韓茂安
(上海師范大學數(shù)學研究所,上海200234)
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牛頓-萊布尼茲公式與泰勒公式的拓展與應(yīng)用
韓茂安
(上海師范大學數(shù)學研究所,上海200234)
[摘要]探討牛頓—萊布尼茲公式和泰勒公式對含參數(shù)函數(shù)的拓展形式,并用來研究含參數(shù)函數(shù)的零點的個數(shù)和微分方程周期解的個數(shù)的判定問題.
[關(guān)鍵詞]牛頓—萊布尼茲公式; 泰勒公式; 周期解
1基本定理
眾所周知,牛頓-萊布尼茲公式是說,如果F∶[a,b]→R具有連續(xù)導數(shù),則成立
這一公式被譽為微積分學基本定理[1].如果設(shè)x=a+t(b-a),則上式成為
(1.1)
現(xiàn)在我們對高階可微函數(shù)應(yīng)用(1.1).設(shè)U為x=0的一鄰域,一元函數(shù)F在U上有直到r階的連續(xù)導數(shù),r≥1,記為F∈Cr(U).利用公式(1.1),可將函數(shù)F寫為
F(x)=F(0)+xF0(x),
(1.2)
其中
引理1.1設(shè)U為x=0的鄰域,F(xiàn)∈Cr(U),r≥1,則(1.2)成立,其中
F0∈Cr-1(U),F0(0)=F′(0).
現(xiàn)設(shè)m為一自然數(shù),m≥0,并設(shè)F∈Cm+1(U),則由帶積分形式余項的泰勒公式可知
其中
(1.3)
于是,證明了下述引理.
引理1.2設(shè)U為x=0的鄰域,F(xiàn)∈Cm+1(U),m≥0,則有
且
現(xiàn)在,把上述兩個引理的結(jié)論拓展到多元函數(shù).設(shè)有多元函數(shù)F(x,y),x∈U,y∈D,U為x=0的鄰域,D?n,n≥1.如果F∈Cr(U×D),則F對應(yīng)用引理1.1可得
F(x,y)=F(0,y)+xF0(x,y),
(1.4)
其中
與引理1.1類似,利用含參量積分的可微性知F0∈Cr-1(U×D).事實上,這里需要先建立含向量參數(shù)的積分之可微性定理,然后再多次利用這一定理得到這一結(jié)論.于是,證得下述定理.
定理1.1設(shè)F∈Cr(U×D),其中U為x=0的鄰域,D?n,n≥1,則(1.4)成立,其中
同理,利用引理1.2以及含參量積分的連續(xù)性定理知成立下述定理.
定理1.2設(shè)F∈Cm+1(U×D),U為x=0的鄰域,D?n,n≥1,m≥0,則有
且
2含參數(shù)函數(shù)根的個數(shù)
定理2.1設(shè)存在自然數(shù)m≥0,使F∈Cm+1(U×D),那么成立
(i) 如果
則存在ε0∈(0,ε),使當|λ-λ0|<ε0時,F(xiàn)關(guān)于x在區(qū)間(-ε0,ε0)上至多有m+1個根.
(ii) 如果進一步設(shè)
其中
則對任意δ∈(0,ε0),都存在λ滿足|λ-λ0|<ε0,使函數(shù)F(x,λ)關(guān)于x在區(qū)間(-δ,δ)內(nèi)出現(xiàn)m+1個根,且均為單根. 此外,這m+1個根可以全部是正根.
證在研究平面系統(tǒng)Hopf分支中極限環(huán)的個數(shù)問題時需要用到上述兩個結(jié)論(卻并沒有將它們專門寫成定理的形式),見[3,4]. 但以往都是對C∞函數(shù)來論述的(因為所討論的平面系統(tǒng)都假定是C∞光滑的),上述結(jié)論則不要求C∞光滑,這一點與以往不同.而對C∞光滑的情況,結(jié)論(i)可用反證法和羅爾定理來證,對結(jié)論(ii),先用一次隱函數(shù)定理,然后有兩種證法,一是逐次改變系數(shù)的符號使函數(shù)值不斷變號,每變號一次就出現(xiàn)一個根,二是引入合適的參變量尺度變換,而后利用多項式和連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),一下子獲得m+1個根. 這里我們提供一種新的證法,即用數(shù)學歸納法來證明.
再證結(jié)論(ii).利用定理1.2可知成立
(2.1)
且
由隱函數(shù)定理知道,結(jié)論(ii)中的條件意味著式(2.1)中的系數(shù)aj可取為自由參數(shù). 因此,現(xiàn)設(shè)這m+1個系數(shù)均為自由參數(shù),并用歸納法來完成證明. 當m=0時,式(2.1)成為
且
不妨設(shè)它為正.則存在x0>0,使當a0=0時F(x0,λ)>0,當|x|≤|x0|時
從而當0<-a0?1時
F(x0,λ)>0,F(0,λ)=a0<0.
即F有一個正的單根.
設(shè)已證結(jié)論對m=k-1成立,現(xiàn)設(shè)m=k,此時由(2.1)知
作為一個簡單應(yīng)用,由上述定理可知,C3函數(shù)
F(x,λ)=λ1+λ2x+λ3cosx+sinx+x10/3,
對λ0=(0,-1,0)附近的某些λ=(λ1,λ2,λ3)恰有3個正根.
3一維周期系統(tǒng)周期解的分支
本節(jié)利用定理1.1與定理2.1討論一維周期系統(tǒng)周期解的個數(shù)和分支. 首先引入幾個基本概念(詳見[4]). 考慮一維微分系統(tǒng)
(3.1)
引理3.1設(shè)存在1≤k≤r使當|x|充分小時T周期系統(tǒng)(3.1)中的f滿足
則
從而零解x=0為(3.1)的k重周期解.
