浙江省平湖中學(xué)

李學(xué)軍 (郵編：314200)

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視角有異 素養(yǎng)有別
——由兩年平面向量高考題引發(fā)的思考

浙江省平湖中學(xué)

李學(xué)軍 (郵編：314200)

作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)該要研究解題，要研究學(xué)生的解題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維來(lái)思考和解決問(wèn)題，去體會(huì)、去體驗(yàn)在解題過(guò)程中的糾結(jié)和成功之后的快樂，實(shí)現(xiàn)真正意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，結(jié)合浙江省2013年和2016年的兩道平面向量試題進(jìn)行對(duì)比、分析，歸納提煉出兩道高考試題的共性，體會(huì)數(shù)學(xué)本真解題的歷程，在這個(gè)過(guò)程中歷練、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

高考題；對(duì)比；視角；素養(yǎng)

1 問(wèn)題的提出

學(xué)生在做數(shù)學(xué)題的過(guò)程中，大多數(shù)是尋找曾經(jīng)做過(guò)的題目的味道，對(duì)于呈現(xiàn)他們面前的數(shù)學(xué)試題，不能很好思考試題的根本考點(diǎn)，考查的基本數(shù)學(xué)方法，當(dāng)在遇到陌生的數(shù)學(xué)試題時(shí)，有時(shí)候就有一種無(wú)助的感覺.當(dāng)遇到暫時(shí)無(wú)法入手試題的時(shí)候，我們是否真正的想到了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，真正想起了用數(shù)學(xué)思維去思考需要解決的問(wèn)題.章建躍也曾說(shuō)過(guò)：“要讓學(xué)生養(yǎng)成‘回到概念去’思考和解決問(wèn)題的習(xí)慣”.作為一線教師，筆者認(rèn)為在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，更應(yīng)該關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本真，用數(shù)學(xué)思維去思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，用多方位的視角去看待數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠提升多角度思考問(wèn)題和多方位解決問(wèn)題的能力，下面以浙江省 2013高考試題和浙江省2016年高考試題為例進(jìn)行對(duì)比解題，把對(duì)這兩道試題的思考?xì)v程呈現(xiàn)如下.

2 試題呈現(xiàn)

2.1 從坐標(biāo)的視角出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.浙江省的這兩個(gè)平面向量問(wèn)題，要解決的都是最值問(wèn)題，解決最值問(wèn)題常規(guī)的辦法通過(guò)構(gòu)造函數(shù)或者構(gòu)造不等式進(jìn)行解決，而題目當(dāng)中沒有展示出這樣的等式，因此，需要我們想辦法，找出等式，然后進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.

解析 (2016年浙江卷理科第15題)

設(shè)a=(1,0),b=(2cosβ,2sinβ),e=(cosα,sinα)，

把α看成是主元，β看成是字母參數(shù)，所以

解析 (2013年浙江卷理科第17題)

視角反思 利用坐標(biāo)法來(lái)解決平面向量問(wèn)題，實(shí)際上就是把抽象的向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，這種解法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，“痛處”在于如何恰當(dāng)?shù)亟⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系，整理出關(guān)系式，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，引進(jìn)兩個(gè)變?cè)呀?jīng)讓一部分學(xué)生感覺心生怯意了.接下來(lái)的數(shù)據(jù)處理存在一定轉(zhuǎn)化和化歸的技巧，2016年的考題是求最大值，通過(guò)分析兩個(gè)向量的夾角應(yīng)該是銳角，因此對(duì)夾角的限制減少了很多麻煩.要研究的最大值問(wèn)題，因此把哪一個(gè)角看成主元是一種思維上的提升.2013年的考題也具有同樣的特征，二元變量到一元變量的轉(zhuǎn)化也使一部分學(xué)生的無(wú)法掌握并且熟練運(yùn)用，第三層操作的障礙就是函數(shù)最值的處理，總體說(shuō)來(lái)，這種解法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)困難重重，算對(duì)更不易.在這種數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，能有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問(wèn)題，能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展，養(yǎng)成程序化思考問(wèn)題的習(xí)慣，形成一絲不茍，嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.

2.2 從代數(shù)的視角出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的能力

邏輯推理是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)邏輯規(guī)則推出一個(gè)命題的思維過(guò)程.邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論，建構(gòu)數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的重要保證，是人們?cè)跀?shù)學(xué)活動(dòng)中進(jìn)行交流的基本思維品質(zhì).兩個(gè)平面向量問(wèn)題給出的是一種代數(shù)形式，利用代數(shù)變形處理向量問(wèn)題也是解決平面向量問(wèn)題的一種重要手段.在這個(gè)問(wèn)題中，我們要從平面向量的兩個(gè)基本要素著手，即平面向量的模和夾角來(lái)表示.因此，我們從這兩個(gè)向量要素的視角入手，進(jìn)行思考，把平面向量的相關(guān)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本要素的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的完美解決.

