引導思考，進而解決問題，讓學生經(jīng)歷“觀察、實驗、比較、歸納、猜想、推理、反思”等理性思維活動過程，優(yōu)化思維品質(zhì)，這對提升解題能力是十分有價值的.

4.3 基于試題研究，積累解題經(jīng)驗

中考試題通常是以教材例習題或其他省的中考題為“背景”，經(jīng)過命題專家的巧妙構(gòu)思編擬而成的，它們源于教材，又高于教材；源于原有考題，又高于原有考題.這就啟發(fā)我們在教學中，要充分發(fā)揮教師的教學智慧，遴選教材中內(nèi)涵豐富的典型例習題或其他省的典型中考試題，由淺入深，由此及彼，引導學生努力探索問題的衍生點，從題設(shè)、結(jié)論圖形結(jié)構(gòu)等方面多角度探究與聯(lián)想，變式與拓展，挖掘內(nèi)在的教學價值，發(fā)揮其輻射功能，創(chuàng)造性地使用教材，巧妙的引入中考題，開發(fā)豐富有效的課程資源，引導學生進行探究性學習，讓學生感受知識的生成和發(fā)展的過程，在例習題及中考題的探究中洞察問題本質(zhì)，在理解的基礎(chǔ)上尋找知識的“生長點”，思考、歸納，從復雜圖形中剝離出基本數(shù)學模型(基本圖形)，激活數(shù)學思維，通過解題與聯(lián)想把蘊含其中的數(shù)學思想方法揭示出來，挖掘出隱含問題的本質(zhì)屬性.有效促進解題過程的思維定勢正向遷移，化生為熟、化非常規(guī)題為標準題，為探索和發(fā)現(xiàn)基本模型積累數(shù)學活動經(jīng)驗.

著名數(shù)學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題如同蘑菇，它們都能成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.”平時，要善于尋找波利亞所說的“蘑菇群”，積累解題經(jīng)驗，努力實現(xiàn)“做一題”、“會一類”、“通一片”.

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2016-08-26)