韓茂安

(上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，上海200234)

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牛頓-萊布尼茲公式與泰勒公式的拓展與應(yīng)用

韓茂安

(上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，上海200234)

[摘要]探討牛頓—萊布尼茲公式和泰勒公式對(duì)含參數(shù)函數(shù)的拓展形式，并用來研究含參數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)和微分方程周期解的個(gè)數(shù)的判定問題.

[關(guān)鍵詞]牛頓—萊布尼茲公式； 泰勒公式； 周期解

1基本定理

眾所周知，牛頓-萊布尼茲公式是說，如果F∶[a,b]→R具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則成立

這一公式被譽(yù)為微積分學(xué)基本定理[1].如果設(shè)x=a+t(b-a)，則上式成為

(1.1)

現(xiàn)在我們對(duì)高階可微函數(shù)應(yīng)用(1.1).設(shè)U為x=0的一鄰域，一元函數(shù)F在U上有直到r階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，r≥1，記為F∈Cr(U).利用公式(1.1)，可將函數(shù)F寫為

F(x)=F(0)+xF0(x)，

(1.2)

其中

引理1.1設(shè)U為x=0的鄰域，F(xiàn)∈Cr(U)，r≥1，則(1.2)成立，其中

F0∈Cr-1(U),F0(0)=F′(0).

現(xiàn)設(shè)m為一自然數(shù)，m≥0，并設(shè)F∈Cm+1(U)，則由帶積分形式余項(xiàng)的泰勒公式可知

其中

(1.3)

于是，證明了下述引理.

引理1.2設(shè)U為x=0的鄰域，F(xiàn)∈Cm+1(U)，m≥0，則有

且

現(xiàn)在，把上述兩個(gè)引理的結(jié)論拓展到多元函數(shù).設(shè)有多元函數(shù)F(x,y)，x∈U，y∈D，U為x=0的鄰域,D?n，n≥1.如果F∈Cr(U×D)，則F對(duì)應(yīng)用引理1.1可得

F(x,y)=F(0,y)+xF0(x,y),

(1.4)

其中

與引理1.1類似，利用含參量積分的可微性知F0∈Cr-1(U×D).事實(shí)上，這里需要先建立含向量參數(shù)的積分之可微性定理，然后再多次利用這一定理得到這一結(jié)論.于是，證得下述定理.

定理1.1設(shè)F∈Cr(U×D)，其中U為x=0的鄰域，D?n，n≥1，則(1.4)成立，其中

同理，利用引理1.2以及含參量積分的連續(xù)性定理知成立下述定理.

定理1.2設(shè)F∈Cm+1(U×D)，U為x=0的鄰域，D?n，n≥1，m≥0，則有

且

2含參數(shù)函數(shù)根的個(gè)數(shù)

定理2.1設(shè)存在自然數(shù)m≥0,使F∈Cm+1(U×D),那么成立

(i) 如果

則存在ε0∈(0,ε),使當(dāng)|λ-λ0|<ε0時(shí)，F(xiàn)關(guān)于x在區(qū)間(-ε0,ε0)上至多有m+1個(gè)根.

(ii) 如果進(jìn)一步設(shè)

其中

則對(duì)任意δ∈(0,ε0),都存在λ滿足|λ-λ0|<ε0,使函數(shù)F(x,λ)關(guān)于x在區(qū)間(-δ,δ)內(nèi)出現(xiàn)m+1個(gè)根,且均為單根. 此外，這m+1個(gè)根可以全部是正根.

證在研究平面系統(tǒng)Hopf分支中極限環(huán)的個(gè)數(shù)問題時(shí)需要用到上述兩個(gè)結(jié)論(卻并沒有將它們專門寫成定理的形式),見[3,4]. 但以往都是對(duì)C∞函數(shù)來論述的(因?yàn)樗懻摰钠矫嫦到y(tǒng)都假定是C∞光滑的),上述結(jié)論則不要求C∞光滑,這一點(diǎn)與以往不同.而對(duì)C∞光滑的情況,結(jié)論(i)可用反證法和羅爾定理來證,對(duì)結(jié)論(ii),先用一次隱函數(shù)定理，然后有兩種證法，一是逐次改變系數(shù)的符號(hào)使函數(shù)值不斷變號(hào),每變號(hào)一次就出現(xiàn)一個(gè)根，二是引入合適的參變量尺度變換，而后利用多項(xiàng)式和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，一下子獲得m+1個(gè)根. 這里我們提供一種新的證法，即用數(shù)學(xué)歸納法來證明.

