張寬橋,楊鎖昌,王　剛

(軍械工程學院 導彈工程系,石家莊 050003)

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帶落角約束的有限時間收斂末制導律研究

張寬橋,楊鎖昌,王剛

(軍械工程學院 導彈工程系,石家莊 050003)

摘要:針對導彈末制導過程中的終端落角約束的問題,基于滑模控制和有限時間控制理論,設(shè)計了一種有限時間收斂末制導律。利用終端滑?？刂浦谢Ｃ嫔系母櫿`差能夠有限時間收斂到0的特點,選取終端滑模面,引入落角約束項,采用有限時間穩(wěn)定性理論對導引律的有限時間收斂特性進行了證明,并給出了收斂時間的數(shù)學表達式。將該末制導律與其他2種帶落角約束的導引律進行了對比仿真。結(jié)果表明,利用該制導律,制導武器能以更高的命中精度和更小的落角偏差命中目標。

關(guān)鍵詞:末制導律;落角約束;有限時間收斂;終端滑?？刂?/p>

對于很多精確制導武器(如反坦克導彈、反艦導彈等)而言,單純的提高命中精度已經(jīng)不能滿足現(xiàn)代化戰(zhàn)爭的需要。這些制導武器在精確命中目標的同時,還需要以一定的落角擊中目標,進而更大地發(fā)揮出戰(zhàn)斗部的毀傷效能。因此,對這些制導武器的導引律進行設(shè)計時,必須考慮落角約束問題。

目前,國內(nèi)外許多學者針對不同的應用背景,基于不同的理論方法提出了多種帶落角約束的導引律,如最優(yōu)導引律[2-3]、改進的比例導引律[4-5]、幾何曲線導引律[6-7]、變結(jié)構(gòu)導引律[8-10]等。基于最優(yōu)控制理論推導出的最優(yōu)導引律,是迄今研究最廣泛的一類,它可以根據(jù)不同性能指標設(shè)計出不同形式的導引律,在理想情況下具有最佳的制導性能,但是它依賴于各種假設(shè)和簡化,魯棒性較差;改進的比例導引律結(jié)構(gòu)形式簡單,對測距、測速等信息要求不高,易于工程實現(xiàn),但其對導引信息的準確性要求較高,抗干擾能力差;幾何曲線導引律無需測距信息,但依賴于各種假設(shè)和簡化,制導精度不高。

由于變結(jié)構(gòu)在滑動模態(tài)對干擾等具有不變性,且其控制算法較為簡單,因此,滑模變結(jié)構(gòu)控制也被廣泛應用于導引律的設(shè)計中。通過在滑模面引入落角約束項,可以推導出具有落角約束的變結(jié)構(gòu)導引律。文獻基于變結(jié)構(gòu)控制理論,提出了一種帶落角約束的變結(jié)構(gòu)制導律,并對彈目和距離變化率進行了估計。文獻基于滑?？刂扑惴?通過對視線角進行整形，設(shè)計了一種滿足攻擊時間和角度約束的制導律,但制導律形式較為復雜,需要大量的迭代運算,實時性差。上述變結(jié)構(gòu)導引律均利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明當時間趨于無窮時,制導系統(tǒng)狀態(tài)趨近于0,能實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的有限時間收斂。文獻[10]設(shè)計了一種有限時間收斂的制導律,保證了制導系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到0。文獻[11]選用終端滑模面取代傳統(tǒng)的線性滑模面,設(shè)計了一種帶落角約束的終端滑?？刂颇┲茖?能夠使期望落角在有限時間內(nèi)達到,對外界干擾就有很強的魯棒性。文獻[12]對終端滑?？刂婆c傳統(tǒng)滑模控制方法進行了深入分析和研究,驗證了終端滑模控制方法在收斂特性上的優(yōu)越性。

本文基于終端滑?？刂评碚?采用自適應冪次趨近律結(jié)合非奇異終端滑模面設(shè)計了一種帶落角約束的末制導律,同時利用有限時間控制理論對其有限時間收斂特性進行了分析,并求解了收斂時間,給出了具體的數(shù)學表達形式。針對滑?？刂乒逃械亩墩駟栴},采用飽和函數(shù)法和變開關(guān)系數(shù)法相結(jié)合的方法對抖振進行了有效的削弱。

1預備知識

考慮如下非線性系統(tǒng):

(1)

式中:X∈Rn,f:U0×R→Rn在U0×R上連續(xù),而U0是原點X=0的一個開鄰域。

基于有限時間控制理論,有如下引理。

對上式進行積分求解可得:

V1-λ(X)≤V1-λ(X0)-c(1-λ)t?0≤t≤TX(X0)