證由于解x(t,x0)關(guān)于初值x0是Cr,故對充分小的|x0|,它可寫成
其中x1(0)=1,xj(0)=0,j≥1. 將上式代入(3.1)中,利用所設(shè)條件,易求得
由此即知結(jié)論成立.
下面給出方程(3.1)存在周期解族的條件.
引理 3.2如果T周期系統(tǒng)(3.1)中的f滿足
f(-t,x)=-f(t,x),
(3.2)
則其任一有界解都是周期解. 特別,如果(3.2)成立,且存在正數(shù)M>0使對一切(t,x)都有
|f(t,x)|≤M(1+|x|),
(3.3)
則(3.1)的一切解都是周期解.
x(T/2,x0)=x(-T/2,x0).
由解的唯一性又知x(t+T,x0)=x(t,x(T,x0)),因此又有
x(T/2,x0)=x(-T/2,x(T,x0)),
從而成立
x(-T/2,x0)=x(-T/2,x(T,x0)),
于是必有x0=x(T,x0)=P(x0) (因為對任意t,x(t,x0)關(guān)于x0都是嚴格增加的,例見[4].)從而,這個解是周期的. 引理的后半部分利用常微分方程比較定理即得,因為任一周期線性方程的解都是有界的.
現(xiàn)考慮系統(tǒng)(3.1)的T周期擾動系統(tǒng)
(3.4)
其中f與f1關(guān)于t都是T周期的,都是Cr函數(shù),且f1(t,x,0)=0. 系統(tǒng)(3.4)的Poincaré映射記為P(x0,λ),令
F(x0,λ)=P(x0,λ)-x0,
稱函數(shù)F為(3.3)的后繼函數(shù)或分支函數(shù). 顯然,分支函數(shù)關(guān)于x0的根與(3.4)的周期解是一一對應(yīng)的,此外,由微分方程解對初值與參數(shù)的光滑性定理知,映射P與函數(shù)F都是Cr的.可證
定理3.1設(shè)存在1≤k≤r使得x=0是(3.1)的k重周期解,則存在ε>0,使得對一切|λ|<ε方程(3.4)在區(qū)域|x|<ε至多有k個周期解.
證由假設(shè)知
由此,利用定理2.1的結(jié)論(i)即得證明.
在具體應(yīng)用中,可以利用定理2.1的結(jié)論(ii)證明,Ck系統(tǒng)的k重周期解在適當?shù)腃k擾動下能夠產(chǎn)生k個周期解,這里不再給出.
值得注意的是,定理3.1對系統(tǒng)的光滑性的要求已經(jīng)降到最低. 為說明這一點,取k=r=1,利用隱函數(shù)定理易見,C1系統(tǒng)的單重周期解在C1擾動下只產(chǎn)生一個周期解.然而,如果擾動不是C1的,這一結(jié)論就不成立了. 例如
在x=0的任意小鄰域內(nèi)都可以出現(xiàn)3個周期解.
下面考慮周期解族的擾動.考慮T周期擾動系統(tǒng)
(3.5)
其中f與f1關(guān)于t都是T周期的,都是Cr函數(shù),且f滿足(3.2)與(3.3).系統(tǒng)(3.5)的Poincaré映射記為P(x0,ε,λ),后繼函數(shù)為
F(x0,ε,λ)=P(x0,ε,λ)-x0.
由引理3.2知,F(x0,0,λ)=0,由微分方程解對初值與參數(shù)的光滑依賴性定理知函數(shù)F關(guān)于(x0,ε,λ)為Cr的,故由定理1.1知
定理3.2設(shè)Cr方程(3.5)滿足(3.2)與(3.3),r≥1,則
上述定理之結(jié)論好像是很顯然的,但如果不利用定理1.1就難以給出其成立的理由.對平面系統(tǒng)閉軌族的擾動分支,可給出類似的結(jié)果,此地不再詳論.
我們來考慮一類較具體的方程,即
(3.6)
其中aj(t)為Ck+1類2π周期函數(shù),j=0,1,…,k,f0(t,x)為關(guān)于t為2π周期的Ck+1類函數(shù). 記b=(b0,…,bk-1),設(shè)x(t,x0,ε,b)為(3.6)的以x0為初值的解,則易知
x(t,x0,ε,b)=1-cost+x0+εx1(t,x0,b)+O(ε2),
其中
經(jīng)整理,易知成立
其中
……
φk-1=bk-1ak-1(t)+kbkak(t)[1-cost],
φk=bkak(t).
現(xiàn)在假設(shè)
(3.7)
則有λk≠0,以及
則由上述討論,利用定理3.2和定理2.1可知在條件(3.7)下,存在向量b∈Rk使當ε充分小時方程(3.6)恰有k個2π周期解.
[參考文獻]
[1]華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析(上冊)[M]. 4版.北京: 高等教育出版社,2010.
[2]華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析(下冊)[M]. 4版.北京: 高等教育出版社,2010.
[3]Han M. Bifurcation Theory of Limit Cycles [M]. Beijing: Science Press,2013.
[4]趙愛民,李美麗,韓茂安. 微分方程基本理論[M].北京:科學出版社,2013.
Extensions and Applications of
Newton-Leibniz’s figure and Taylor’s figure
HANMao-an
(The Institute of Mathematics, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)
Abstract:We provide some extensions of Newton-Leibniz’s figure and Taylor’s figure to smooth functions with multiple variables. Then we present some interesting applications of these extensions to bifurcations of periodic solutions of differential equations.
Key words:Newton-Leibniz’s figure; Taylor’s figure; periodic solution
[中圖分類號]O172
[文獻標識碼]A
[文章編號]1672-1454(2015)05-0006-06
[收稿日期]2015-06-19