明　超,孫瑞勝,白宏陽

(南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,南京 210094)

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吸氣式超聲速導(dǎo)彈爬升段軌跡在線規(guī)劃與跟蹤設(shè)計(jì)

明超,孫瑞勝,白宏陽

(南京理工大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院,南京 210094)

摘要:為解決吸氣式超聲速導(dǎo)彈如何最優(yōu)地爬升到巡航狀態(tài)的問題,提出了一種吸氣式超聲速導(dǎo)彈的爬升軌跡在線規(guī)劃與跟蹤控制設(shè)計(jì)方法。將爬升段彈道分解為2個(gè)相切的圓弧,利用數(shù)學(xué)幾何方法,推導(dǎo)了兩相切圓的相關(guān)參數(shù)及代數(shù)方程,建立了爬升段的參考軌跡,并通過動(dòng)虛擬目標(biāo)追蹤法設(shè)計(jì)了參考軌跡的跟蹤制導(dǎo)律,從而實(shí)現(xiàn)了基于兩圓相切理論的爬升段軌跡在線規(guī)劃與跟蹤控制,最后以典型工況為例,進(jìn)行了數(shù)字仿真驗(yàn)證,并與hp自適應(yīng)偽譜法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。仿真結(jié)果表明,參考軌跡與優(yōu)化結(jié)果差別不大,能夠準(zhǔn)確跟蹤參考軌跡,同時(shí)算法簡(jiǎn)單,便于工程實(shí)現(xiàn)。研究成果可為吸氣式超聲速導(dǎo)彈爬升段軌跡設(shè)計(jì)提供參考。

關(guān)鍵詞:吸氣式超聲速導(dǎo)彈;爬升段軌跡;相切圓;動(dòng)虛擬目標(biāo);在線規(guī)劃與跟蹤

吸氣式超聲速導(dǎo)彈以比沖高、推阻比大的吸氣式?jīng)_壓發(fā)動(dòng)機(jī)作為其動(dòng)力裝置,具有突防能力強(qiáng)、射程遠(yuǎn)、機(jī)動(dòng)靈活等優(yōu)勢(shì)[1-4]。為充分發(fā)揮沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)高空巡航的性能優(yōu)勢(shì),爬升段彈道設(shè)計(jì)需要解決如何最優(yōu)地從沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)開機(jī)點(diǎn)爬升到巡航狀態(tài),而且爬升段需要加速和爬高,對(duì)全彈道的性能影響較大,因此,對(duì)吸氣式超聲速導(dǎo)彈的爬升段彈道進(jìn)行合理地設(shè)計(jì)具有重要的理論研究意義和工程應(yīng)用價(jià)值。

近年來,以吸氣式發(fā)動(dòng)機(jī)為動(dòng)力的飛行器以其高性能的優(yōu)勢(shì)而備受關(guān)注[6-11]。尚騰、王華[6-7]等對(duì)以沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)為動(dòng)力導(dǎo)彈的爬升段彈道的參考軌跡進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),但并未考慮爬升段軌跡的跟蹤控制。李海軍等針對(duì)再入機(jī)動(dòng)飛行器,提出一種基于優(yōu)化方法和軌跡線性化控制相結(jié)合的最優(yōu)制導(dǎo)與控制方案,但其參考軌跡的生成算法復(fù)雜,不便于在線實(shí)時(shí)計(jì)算。呂翔等通過建立吸氣式組合動(dòng)力飛行器的馬赫數(shù)-動(dòng)壓參考曲線,利用二分法迭代攻角跟蹤參考軌跡,但采用迭代方法獲取參考軌跡的設(shè)計(jì)過程較為繁瑣。Olds[10]等提出了迎角的優(yōu)化模型,以實(shí)現(xiàn)等動(dòng)壓爬升,但優(yōu)化模型的設(shè)計(jì)參數(shù)較多,且只能通過優(yōu)化方法確定,不能在線實(shí)時(shí)提供爬升制導(dǎo)指令;閆曉東[11]等在此基礎(chǔ)上,提出了一種基于高度-速度曲線的等動(dòng)壓爬升方法,但不滿足最優(yōu)性條件。綜上,目前爬升段軌跡設(shè)計(jì)方法研究的不足之處主要集中在參考軌跡和制導(dǎo)指令在線實(shí)時(shí)計(jì)算不能保證,以及設(shè)計(jì)過程較為繁瑣。