考慮到,當t≥TX(X0)時,V(X)=0,可以得到系統(tǒng)的有限收斂時間為

證明完畢。

2彈目相對運動模型

在進行導引律的設(shè)計前,需要建立彈目相對運動模型。首先,假設(shè)導彈和目標的運動為質(zhì)點運動。然后,在慣性坐標系Oxy中,建立導彈和目標在縱向平面內(nèi)的相對運動關(guān)系,如圖1所示。圖中,M為導彈,T為目標;vm為導彈的速度,θm為導彈的彈道傾角;vt為目標的速度,θt為目標的航跡傾角;r為彈目之間相對距離,q為彈目視線角,規(guī)定所有角度逆時針方向為正,反之為負。

圖1　彈目相對運動關(guān)系

彈目相對運動方程為

(2)

求導得:

并且:

式中:amr,amq分別為導彈加速度在彈目視線方向上和在垂直于彈目視線方向上的分量；atr,atq分別為目標加速度在彈目視線方向上和在垂直于彈目視線方向上的分量。

結(jié)合式(2),可得:

由上式可得彈目相對運動方程為

(3)

結(jié)合式(3)可得制導系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(4)

3有限時間收斂末制導律

3.1末制導律的設(shè)計

首先,選取終端滑模面切換函數(shù)為

(5)

式中:k>0,0<η<1。上式切換函數(shù)第1項趨近于0,能夠滿足命中目標的要求,第2項趨近于0,即q→qd滿足落角約束的要求。在制導的初始階段,彈目相對距離r(t)較大,切換函數(shù)的第1項起主要作用,導引導彈飛向目標,在制導的末段,r(t)逐漸趨近于0,第2項起主要作用,控制導彈以期望的落角命中目標。

選取自適應冪次趨近律:

(6)

式中:ε>0,0<α<1。

可以得到:

由于在制導過程中r(t)>0,α>0,則:

從而能夠滿足滑模到達條件,即系統(tǒng)狀態(tài)能夠到達滑模面。

由式(5)可得:

將式(4)和式(6)代入其中,得:

整理后,可得制導律的形式:

ε|s|αsgn(s)]

(7)

3.2有限時間收斂特性分析

對于末制導律(7),有如下結(jié)論。

證明對于系統(tǒng)(4)，其運動狀態(tài)可分為2個階段:

①滑模到達階段,系統(tǒng)狀態(tài)從初始狀態(tài)向滑模面運動,到達滑模面的過程。

②沿滑模面運動階段,系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后,沿著滑模面繼續(xù)運動,最后到達平衡點的過程。

(8)

由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知,制導系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的,即t→∞時,s→0。

對于式(8),變換后可得:

由引理1得,系統(tǒng)狀態(tài)收斂到滑模面的時間滿足:

(9)

即系統(tǒng)狀態(tài)從初始狀態(tài)出發(fā),在T1時間內(nèi)運動至滑模面上。

對沿滑模面運動階段進行分析,此時系統(tǒng)狀態(tài)滿足:

(10)

由Lyapunov穩(wěn)定性理論可知,系統(tǒng)(10)是漸進穩(wěn)定的,即t→∞時,x1→0。由于x1=q(t)-qd,則:

表明彈目視線角最終能夠收斂到期望落角,所設(shè)計導引律理論上能夠滿足落角約束要求。

(11)

綜合以上分析可知,制導系統(tǒng)是有限時間收斂的,且彈目視線角收斂到期望落角。制導系統(tǒng)收斂時間可以由如下數(shù)學形式估計:

證明完畢。

由式(9)可以看出,系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面的時間與ε成反比,即ε越大,則時間越短;由式(11)可以看出,系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后,收斂到平衡點(原點)的時間與k和(1-η)成反比。因此,可以通過調(diào)節(jié)參數(shù)ε、k和η對系統(tǒng)收斂速度和時間進行控制。

有限時間收斂的制導律(7)是一種滑模變結(jié)構(gòu)制導律,具有很好的快速收斂特性和魯棒性,實現(xiàn)了有限時間穩(wěn)定,并且具有很好的抗干擾能力。但是變結(jié)構(gòu)控制的強魯棒性是以控制量的高頻抖振換來的,抖振現(xiàn)象是變結(jié)構(gòu)控制固有的,它不僅降低了制導系統(tǒng)的控制精度,還會破壞系統(tǒng)性能,最終導致脫靶量的增大,因此,需要對抖振進行削弱[14]。常用的方法有飽和函數(shù)法、變開關(guān)系數(shù)法、雙曲線函數(shù)法等,這里將飽和函數(shù)法和變開關(guān)系數(shù)法進行結(jié)合,實現(xiàn)對抖振的削弱。首先,用一個飽和函數(shù)sat(s)代替符號函數(shù)sgn(s),飽和函數(shù)的具體形式為

