盧國勝

(中國人民解放軍駐七二四廠軍事代表室,沈陽 110045)

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炮彈多維密集度指標與命中概率的關系研究

盧國勝

(中國人民解放軍駐七二四廠軍事代表室,沈陽 110045)

摘要:應用概率論正態(tài)分布函數(shù)N維分布理論，對炮彈密集度指標和實戰(zhàn)中炮彈對目標作用效果的關系進行了研究。通過對密集度計算理論的梳理與指導，在一維、二維密集度計算模型的基礎上，通過對三維正態(tài)積分計算的研究，創(chuàng)新并提出球概率誤差計算模型，建立了炮彈多維密集度指標與命中概率的關系，完善了更接近實戰(zhàn)要求的密集度指標體系。研究結果可指導各類炮彈在密集度指標方面的論證、設計、考核和使用。

關鍵詞:炮彈;密集度指標;命中概率;球概率誤差;關系研究

以同一門火炮按相同的諸元和操作條件射擊同樣的炮彈,由于各發(fā)炮彈在射擊過程中各影響因素的差異,彈丸落點的散布不可避免,彈丸落點散布是彈藥、火炮、射擊操作和外界條件各種因素變化綜合影響的結果。彈丸落在一定區(qū)域內的概率是計算炮彈作用效率的基礎。目前我國在規(guī)定戰(zhàn)術技術指標和驗收指標時給出的基本都是中間誤差,其指標值在炮兵射擊時有實際意義。下面從概率論分析入手,研究密集度指標計算方法與命中概率的關系。

1炮彈密集度的隨機分布

炮彈落點散布屬于隨機誤差,炮彈射擊后的落點散布符合正態(tài)分布。

正態(tài)分布的密度函數(shù)為

(1)

正態(tài)分布函數(shù)為

(2)

2密集度的二維正態(tài)分布

設X=(x1x2…xp),Y=(y1y2…yp)為隨機向量,則有二維聯(lián)合密度函數(shù):

(3)

當X、Y相互獨立時,且服從N(ui,σi)分布,則其聯(lián)合密度函數(shù)為

(4)

其邊緣密度函數(shù)分別為

(5)

(6)

式(5)和式(6)也就是相應一維隨機變量的密度函數(shù),則有相互獨立的二維正態(tài)分布的聯(lián)合分布函數(shù):

(7)

3彈著點的三維正態(tài)分布

設U=(U1U2…Uq)T為隨機向量,U1,U2,…,Uq相互獨立且服從N(ui,σi)分布;設u為p維常數(shù)向量,A為p×q常數(shù)矩陣,則稱X=AU+u的分布為p維正態(tài)分布,記為X~Np(u,AAT),其密度函數(shù)為[2-3]

u=(u1,u2,…,uq)T

(8)

式中:Σ=(σij)p×q為對稱正定矩陣。

炸點密集度散布一般服從正態(tài)分布,并在各個方向上互不相關?？捎蒼維分布規(guī)律進行以下推導[1,4]。

相互獨立的三維正態(tài)分布的邊際密度為

(9)

式中:σt為各維的散布方差,ut為各維的散布中心,xt為各維的落點變量,t分別代表x,y,z。

相互獨立的三維正態(tài)分布的聯(lián)合密度為

(10)

則有相互獨立的三維正態(tài)分布的聯(lián)合分布函數(shù)為

F(a1

(11)

4炮彈密集度單指標中間誤差

對于正態(tài)分布隨機變量來說,隨機變量X的標準差σ表達了X取值與其數(shù)學期望的偏離程度,因此,標準差σ值可作為隨機變量X取值分散程度的評定尺度。在炮兵技術中一直沿用中間誤差作為炮彈落點的散布特征。其物理意義是以分布中心Xu為中點,作一個2E寬度的區(qū)間(u-E,u+E)為統(tǒng)計量界域,使50%的射彈落入該界域中,如圖1所示。此區(qū)間的大小E被稱為中間誤差,又稱區(qū)間(u-E,u+E)為半數(shù)必中區(qū)間。

圖1　射界示意圖

設隨機變量X~N(u,σ),利用標準正態(tài)變量的分布函數(shù)Φ,可以計算當X∈(a1,a2)的概率P。

(12)

(13)

故得:

(14)

根據(jù)中間誤差定義,則有:

(15)

式中:f(x)為正態(tài)分布密度函數(shù)。通過查標準正態(tài)分布表或解該方程,可得:

反查正態(tài)分布函數(shù)表得到:

E50=0.674 5σ

(16)

實驗數(shù)據(jù)無偏中間誤差計算式:

(17)

上述計算反映出密集度散布指標計算用中間誤差公式時,當射擊彈道與預定彈道一致時,其落入單指標E50的2倍值區(qū)域的命中率是50%。表1是命中概率對應的系數(shù)。

表1　區(qū)間命中概率對應的散布半值系數(shù)