為此,本文以吸氣式超聲速導(dǎo)彈為研究對(duì)象,基于兩圓相切理論和動(dòng)虛擬目標(biāo)導(dǎo)引方法,提出一種爬升段在線軌跡在線規(guī)劃與跟蹤控制方法,利用數(shù)學(xué)幾何方法,推導(dǎo)了兩相切圓的相關(guān)參數(shù)及代數(shù)方程,在線快速生成爬升段的參考軌跡,并通過動(dòng)虛擬目標(biāo)導(dǎo)引方法對(duì)參考軌跡進(jìn)行實(shí)時(shí)跟蹤制導(dǎo),為吸氣式超聲速導(dǎo)彈爬升段軌跡工程設(shè)計(jì)提供參考。

1爬升段軌跡分析

1.1動(dòng)力學(xué)模型

采用球體模型,忽略地球自轉(zhuǎn)和地球曲率的影響,假設(shè)系統(tǒng)始終處于瞬時(shí)平衡狀態(tài),則吸氣式超聲速導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)模型可簡(jiǎn)化為[12]

(1)

式中:v,θ和L分別為導(dǎo)彈的飛行速度、彈道傾角和射程;r為地心距;H為高度,Re為地球半徑;g為重力加速度;阻力Fx=qSrefCx,升力Fy=qSrefCy,由動(dòng)壓q和氣動(dòng)特性決定;Sref為參考面積;mc為發(fā)動(dòng)機(jī)的燃料質(zhì)量流量。

發(fā)動(dòng)機(jī)推力Fp可由式(2)計(jì)算[13]:

Fp=Isp(H,Ma,α)mc

(2)

式中:Ma為飛行馬赫數(shù),Isp(H,Ma,α)為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖,以表格的形式給出。

1.2爬升段軌跡形式

從原理和經(jīng)驗(yàn)分析可知,爬升段的彈道AB的中間會(huì)出現(xiàn)彈道傾角的拐點(diǎn)C,使得彈道傾角先從0°增加到拐點(diǎn)值,再逐漸減小到達(dá)巡航狀態(tài)[14],如圖1所示。

在圖1中,起始點(diǎn)A(L0,H0)的狀態(tài):H0為起始高度,發(fā)射后助推段時(shí)間很短,不失一般性彈道傾角初值θ0=0°。終點(diǎn)B(LT,HT)的約束條件:HT為期望的巡航高度,彈道傾角θT因巡航平飛近似取為0°。

圖1　爬升段軌跡形式

2軌跡在線規(guī)劃設(shè)計(jì)

2.1問題描述

圖2　爬升段軌跡輔助曲線圖

2.2拐點(diǎn)信息

爬升段彈道AB的中間會(huì)出現(xiàn)彈道傾角的拐點(diǎn)C,當(dāng)軌跡在線規(guī)劃時(shí),需確定拐點(diǎn)C的坐標(biāo)C(LC,HC)及對(duì)應(yīng)的彈道傾角θC。

由圖2的幾何關(guān)系,有:

(3)

(4)

聯(lián)立式(3)、式(4),可求解出線段AE和線段BF的表達(dá)式為

(5)

根據(jù)G、C和D三點(diǎn)的幾何關(guān)系,有:

GD=GC+CD=HT-H0

(6)

聯(lián)立式(3)~式(6),得到:

(7)

將式(7)進(jìn)行簡(jiǎn)化,并結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系式,有:

(8)

求解方程組(8),即可求解出切點(diǎn)C處的彈道傾角θC,其表達(dá)式為

(9)

由式(9)可以看出,切點(diǎn)C處的彈道傾角θC為確定值,其大小只取決于導(dǎo)彈爬升段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置信息。

不失一般性,簡(jiǎn)化取爬升段軌跡的中點(diǎn)[14]作為C點(diǎn)進(jìn)行研究。

切點(diǎn)C點(diǎn)的橫坐標(biāo)LC為

(10)

切點(diǎn)C處的縱坐標(biāo)HC為

(11)

2.3爬升段參考軌跡

根據(jù)圓O1中的角度關(guān)系,可知:

(12)

在ΔAO1E中,利用直角三角形理論,可確定圓O1的半徑R1為

(13)

圓心O1的坐標(biāo)O1(LO1,HO1)為

LO1=L0,HO1=H0+R1

(14)

進(jìn)而得到圓O1的代數(shù)方程為

(15)

同理,可推導(dǎo)出圓O2的半徑R2和圓心坐標(biāo)O2(LO2,HO2)表達(dá)式為

(16)

