李勁松

南京商業(yè)學(xué)校

一道排列問(wèn)題的方法探究

李勁松

南京商業(yè)學(xué)校

數(shù)學(xué)中的排列、組合問(wèn)題跟實(shí)際生活聯(lián)系緊密,致使學(xué)生對(duì)這一部分有更高的興趣,但是題型多樣，思路靈活，邏輯思維要求比較高,所以不易掌握。其中，排列問(wèn)題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,應(yīng)用廣泛,涉及知識(shí)面廣,由于條件復(fù)雜多樣,其解題方法較為靈活多變,是培養(yǎng)學(xué)生教學(xué)思想方法和發(fā)展學(xué)生抽象思維能力的好題材。

排列；反思；元素；探究

學(xué)生平時(shí)在解排列組合問(wèn)題時(shí)，多是碰到相同元素的分配問(wèn)題或者不同元素的分配排列問(wèn)題。對(duì)既有相同元素又有不同元素的排列問(wèn)題，分析起來(lái)，就感覺繁瑣，不知從何下手。曾經(jīng)一個(gè)學(xué)生來(lái)詢問(wèn)我一道不同顏色旗幟排列的問(wèn)題，引發(fā)我的思考，如何解決并總結(jié)這一類問(wèn)題呢。旗幟有相同顏色也有不同顏色，把相同的元素和不同的元素混雜在一起，如何排列呢。

題目：有紅、黃、藍(lán)、白旗子各3面，每次任取4面排成一排，共有多少種不同的排法？

方法一：

解：按照每次選取的顏色不同來(lái)排列

2）三個(gè)顏色中選出一個(gè)作為取兩面同色的旗幟，比如紅、紅:

4）因?yàn)橛袃蓚€(gè)旗幟同色，故有重復(fù)，需除以2

2）這個(gè)兩個(gè)顏色的旗幟的可能排列情況如下：

撫順干餾工藝產(chǎn)生的氣態(tài)產(chǎn)物經(jīng)冷凝回收系統(tǒng)凈化分離后，其中的油、水蒸汽生成了頁(yè)巖油和干餾污水，氣體部分則生成干餾瓦斯。干餾瓦斯按用途可分成三部分：一部分送蓄熱式加熱爐加熱至500～750 ℃，攜帶大量顯熱回到干餾爐，作為油頁(yè)巖干餾的循環(huán)熱載體；一部分作為蓄熱式加熱爐的燃料氣用于加熱循環(huán)熱載體；剩余部分則供燃?xì)忮仩t、電站等作燃料氣使用，最終得到蒸汽、電及熱能。

4、一種顏色:不存在

所以，排法一共有：24+144+84=252種。

方法二：

解：因?yàn)椴皇强紤]多少種選法，而是多少種不同的顏色組合，即排法，故如下：

1、每次從四種顏色旗幟中選一個(gè)出來(lái)排，每次有四種選擇，即：4×4×4×4

2、因?yàn)槊糠N顏色的旗幟數(shù)目有限，所以，全一色的排法不存在，要減去。一共要減去4種情況。

所以，排法一共有：4×4×4×4-4=252種

引申：此類排法，如果各色旗子足夠4面，或者都大于5面。都可以直接排列為4×4×4×4=256種。

但對(duì)于旗幟少于三面的，就不得不用逐一分析的方法了，所以解法一也是很有必要加以理解的。

對(duì)此題的不同解法分析，也促進(jìn)了提問(wèn)學(xué)生的進(jìn)一步反思，在此基礎(chǔ)上，我也對(duì)他進(jìn)一步引導(dǎo)。解題后反思是一種良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)方法，在學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中，每個(gè)教師都應(yīng)著力去培養(yǎng)。反思不同的解法，促進(jìn)解題策略的逐步優(yōu)化；反思解題結(jié)論，也加強(qiáng)了對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的深化研究。學(xué)生與我進(jìn)一步引申探討了下一題的做法。

例題二：有紅、黃各兩面，藍(lán)、白各三面，每次任取4面排成一排，共有多少種不同的排法？

解：按照每次選取的顏色不同來(lái)排列

3、二種顏色：因?yàn)椴煌伾鞄脭?shù)量不均衡，所以不先確定兩個(gè)顏色，直接進(jìn)入具體選排。

2）1+3型的：：×○○○，三色的只能從藍(lán)白里面選，故有種排法

4、一種顏色：不存在。

所以，排法一共有：24+144+36+24=228種。

這一題與例題1的差別在于二種顏色的“1+3型”，差額有24種。

[1]袁守義.題不在多，反思則行[J].數(shù)學(xué)通訊，2014年1月下半月，第679期:44-47.

[2]王瑞華.淺談排列組合教學(xué)中數(shù)學(xué)思維方法的培養(yǎng).中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2010（4）.