再證結(jié)論(ii).利用定理1.2可知成立

(2.1)

且

由隱函數(shù)定理知道，結(jié)論(ii)中的條件意味著式(2.1)中的系數(shù)aj可取為自由參數(shù). 因此，現(xiàn)設(shè)這m+1個(gè)系數(shù)均為自由參數(shù),并用歸納法來完成證明. 當(dāng)m=0時(shí)，式(2.1)成為

且

不妨設(shè)它為正.則存在x0>0,使當(dāng)a0=0時(shí)F(x0,λ)>0,當(dāng)|x|≤|x0|時(shí)

從而當(dāng)0<-a0?1時(shí)

F(x0,λ)>0,F(0,λ)=a0<0.

即F有一個(gè)正的單根.

設(shè)已證結(jié)論對(duì)m=k-1成立，現(xiàn)設(shè)m=k,此時(shí)由(2.1)知

作為一個(gè)簡單應(yīng)用，由上述定理可知，C3函數(shù)

F(x,λ)=λ1+λ2x+λ3cosx+sinx+x10/3,

對(duì)λ0=(0,-1,0)附近的某些λ=(λ1,λ2,λ3)恰有3個(gè)正根.

3一維周期系統(tǒng)周期解的分支

本節(jié)利用定理1.1與定理2.1討論一維周期系統(tǒng)周期解的個(gè)數(shù)和分支. 首先引入幾個(gè)基本概念(詳見[4]). 考慮一維微分系統(tǒng)

(3.1)

引理3.1設(shè)存在1≤k≤r使當(dāng)|x|充分小時(shí)T周期系統(tǒng)(3.1)中的f滿足

則

從而零解x=0為(3.1)的k重周期解.

證由于解x(t,x0)關(guān)于初值x0是Cr，故對(duì)充分小的|x0|,它可寫成

其中x1(0)=1，xj(0)=0，j≥1. 將上式代入(3.1)中，利用所設(shè)條件，易求得

由此即知結(jié)論成立.

下面給出方程(3.1)存在周期解族的條件.

引理 3.2如果T周期系統(tǒng)(3.1)中的f滿足

f(-t,x)=-f(t,x),

(3.2)

則其任一有界解都是周期解. 特別，如果(3.2)成立，且存在正數(shù)M>0使對(duì)一切(t,x)都有

|f(t,x)|≤M(1+|x|),

(3.3)

則(3.1)的一切解都是周期解.

x(T/2,x0)=x(-T/2,x0).

由解的唯一性又知x(t+T,x0)=x(t,x(T,x0)),因此又有

x(T/2,x0)=x(-T/2,x(T,x0)),

從而成立

x(-T/2,x0)=x(-T/2,x(T,x0)),

于是必有x0=x(T,x0)=P(x0) (因?yàn)閷?duì)任意t,x(t,x0)關(guān)于x0都是嚴(yán)格增加的,例見[4].)從而，這個(gè)解是周期的. 引理的后半部分利用常微分方程比較定理即得，因?yàn)槿我恢芷诰€性方程的解都是有界的.

現(xiàn)考慮系統(tǒng)(3.1)的T周期擾動(dòng)系統(tǒng)

(3.4)

其中f與f1關(guān)于t都是T周期的，都是Cr函數(shù)，且f1(t,x,0)=0. 系統(tǒng)(3.4)的Poincaré映射記為P(x0,λ),令

F(x0,λ)=P(x0,λ)-x0,

稱函數(shù)F為(3.3)的后繼函數(shù)或分支函數(shù). 顯然，分支函數(shù)關(guān)于x0的根與(3.4)的周期解是一一對(duì)應(yīng)的，此外，由微分方程解對(duì)初值與參數(shù)的光滑性定理知，映射P與函數(shù)F都是Cr的.可證

定理3.1設(shè)存在1≤k≤r使得x=0是(3.1)的k重周期解，則存在ε>0,使得對(duì)一切|λ|<ε方程(3.4)在區(qū)域|x|<ε至多有k個(gè)周期解.