解析 (2016年浙江卷理科第15題)

把α看成是主元，β看成是字母參數(shù)，

解析 (2013年浙江卷理科第17題)

視角反思 兩年的考題都是考查長(zhǎng)度之間的關(guān)系，在平面向量中，真正反饋出長(zhǎng)度的關(guān)系式，再?gòu)年P(guān)系式入手，對(duì)于給出同樣的代數(shù)式，觀察的角度不同，就一定會(huì)產(chǎn)生不一樣的想法.對(duì)于2016年的考題得出的是關(guān)于兩個(gè)變?cè)牟坏仁?，?duì)于2013年的考題得出的是關(guān)于兩個(gè)變?cè)牡仁剑@兩年考題的核心實(shí)際上是函數(shù)，對(duì)于處理雙變?cè)暮瘮?shù)問(wèn)題的化歸就是想辦法進(jìn)行減元，這個(gè)轉(zhuǎn)化是非常關(guān)鍵的，接下來(lái)的解法同上.在邏輯推理核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，能夠掌握推理的形式，表述論證的過(guò)程，能理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，建構(gòu)知識(shí)框架，形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)交流能力.學(xué)生通過(guò)代數(shù)視角的思考，透過(guò)問(wèn)題的主旨、背景，向相似的、相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行輻射，逐步引導(dǎo)學(xué)生去悟，直到學(xué)生自發(fā)地悟，形成自己的解決問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題方法.

2.3 從幾何的視角出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的能力

直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)造抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ).平面向量是代數(shù)和幾何的紐帶和橋梁，因此，完全可以通過(guò)幾何意義，構(gòu)造出相應(yīng)的幾何圖形，通過(guò)圖形進(jìn)行數(shù)形結(jié)合最終實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題的效果.

解析 (2016年浙江卷理科第15題)

下同解法1

解析 (2013年浙江卷理科第17題)

視角反思 平面向量本身具有代數(shù)和幾何的雙層特征，因此在解決這兩年考題的過(guò)程中，試圖從形的角度進(jìn)行思考.對(duì)于那些幾何背景素養(yǎng)較高的學(xué)生來(lái)說(shuō)，結(jié)合平面向量的幾何背景入手，可以先從一些特殊的圖形入手，然后進(jìn)行歸納分析，從而提升出得到最值的狀態(tài).對(duì)于2016年的考題來(lái)說(shuō)，通過(guò)畫出一些圖形分析得到的是圓中的問(wèn)題，從而從圓的角度入手分析，從而使得比較抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)實(shí)在在的平面幾何問(wèn)題；對(duì)于2013年的考題，就是三角形中，已知一個(gè)內(nèi)角，另一個(gè)角在變化，研究這兩個(gè)角的對(duì)邊之比的最值問(wèn)題.但是對(duì)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，不要忽略數(shù)學(xué)當(dāng)中非常重要的數(shù)學(xué)思維，即歸納-猜想-論證.歸納至少要有三個(gè)數(shù)據(jù)，因此我們要想辦法找到這些數(shù)據(jù)，有這樣的思維方式，找的數(shù)據(jù)越多越容易歸納出結(jié)論，然后就比較容易進(jìn)行論證.這樣的處理問(wèn)題的方式在平時(shí)是缺少訓(xùn)練的，而這種方式卻能很好地避開繁瑣的計(jì)算.在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)，提升數(shù)形結(jié)合的能力，感悟事物的本質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，這也正是我們教師所希望看到的.

2.4 從構(gòu)造的視角出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程.數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的基本手段，是推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.這兩道平面向量問(wèn)題結(jié)合我們高中的數(shù)學(xué)知識(shí)，長(zhǎng)度之間的關(guān)系融入其中，進(jìn)行建構(gòu)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，通過(guò)必要的轉(zhuǎn)化和化歸，從而實(shí)現(xiàn)解決問(wèn)題的捷徑.

解析 (2016年浙江卷理科第15題)

解析 (2013年浙江卷理科第17題)