LO2=LT,HO2=HT-R2

(17)

圓O2的代數(shù)方程為

(18)

3軌跡跟蹤設(shè)計(jì)

本文采用動(dòng)虛擬目標(biāo)導(dǎo)引方法實(shí)現(xiàn)對(duì)爬升段參考軌跡的跟蹤制導(dǎo)。令虛擬目標(biāo)點(diǎn)沿著設(shè)計(jì)的參考軌跡飛行,假定其速度與導(dǎo)彈一致,每一時(shí)刻的位置較導(dǎo)彈超前,導(dǎo)彈采用比例導(dǎo)引法跟蹤動(dòng)虛擬目標(biāo),從而通過動(dòng)虛擬目標(biāo)的引導(dǎo)作用實(shí)現(xiàn)對(duì)參考軌跡的跟蹤。

3.1動(dòng)虛擬目標(biāo)點(diǎn)位置

吸氣式超聲速導(dǎo)彈爬升段起始點(diǎn)的信息A(L0,H0,S0),S0為飛行路程的初始值,導(dǎo)彈的當(dāng)前點(diǎn)M(L,H,S),S為導(dǎo)彈的飛行路程,動(dòng)虛擬目標(biāo)點(diǎn)位置較導(dǎo)彈每一時(shí)刻位置超前,超前量記為ΔS,則虛擬目標(biāo)點(diǎn)P(LP,HP,SP)的飛行路程SP為

SP=S+ΔS

(19)

SAP=SP-S0

(20)

根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式,可得到圓心角∠AO1P為

(21)

進(jìn)而得到:

(22)

由直角三角形邊角關(guān)系,有:

AP=2O1AsinθP=2R1sinθP

(23)

根據(jù)兩點(diǎn)間距離計(jì)算公式,可得:

(24)

聯(lián)立式(23)和式(24),有:

(LP-L0)2+(HP-H0)2=(2R1sinθP)2

(25)

虛擬目標(biāo)點(diǎn)P(LP,HP)在圓O1上,從而滿足方程:

(26)

(27)

SPB=SAC+SCB+S0-SP

(28)

對(duì)應(yīng)的圓心角∠BO2P為

(29)

進(jìn)而有:

(30)

由幾何關(guān)系,可得:

BP=2O2BsinθP=2R2sinθP

(31)

根據(jù)兩點(diǎn)間距離計(jì)算公式有:

(32)

聯(lián)立式(31)和式(32),有:

(LP-LT)2+(HP-HT)2=(2R2sinθP)2

(33)

虛擬目標(biāo)點(diǎn)P(LP,HP)在圓O2上,因此滿足:

(34)

(35)

3.2制導(dǎo)指令

吸氣式超聲速導(dǎo)彈采用比例導(dǎo)引法跟蹤動(dòng)虛擬目標(biāo),從而通過動(dòng)虛擬目標(biāo)的引導(dǎo)作用實(shí)現(xiàn)對(duì)參考軌跡的跟蹤,比例導(dǎo)引律的基本形式[15]為

(36)

視線角速度為

式中:Kq為比例導(dǎo)引系數(shù),RL=L-LP, RH=H-HP,L和H分別為導(dǎo)彈的位置分量,vL和vH分別為導(dǎo)彈的速度分量。

導(dǎo)彈的制導(dǎo)過載指令為

(37)

根據(jù)導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)方程,過載可表示為[15]

(38)

(39)

聯(lián)立以上各式,可得到爬升段的飛行攻角制導(dǎo)指令為

(40)

4優(yōu)化仿真與結(jié)果分析

以某吸氣式超聲速導(dǎo)彈為例,對(duì)爬升段軌跡在線規(guī)劃與跟蹤算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。為了驗(yàn)證文中方法的合理性,分別采用以下2種方案對(duì)爬升段軌跡進(jìn)行對(duì)比仿真分析。

方案1:采用hp自適應(yīng)偽譜法[16-18]對(duì)爬升段軌跡進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),優(yōu)化設(shè)計(jì)變量為飛行攻角α和燃料質(zhì)量流量mc,選取燃料最省[19],即油耗mu最小作為優(yōu)化的性能指標(biāo)。

方案2:采用前文提出的爬升段在線規(guī)劃與跟蹤算法進(jìn)行設(shè)計(jì),沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的燃料質(zhì)量流量采用方案1的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行調(diào)節(jié)。

