廣東省興寧市第一中學

藍云波 何標宏 (郵編：514500)

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解題方法

消參思想在導數綜合解答題中的應用探索

廣東省興寧市第一中學

藍云波 何標宏 (郵編：514500)

在各類考試中，含參數的導數解答題通常都作為壓軸題的形式出現.這類考題由于含有參數，難度往往較大.因此，如何處理參數是解題的關鍵.筆者發(fā)現，對于含有參數問題的處理，大都是運用分類討論的思想或分離參數的思想解答的.事實上，對于含有參數的問題，若能走出定勢思維，把注意力轉移到如何消去參數上，往往會有意想不到的效果和收獲.通過一定的策略，把參數消去，化為不含參數的函數問題，問題往往便迎刃而解.下面筆者結合個人的教學實踐，并以近年的高考題和?？碱}為例，談談消參思想在導數綜合解答題中的應用.

1 利用放縮法

例1(2013年高考全國卷2理科)已知函數f(x)=ex-ln(x+m).

(1)設x=0是f(x)的極值點，求m,并討論f(x)的單調性；

(2)當m≤2時，證明f(x)>0.

解析 (1)略；

綜上所述，當m≤2時，證明f(x)>0.

例2 (2016年廣東省廣州市一模理科)已知函數f(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+1)+2． (1)若曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為1,求實數m的值；

(2)當m≥1時，證明：f(x)>g(x)-x3.

解析 (1)略；

綜上所述，當m≥1時，證明：f(x)>g(x)-x3.

點評 以上兩題的函數中均含有參數m,若不消去參數，問題極為復雜.通過細致的觀察，發(fā)現可利用放縮法，可把參數m消去，然后轉化為不含參的具體函數.真可謂是“山窮水復疑無路，柳暗花明又一村”！最后通過導函數的單調性，結合零點存在定理，并利用虛擬設根，整體代換的思想實現問題的解決.

2 利用必要條件

例3 (2012年高考全國卷理科)設函數f(x)=ex-ax-2.

(1)求f(x)的單調區(qū)間；

(2)若a=1,k為整數，且當x>0時，(x-k)f′(x)+x+1>0,求k的最大值.

解析 (1)略；

(2)當a=1時，(x-k)f′(x)+x+1=(x-k)(ex-1)+x+1.

綜上知整數k的最大值為2.

例4 (2015年北京市東城區(qū)示范校上學期綜合能力測試)已知定義在(1,+)上的函數f(x)=x-lnx-2,g(x)=xlnx+x.

(1)求證：f(x)存在唯一的零點，且零點屬于(3,4)；

(2)若k∈Z,且g(x)1恒成立，求k的最大值.

解析 (1)略；

(2)因為g(x)=xlnx+x,所以不等式g(x)k(x-1).要使g(x)1恒成立，則必須保證2ln2+2>k(2-1),所以k<2+2ln2<2+2lne=4.下面證明k=3時，不等式xlnx+x>3(x-1)成立.

設h(x)=xlnx+x-3(x-1)=xlnx-2x+3,x∈(1,+).

所以h′(x)=lnx-1,令h′(x)=0，得x=e.當x∈(1,e)時，h′(x)<0,當x∈(e,+)時，h′(x)>0,即h(x)在(1,e)上單調遞減，在(e,+)上單調遞增，所以當x=e時，函數h(x)有最小值，所以h(x)≥h(e)=elne-2e+3=3-e>0.所以xlnx+x>3(x-1)成立，

綜上所述，整數k的最大值為3.

點評 例3和例4是經典的導數零點不可求問題，常規(guī)解法是用分類討論思想與分離參數的思想解答的，但顯得較為復雜.而本文給出的解法則通過必要條件縮小參數的范圍，然后通過合理的估值，確定出參數的最大值，再做充分性證明.這樣就達到了消去參數，化為不含參數的函數問題.通過這樣的技術處理之后，例3就化為簡單的問題，而例4則稍為復雜一些，但在通過運用常見的二次求導的思想方法后，最終實現了問題的圓滿解決.

3 以極值點為主元，整體代換

例5 (2015年高考全國卷1文科)設函數f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導函數f′(x)的零點個數；

因為g′(x)=2e2x+4xe2x>0,所以g(x)在(0,+)上單調遞增，其值域為(-a,+).

當a≤0時，g(x)>0,所以f′(x)的零點個數為0；

當a>0時，g(x)的值域包含0,且g(x)單調遞增，所以g(x)有唯一零點，所以f′(x)的零點個數為1.

(1)當a=1時，討論f(x)的單調性；

(2)當a>0時，設f(x)在x=x0處取得最小值，求證：f(x0)≤1.

解析 (1)略；

設g(x)=(-x2-x+1)ex(x>-1),則g′(x)=-x(x+3)ex.

令g′(x)>0,得-10.故g(x)在(-1,0)單調遞增，(0,+)單調遞減，g(x)≤g(0)=1,故f(x0)=g(x0)≤1.

點評 例5和例6通過虛擬設根，整體代換的思想，把參數消去.然后以極值點為主元，通過不等式的化簡得到證明，或建立新的函數，求解函數的最值，最終實現問題的解決.整個過程行云流水，令人賞心悅目，不失為一種好的解法.

4 利用對數平均不等式

例7 (2015屆江西省南昌市高三年級調研測試)已知f(x)=x-aex(a∈R,e為自然對數的底).

(1)討論函數f(x)的單調性；

(2)若f(x)≤e2x對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍；

(3)若函數f(x)有兩個不同的零點x1、x2,求證：x1+x2>2.

解析 (1)、(2)略；

由對數平均不等式知，上式成立，所以x1+x2>2得證.

例8 (2016年高考全國卷1理科)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；

(2)設x1、x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

解析 (1)略；

(2)由(1)知a>0,不妨設x1<1

兩式相減得ln(2-x1)-ln(2-x2)+x1-x2=2ln(1-x1)-2ln(x2-1).

假設x1+x2≥2,則1-x1≤x2-1,所以ln(1-x1)≤ln(x2-1),

綜上知x1+x2<2得證.

點評 例7和例8是極為重要的極值點偏移問題，這類問題與對數平均不等式問題越來越受到命題者的關注.通過探究發(fā)現，極值點偏移問題與對數平均不等式有深刻的內在聯系.例7和例8官方給出的解答是利用極值點偏移的處理方法解答的，本文則從對數平均不等式這一視角實現問題的解決.這說明，數學思想的內在聯系無處不在，讓人嘆為觀止.

通過以上的探索，我們得到了四種常見的消去參數解答導數綜合解答題的策略.這說明，走出思維的束縛，并合理使用數學思想，能實現方法的創(chuàng)新，而且這些方法如本文給出的這些創(chuàng)新解法往往也是一種通法，具有一定研究價值.更為重要的是，通過這樣的探索，能開闊學生的視野，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新性思維.教師在教學過程中，若能多做一些探究和反思，并合理選取學生較能接受的方法進行傳授.可以達到提高數學教學的有效性的同時，也提高教師的教研水平和教學水平.

1 藍云波.利用必要條件解題舉隅.中學數學研究(廣東)，2016(2)：4-6

2 藍云波.奇思妙想速解幾類典型的導數壓軸題.中小學數學，2016(4)：47-49

3 藍云波，何洪標.活躍在各類考試中的對數平均不等式.數學教學，2016(5)：22-25

4 邢友寶.極值點偏移問題的處理策略.中學數學教學參考(上旬)，2014(7)：19-22

2016-09-07)