視角反思 數(shù)學(xué)家克萊因說(shuō)過(guò)：“教師掌握的知識(shí)要比他所教的知識(shí)多得多，才能引導(dǎo)學(xué)生繞過(guò)懸崖、渡過(guò)險(xiǎn)灘.”對(duì)于浙江省兩年的數(shù)學(xué)考題中的平面向量考點(diǎn)的共性除了上述通性通法之外，也可以通過(guò)構(gòu)造法進(jìn)行解決.如2016年的考題，通過(guò)構(gòu)造三角不等式，三角不等式就是來(lái)源于幾何圖形，在這當(dāng)中之所以隱蔽，比較難考慮到這種方法.我認(rèn)為，主要還是陷入到平面向量的考點(diǎn)當(dāng)中，正所謂當(dāng)局者迷；還有一個(gè)原因，應(yīng)該是平時(shí)三角不等式的使用頻率不高，也就是不夠熟練或者說(shuō)是盲點(diǎn).對(duì)于2013年的考題，對(duì)于代數(shù)式的變形是比較困難的，原因就是只可以在分子和分母之間進(jìn)行恒等變形，如果可以構(gòu)造出等式或者不等式，變形的途徑就不僅僅在分子和分母的變形這么單一了.思路瞬間拓寬了很多，可以左右進(jìn)行恒等變形，分式到整式等都是信手拈來(lái).此法是通過(guò)引入?yún)?shù)t建立方程，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求參量t的最大值的問(wèn)題.難點(diǎn)是如何“減元”，如何把多變?cè)獑?wèn)題轉(zhuǎn)化為單變?cè)獑?wèn)題，從而利用一元二次方程有解的思想構(gòu)造不等式，利用判別式法求出參量t的取值范圍.在數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，積累用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).學(xué)生能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，能夠針對(duì)問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解模型，并嘗試基于現(xiàn)實(shí)背景驗(yàn)證和完善模型，能夠提升應(yīng)用能力，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)，這也真正體現(xiàn)了高考的選拔人才的目的.

通過(guò)上述解題視角的分析和理解，筆者嘗試了對(duì)2016年的考題進(jìn)行了如下的改編，提升對(duì)此類問(wèn)題的理解與感悟.

改編賞析：

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，解題的思路是如何形成的，解題的方法是如何構(gòu)想的，這些對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)都是至關(guān)重要的疑問(wèn)，應(yīng)該留給學(xué)生足夠的反思時(shí)間和“悟透“的空間.反思解題方法的探索發(fā)行過(guò)程，反思錯(cuò)誤的成因及對(duì)策，反思處理問(wèn)題的思維過(guò)程和數(shù)學(xué)思想方法，反思是否對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深入細(xì)致的分析轉(zhuǎn)化.學(xué)生通過(guò)回顧和總結(jié)解題思路的機(jī)會(huì)，一定能夠收到事半功倍的效果.

3 結(jié)束語(yǔ)

學(xué)生通過(guò)一段時(shí)間的有計(jì)劃的、有目的的、“多角度多視角”打磨之后，會(huì)對(duì)所探究過(guò)的題目產(chǎn)生一定的想法，會(huì)對(duì)相似的進(jìn)行串聯(lián).通過(guò)一定的時(shí)間訓(xùn)練，學(xué)生會(huì)對(duì)題目之間多一些“為什么”、“怎么樣”的觀念，給學(xué)生一個(gè)機(jī)會(huì)，學(xué)生會(huì)給教師一個(gè)“精彩”.偉大數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)過(guò)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”.數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)就是在不斷的提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)展的.波利亞也說(shuō)過(guò)：“掌握數(shù)學(xué)就意味著善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考、思路合理、見解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題”.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，領(lǐng)悟基本知識(shí)、基本方法的運(yùn)用，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生歸納解題方法、技巧、規(guī)律和思想方法，促進(jìn)知識(shí)向能力轉(zhuǎn)變，實(shí)現(xiàn)自我完善.爭(zhēng)取做一題通一法，會(huì)一類通一片的效果，讓“思考視角”在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮應(yīng)有的鍛煉.

美國(guó)著名作家海明威曾經(jīng)談到過(guò)“冰山理論”，他認(rèn)為人們看到的小說(shuō)只是冰露在海面上的八分之一，那海面下的八分之七得讓讀者自己去體會(huì)揣摩.我們的數(shù)學(xué)教學(xué)又何嘗不是這樣的呢？數(shù)學(xué)教育家波利亞也指出：“中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首要的任務(wù)就是要加強(qiáng)解題的訓(xùn)練.”在數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中，數(shù)學(xué)的思想方法是解題之魂.有什么樣的思想方法就會(huì)產(chǎn)生什么樣的解法，而在數(shù)學(xué)教育中不可回避的數(shù)學(xué)解題的視角，恰恰可以引領(lǐng)我們產(chǎn)生“神奇”的想法，通過(guò)教師的正確引領(lǐng)，學(xué)生的頑強(qiáng)訓(xùn)練，我們的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的舞臺(tái)上一定能夠充滿激情的、自信的奔跑！

1 盧明.穩(wěn)中求變 體現(xiàn)創(chuàng)新[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))2015(8)

2 吳冠男 沈新權(quán).微過(guò)程 深反思[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))2015(9)

3 李學(xué)軍.用本促真 貼地前行[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))2016(4)4 李學(xué)軍.觀千劍而后識(shí)器[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))2016(8)

2016-09-06)