式中:δ>0是一個微小量,一般稱為邊界層,也稱為消顫因子[15]。

其次,采用變開關(guān)系數(shù)法對開關(guān)項系數(shù)ε的形式進行改進,使ε的值隨著r的減小而逐漸變小,從而達到減少到滑模面的時間以及控制抖振幅度的目的。為使制導律的形式簡便,選取r的一次函數(shù)對ε的形式進行改進,即:

ε=ar+b

式中:a>0,b>0,其具體取值與ε的上下限有關(guān)。當r接近于0時,根據(jù)ε的下限可確定b的值,在末制導初始階段,根據(jù)ε的上限和r的值確定a的值。

4仿真分析

為了對比分析所設(shè)計制導律的制導效果,全面考察制導律 的性能,在仿真實例中還引入了文獻提出的帶落角約束的偏置比例導引律(BPNG)和文獻提出的帶落角約束的變結(jié)構(gòu)導引律(VSG),并進行了對比仿真。2種導引律的表達形式分別為

式中:K為比例系數(shù),tgo為剩余飛行時間,k1、k2、k3為制導參數(shù),且均大于0。VSG選取的滑模面函數(shù)為s1=k1x2+(k2vmx1/r)。

下面將根據(jù)目標不同的運動狀態(tài),分為2個場景進行仿真分析。

1)場景1——打擊固定目標。

仿真實驗結(jié)果如表1和圖2~圖5所示。表1中,Δ為脫靶量,qf為終端落角,tf為制導時間。

表1　場景1仿真實驗結(jié)果

圖2　場景1彈道曲線

圖3　場景1彈道傾角曲線

圖4　場景1視線角曲線

圖5　場景1彈目視線角速率曲線

2)場景2——打擊運動目標。

目標以-10m/s的初始速度和-1m/s2的加速度沿x軸方向加速運動。

仿真實驗結(jié)果如表2和圖6~圖9所示。

表2　場景2仿真實驗結(jié)果

圖6　場景2彈道曲線

圖8　場景2視線角曲線

圖9　場景2視線角速率曲線

通過分析表1和表2可以看出,在2種仿真場景下,BPNG的脫靶量最大,VSG次之,FTCG最小。在落角控制方面,打擊固定目標時,3種制導律都表現(xiàn)出了良好的效果,基本都能達到期望落角,FTCG更為接近期望落角;在打擊機動目標時,FTCG能夠達到期望的落角,BPNG和VSG則有2°左右的偏差。因此,在落角控制方面,本文所提的導引律要優(yōu)于其他2種制導律,并且在制導時間上,FTCG所用時間也最短。

從圖2和圖6可以看出,3種制導律的彈道都比較平滑,且都是通過增加彈道的弧度來實現(xiàn)增大落角的目的,由于FTCG的彈道相對較低,路徑較短,進而使得其制導時間相對較短。從圖3~圖5和圖7~圖9可以看出,由于FTCG的有限時間收斂特性,無論是固定機動目標還是機動目標,FTCG都能較快地達到期望落角,尤其在打擊固定目標時,能夠在命中目標前彈道傾角和彈目視線角都收斂到期望落角,并且彈目視線角速率也收斂到0,使得導彈在末端有一段近乎直線飛行的軌跡，可大大提高導彈在制導末端的飛行穩(wěn)定性。

由圖5和圖9可以看出,FTCG的視線角速率在制導末端能夠有效地收斂到0,使得導彈在末段能夠以平行接近法飛向目標,能夠有效減小末端導彈的過載,增強魯棒性;VSG和BPN在制導末端彈目視線角速率沒有收斂到0,并且由于落角還沒有收斂到期望值,導致視線角變化較大,使得視線角速率在末端變化較為劇烈;同時,FTCG采用飽和函數(shù)法和變開關(guān)系數(shù)法對抖振進行了有效的削弱,使得其在末端沒有出現(xiàn)抖振現(xiàn)象,但VSG沒有很好地對抖振進行削弱,因而彈目視線角速率在末端出現(xiàn)了明顯的高頻抖振。

綜上所述,仿真實驗驗證了本文所提帶落角約束的有限時間收斂末制導律在提高導彈命中精度和控制落角方面的有效性,對比仿真結(jié)果表明,無論打擊固定目標還是運動目標,該制導律都具有更好的制導性能和魯棒性。

5結(jié)束語

本文對導彈末制導中的落角約束問題進行了研究,基于滑模控制和有限時間控制理論,提出了一種帶落角約束的有限時間收斂末制導律,對其穩(wěn)定性和有限時間收斂特性進行分析,并對抖振現(xiàn)象進行了有效抑制。通過對比仿真實驗,驗證了所提制導律的有效性和優(yōu)越性。本文所設(shè)計的制導律結(jié)構(gòu)形式較為簡單,且具有較強的魯棒性,易于工程實踐,具有很好的工程應用價值。但由于制導參數(shù)對導引律的性能影響較大,如何選取最佳的制導參數(shù)將是下一步研究的重點問題。

參考文獻

蔡洪,胡正東,曹淵.具有終端角度約束的導引律綜述.宇航學報,2010,31(2):315-323.