當以分布中心u與標準偏差σ為參量時,正態(tài)分布量X∈(a1,a2)的概率為

(18)

當以分布中心u與中間誤差E50為參量時,正態(tài)分布量X落入?yún)^(qū)間(a1,a2)內的概率為

(19)

5密集度圓概率誤差

對目標以二維密集度要求時,其命中區(qū)域的概率可以通過二維聯(lián)合分布計算。

由式(7),二維正態(tài)分布的概率分布由其聯(lián)合分布函數(shù)確定:

(20)

相互獨立的二維正態(tài)分布量落入矩形區(qū)域的概率為

(21)

圓概率誤差:若獨立的二維正態(tài)隨機變量(X,Y)為圓散布,則當(X,Y)落在以分布中心(a,b)為中心的圓內的概率為1/2時,稱此圓域為半數(shù)必中圓。圓的半徑為圓中間誤差,記為ER50。

如圖2所示,散布中心為(a,b),圓半徑為R,則積分可轉化為極坐標形式。

圖2　圓形散布區(qū)域

(22)

對式(7)進行坐標系轉換,由雅可比替換可得:

F(a1

F(X∈a+Rcosθ,Y∈b+Rsinθ)=

F(0

替代W,令概率等于1/2,則:

(23)

計算式(23),得圓中間散布ER50為

ER50=1.177 4σ=1.745 6E50

(24)

式中:E50為X與Y的公共中間誤差。

對于獨立的二維正態(tài)隨機變量(X,Y),當Ex≈Ey時,可近似地認為橢圓散布的(X,Y)也服從圓散布,在面積相等的意義下把(X,Y)的半數(shù)必中橢圓等效為半數(shù)必中圓,則有:

πE2=πExEy

所以，

因而:

(25)

表2　圓命中概率對應的散布半徑系數(shù)

6密集度球概率誤差

三維正態(tài)分布的概率分布由其聯(lián)合分布函數(shù)確定:

(26)

可以推出,相互獨立的三維正態(tài)分布量落入立方體區(qū)域內的概率為

(27)

球中間誤差:若獨立的三維正態(tài)隨機變量(X,Y,Z)為球散布,則當(X,Y,Z)落在以分布中心(a,b,c)為中心的圓球內的概率為1/2時,稱此球域為半數(shù)必中圓球。球的半徑為球中間誤差,記為EDR50。

(28)

式(28)描述的是散布中心為(a,b,c),半徑為R時球的極坐標轉換式,則三重球積分可轉化為極坐標系形式。對式(11)進行坐標系轉換,由雅可比替換可得:

F(a1

F(X∈a+Rsinθcosφ,Y∈b+Rsinθsinφ,Z∈c+Rcosθ)=

F(0

(29)

(30)

當分布概率等于1/2時,W=1.183 0,計算球中間誤差散布EDR50:

EDR50=1.538 2σ=2.280 5E50

(31)

或者把(X,Y,Z)的半數(shù)必中橢球在體積相等的意義下等效為半數(shù)必中圓球,則有:

πE3=πExEyEz

所以,

得到:

(32)

表3　球命中概率對應的散布半徑系數(shù)

7結束語

炮彈密集度指標是以命中概率需求給出的,在一維、二維、三維不同指標體系中計算方法有所不同。當以1/2命中概率要求給出密集度指標時,一維指標是標準偏差的0.674 5倍,稱中間誤差E50;二維指標是標準偏差的1.177 4倍,稱圓中間誤差ER50;三維指標是標準偏差的1.538 2倍,稱球中間誤差EDR50。也可以在不同命中率要求下,給出不同倍數(shù)關系的密集度指標值,可參見表1~表3。

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Research on Relationship Between Multidimensional Dispersion

Index of Projectile and Hitting Probability

LU Guo-sheng

(The PLA Military Representative Office Stationed in the No.724 Factory,Shenyang 110045,China)

Abstract:The relationship between the projectile dispersion index and projectile-to-target action in the actual battle was researched by applying N-dimensional distribution theory of normal dispersion function of probability theory. The theory of dispersion calculation was deduced based on the calculation model of one-dimension and two-dimension dispersion.The calculation model of spherical error probability was proposed by researching normal distribution of three-dimension dispersion.The relationship between the multidimensional dispersion index of projectile and hitting probability was built,and the dispersion index system approaching to the requirements of actual battle was consummated.This research can instruct the demonstration,designing,checking and using of various projectiles on dispersion index.

Key words:projectile;dispersion index;hitting probability;spherical error probability;relationship research

中圖分類號:TJ410.1

文獻標識碼:A

文章編號:1004-499X(2015)04-0059-05

作者簡介:盧國勝(1958- ),男,高級工程師,研究方向為炮彈產(chǎn)品質量監(jiān)督和驗收方法。E-mail:947200245@qq.com。

收稿日期:2015-06-15