證由假設(shè)知

由此，利用定理2.1的結(jié)論(i)即得證明.

在具體應(yīng)用中，可以利用定理2.1的結(jié)論(ii)證明，Ck系統(tǒng)的k重周期解在適當(dāng)?shù)腃k擾動(dòng)下能夠產(chǎn)生k個(gè)周期解，這里不再給出.

值得注意的是，定理3.1對(duì)系統(tǒng)的光滑性的要求已經(jīng)降到最低. 為說明這一點(diǎn)，取k=r=1,利用隱函數(shù)定理易見，C1系統(tǒng)的單重周期解在C1擾動(dòng)下只產(chǎn)生一個(gè)周期解.然而，如果擾動(dòng)不是C1的，這一結(jié)論就不成立了. 例如

在x=0的任意小鄰域內(nèi)都可以出現(xiàn)3個(gè)周期解.

下面考慮周期解族的擾動(dòng).考慮T周期擾動(dòng)系統(tǒng)

(3.5)

其中f與f1關(guān)于t都是T周期的，都是Cr函數(shù)，且f滿足(3.2)與(3.3).系統(tǒng)(3.5)的Poincaré映射記為P(x0,ε,λ),后繼函數(shù)為

F(x0,ε,λ)=P(x0,ε,λ)-x0.

由引理3.2知,F(x0,0,λ)=0,由微分方程解對(duì)初值與參數(shù)的光滑依賴性定理知函數(shù)F關(guān)于(x0,ε,λ)為Cr的，故由定理1.1知

定理3.2設(shè)Cr方程(3.5)滿足(3.2)與(3.3),r≥1,則

上述定理之結(jié)論好像是很顯然的，但如果不利用定理1.1就難以給出其成立的理由.對(duì)平面系統(tǒng)閉軌族的擾動(dòng)分支，可給出類似的結(jié)果，此地不再詳論.

我們來考慮一類較具體的方程，即

(3.6)

其中aj(t)為Ck+1類2π周期函數(shù)，j=0,1,…,k,f0(t,x)為關(guān)于t為2π周期的Ck+1類函數(shù). 記b=(b0,…,bk-1),設(shè)x(t,x0,ε,b)為(3.6)的以x0為初值的解，則易知

x(t,x0,ε,b)=1-cost+x0+εx1(t,x0,b)+O(ε2),

其中

經(jīng)整理，易知成立

其中

……

φk-1=bk-1ak-1(t)+kbkak(t)[1-cost],

φk=bkak(t).

現(xiàn)在假設(shè)

(3.7)

則有λk≠0，以及

則由上述討論，利用定理3.2和定理2.1可知在條件(3.7)下，存在向量b∈Rk使當(dāng)ε充分小時(shí)方程(3.6)恰有k個(gè)2π周期解.

[參考文獻(xiàn)]

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M]. 4版.北京： 高等教育出版社,2010.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M]. 4版.北京： 高等教育出版社,2010.

[3]Han M. Bifurcation Theory of Limit Cycles [M]. Beijing： Science Press,2013.

[4]趙愛民，李美麗，韓茂安. 微分方程基本理論[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

Extensions and Applications of

Newton-Leibniz’s figure and Taylor’s figure

HANMao-an

(The Institute of Mathematics, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)

Abstract:We provide some extensions of Newton-Leibniz’s figure and Taylor’s figure to smooth functions with multiple variables. Then we present some interesting applications of these extensions to bifurcations of periodic solutions of differential equations.

Key words:Newton-Leibniz’s figure; Taylor’s figure; periodic solution

[中圖分類號(hào)]O172

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-1454(2015)05-0006-06

[收稿日期]2015-06-19