CAI Hong,HU Zheng-dong,CAO Yuan.A survey of guidance law with terminal impact angle constraints.Journal of Astronautics,2010,31(2):315-323.(in Chinese)

JEON I S,LEE J I.Optimality of proportional navigation based on nonlinear formulation.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2010,46(4):2 051-2 055.

TAUB I,SHIMA T.Intercept angle missile guidance under time varying acceleration bounds.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2013,36(1):83-96.

LEE C H,KIM T H,TAHK M J.Interception angle control guidance using proportional navigation with error feedback.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2013,36(1):1-6.

高峰,唐勝景,師嬌,等.一種基于落角約束的偏置比例制導律.北京理工大學學報,2014,34(3):277-282.

GAO Feng,TANG Sheng-jing,SHI Jiao,et al.A bias proportional navigation guidance law based on terminal impact angle constraint.Transactions of Beijing Institute of Technology,2014,34(3):277-282.(in Chinese)

MANCHESTER I R,SAVKIN A V.Circular navigation guidance law for precision missile/target engagements.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2006,29(2):314-320.

胡錫精,黃雪梅.具有碰撞角約束的三維圓軌跡制導律.航空學報,2012,33(3):508-519.

HU Xi-jing,HUANG Xue-mei.Three-dimensional circular guidance law with impact angle constraints.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2012,33(3):508-519.(in Chinese)

吳鵬,楊明.帶終端攻擊角度約束的變結(jié)構(gòu)制導律.固體火箭技術(shù),2008,31(2):116-120.

WU Peng,YANG Ming.Variable structure guidance law with terminal attack angle constraint.Journal of Solid Rocket Technology,2008,31(2):116-120.(in Chinese)

HARL N,BALAKRISHNAN S N.Impact time and angle guidance with sliding mode control.IEEE Transactions on Control Systems Technology,2012,20(6):1 436-1 449.

[10] ZHOU D,SUN S,TEO K L.Guidance law with finite time convergence.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2009,32(6):1 838-1 846.

[11] KUMAR S R,RAO S,GHOSE D.Nonsingular terminal sliding mode guidance with impact angle constraints.Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2014 37(4):1 114-1 130.

[12] 穆朝絮,余星火,孫長銀.非奇異終端滑?？刂葡到y(tǒng)相軌跡和暫態(tài)分析.自動化學報,2013,39(6):902-908.

MU Chao-xu,YU Xing-huo,SUN Chang-yin.Phase trajectory and transient analysis for nonsingular terminal sliding mode control systems.Acta Automatica Sinica,2013,39(6):902-908.(in Chinese)

[13] HONG Y G.Finite-time stabilization and stabilizability of a class of controllable systems.Systems & Control Letters,2002,46(4):231-236.

[14] LEVANT A.Chattering analysis.IEEE Transactions on Automatic Control,2010,55(6):1 380-1 389.

[15] 佘文學,周軍,周鳳岐.一種考慮自動駕駛儀動態(tài)特性的自適應變結(jié)構(gòu)制導律.宇航學報,2003,24(3):245-249.

SHE Wen-xue,ZHOU Jun,ZHOU Feng-qi.An adaptive variable structure guidance law considering missile’s dynamics of autopilot.Journal of Astronautics,2003,24(3):245-249.(in Chinese)

ResearchofFinite-timeConvergenceTerminalGuidanceLaw

WithImpactAngleConstraint

ZHANGKuan-qiao,YANGSuo-chang,WANGGang

(DepartmentofMissileEngineering,OrdnanceEngineeringCollege,Shijiazhuang050003,China)

Abstract:Aiming at the requirements of the terminal impact-angle constraint during the terminal guidance phase of missile,a finite-time convergence terminal guidance law was designed based on the advanced theories of sliding mode control and finite-time control.Considering the specialty that the tracking error on the sliding surface can converge to zero in finite time by using the terminal sliding mode control,the terminal sliding mode surface was selected as the impact angle constraint.The finite-time stabilization-theory was used to analyze the guidance law and prove the finite time convergence feature of the guidance system,and the mathematics expression of the convergence time was given.This proposed guidance-law was compared with another two guidance laws with impact angle constraint.The result shows that the guided missile can hit the target with higher hit-accuracy and less impact-angle error by the proposed guidance.

Key words:terminal guidance law;impact angle constraint;finite-time convergence;terminal sliding mode control

中圖分類號:TJ765.2

文獻標識碼:A

文章編號:1004-499X(2015)04-0030-07

作者簡介:張寬橋(1992- ),男,碩士研究生,研究方向為精確制導理論與技術(shù)。E-mail:zkuanqiao@163.com。

收稿日期:2015-06-25