郭家維

貴州省興義市第八中學

冪函數(shù)圖象性質研究兩步曲

郭家維

貴州省興義市第八中學

研究冪函數(shù)，由定義域可知，所有冪函數(shù)在(0,+∞)上都有意義，所以研究冪函數(shù)的第一個關鍵問題是研究冪函數(shù)第一象限的圖象及其性質。部分冪函數(shù)在(-∞，0)上無意義，研究它在第一象限的圖像及性質及可了解此類冪函數(shù)，部分冪函數(shù)在(-∞，0)有意義且此類冪函數(shù)具有較強的對稱性，結合第一象限的圖象及性質和奇偶性即可知此類冪函數(shù)在(-∞，0)上的函數(shù)圖象及性質，所以冪函數(shù)研究的第二關鍵為通過對冪函數(shù)的奇偶性的探究。本文通過對冪函數(shù)在第一象限的圖象及其性質和冪函數(shù)的奇偶性的分析從而了解冪函數(shù)，在教學中有助于學生理解冪函數(shù)。

冪函數(shù)；奇偶性；第一象限；圖象

冪函數(shù)，即是形如y=x?的函數(shù)，其中x為自變量，?為常數(shù)。研究函數(shù)首先考慮定義域優(yōu)先，下面就對冪函數(shù)的定義域進行分類，令（p，q互質）。

一、第一曲——冪函數(shù)的第一象限的圖像及性質

由上面的分析可以看出，所有冪函數(shù)在x∈(0,+∞)上都是有意義的。要研究所有冪函數(shù)的性質，就先選取x∈(0,+∞)進行討論。

在對指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的性質的研究當中，都是通過圖象來對性質進行總結，在冪函數(shù)的學習中，也通過觀察圖象來對性質進行總結。當所有冪函數(shù)的定義域為(0，+∞)時，值域也為(0，+∞)，可以看出，當x＞0時，冪函數(shù)的圖象均在第一象限，那就先討論冪函數(shù)在第一象限的性質。

第一，冪函數(shù)過定點（1,1），即是當x=1時，函數(shù)值y=1，與?的取值無關。

第二，當?＞0，冪函數(shù)在(0，+∞)上為增函數(shù)，當?＜0時，冪函數(shù)在上為減函數(shù)。證明如下：令那么由于x2＞x1，即是，又因為?＞0，則即f(x2)＞f（x1），所以當?＞0時，冪函數(shù)在(0，+∞)上為增函數(shù)，同理可以證明當?＜0時，冪函數(shù)在(0，+∞)上位減函數(shù)。

第三，當?＞1時，函數(shù)的圖象是類似于向上拋物線的右半支，即是圖象上凹，當0＜?＜1時，函數(shù)的圖象類似于向右拋物線的上半支，即是圖象上凸。可以用二階導數(shù)來對其進行證明。

第四，當?＜0時，有當x→+∞時，y→0，即是冪函數(shù)圖象向右趨近于x軸，當y→+∞時，x→0,即是冪函數(shù)的圖象向上趨近于y軸。

第五，當x∈(0,1)時，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越小，當x＞1時，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越大。

第六，f(x)在x∈(0,+∞)無最值，即無最大值，也無最小值。

二、第二曲——冪函數(shù)奇偶性探究

有了函數(shù)的奇偶性，再結合冪函數(shù)第一象限的圖象及其性質，我們可以得到x∈()-∞,0冪函數(shù)的圖象及其性質。

①冪函數(shù)還過一個定點（-1,1），冪函數(shù)的象限分布為第一、第二象限；

②當?＞0，冪函數(shù)在(-∞，0)上為減函數(shù)，當?＜0時，冪函數(shù)在(-∞，0)上為增函數(shù)；

③當?＞1時，函數(shù)的圖象在()-∞，0類似于向上拋物線的左半支，即是圖象下凹，當0＜?＜1時，函數(shù)的圖象類似于向左拋物線的上半支，即是圖象下凸。證明可以根據(jù)二次導數(shù)證明；

④當?＜0時，有當x→-∞時，y→0，即是冪函數(shù)圖象向左趨近于x軸，當y→+∞時，x→0,即是冪函數(shù)的圖象向上趨近于y軸；

⑤當x∈(-1,0)時，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越小，當x＜-1時，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越大；

⑥f(x)在x∈(-∞,0)無最值。

①冪函數(shù)還過一個定點（-1,-1），冪函數(shù)的象限分布為第一、第三象限；

②當?＞0，冪函數(shù)在(-∞，0)上為增函數(shù)，當?＜0時，冪函數(shù)在(-∞，0)上為減函數(shù)；

③當?＞1時，函數(shù)的圖象在(-∞，0)類似于向下拋物線的左半支，即是圖象上凸，當0＜?＜1時，函數(shù)的圖象類似于向左拋物線的下半支，即是圖象上凹；

④當?＜0時，有當x→-∞時，y→0，即是冪函數(shù)圖象向左趨近于x軸，當y→+∞時，x→0,即是冪函數(shù)的圖象向下趨近于y軸；

⑤當x∈(-1,0)時，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越大，當x＜-1時，隨著?的值增大，冪函數(shù)f(x)的值越?。?/p>

⑥f(x)在x∈(-∞,0)無最值。

結語

綜上，可以看出，只要有了冪函數(shù)在第一象限的圖象及性質，、就可以同過函數(shù)的奇偶性來研究冪函數(shù)在其他象限的圖象及其性質。所以這兩點是研究冪函數(shù)的關鍵。

[1]普通高中課程標準實驗教科書A版數(shù)學一（必修）p27-p79

[2]普通高中課程標準實驗教科書A版數(shù)學一（選修）p97-p107