4.1參數(shù)設(shè)置

吸氣式超聲速導(dǎo)彈爬升段優(yōu)化設(shè)計(jì)的狀態(tài)變量的初始條件設(shè)定為:Ma0=2.9,θ0=0°,L0=0,H0=15 km,m0=500 kg;飛行軌跡終端的設(shè)計(jì)約束條件為:Maf=3.0,θf=0°,Lf=45 km,Hf=20 km,其中,軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的約束條件設(shè)定為:0.2 kg/s≤mc≤1.2 kg/s,-2°≤α≤12°,虛擬目標(biāo)導(dǎo)引法中的比例導(dǎo)引系數(shù)為Kq=2,超前量為ΔS=4 km。

4.2仿真結(jié)果分析

采用4.1節(jié)中的仿真參數(shù),分別對(duì)2種方案下的吸氣式超聲速導(dǎo)彈爬升軌跡進(jìn)行仿真,表1給出了2種方案下的爬升段彈道性能數(shù)據(jù),對(duì)比仿真結(jié)果如圖3~圖8所示。

表1　彈道性能對(duì)比數(shù)據(jù)

圖3　彈道曲線

圖4　彈道傾角變化曲線

圖5　馬赫數(shù)變化曲線

圖6　攻角變化曲線

圖7　燃料質(zhì)量流量變化曲線

圖8　推力變化曲線

仿真結(jié)果表明:2種方案下的爬升段軌跡設(shè)計(jì)均滿足設(shè)計(jì)要求。從表1可以看出,2種方案下的油耗約為18.5 kg,相差不大。圖3為吸氣式超聲速導(dǎo)彈爬升段軌跡的對(duì)比曲線,實(shí)線表示采用優(yōu)化方法設(shè)計(jì)的爬升軌跡,虛線表示在線規(guī)劃的參考軌跡,點(diǎn)線表示實(shí)際的跟蹤曲線。由各仿真曲線可以看出,在線規(guī)劃的爬升段軌跡與優(yōu)化設(shè)計(jì)的軌跡差別不大,表明在線規(guī)劃算法的正確性與最優(yōu)性。在第3節(jié)制導(dǎo)指令求解過程中對(duì)升力系數(shù)進(jìn)行了多項(xiàng)式擬合,存在模型的不確定性。從仿真結(jié)果可以看出,在存在模型誤差的情況下,動(dòng)虛擬目標(biāo)追蹤法仍能具有良好的制導(dǎo)效果,可實(shí)現(xiàn)對(duì)參考軌跡的準(zhǔn)確跟蹤,表明了動(dòng)虛擬目標(biāo)制導(dǎo)算法的正確性。

5結(jié)束語

①針對(duì)吸氣式超聲速導(dǎo)彈爬升段軌跡設(shè)計(jì)問題,提出了一種兩圓相切理論的爬升段軌跡在線規(guī)劃方法,該算法設(shè)計(jì)過程簡(jiǎn)單,只需輸入起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo),便于工程實(shí)現(xiàn)。

②提出了爬升段參考軌跡跟蹤的動(dòng)虛擬目標(biāo)追蹤法,在存在模型誤差的情況下,該算法具有良好的抑制作用,可實(shí)現(xiàn)對(duì)參考軌跡的準(zhǔn)確跟蹤。

③通過與hp自適應(yīng)偽譜法的爬升段軌跡對(duì)比仿真,以最小油耗為性能指標(biāo),2種方案下的最小油耗約為18.5 kg,仿真結(jié)果表明該在線規(guī)劃與跟蹤算法的最優(yōu)性和合理性。

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Design of Online Planning and Tacking Ascent Trajectory

for Air-breathing Supersonic Missile

MING Chao,SUN Rui-sheng,BAI Hong-yang

(School of Energy and Power Engineering,NUST,Nanjing 210094,China)

Abstract:To make the air-breathing supersonic missile(ASM)optimally climb to cruising state,an online planning and tracking method for ASM was proposed.The cruising phase was divided into two tangent circular-arcs.The relative parameters and algebraic equations of the two tangent circular arcs were derived by the geometric method.The reference trajectory was built,and a type of trajectory tracking guidance law was put forward by pursuing a virtual moving target.The online planning and tracking control of the ascent trajectory were implemented based on the theory of tangent circles.Taking some typical cases for instance,the verification was carried out by numerical simulation.By comparing with hp-adaptive pseudo-spectral method,the simulation results show that there is a bit difference between reference trajectory and optimal trajectory,and the reference trajectory can be tracked accurately.The proposed method can be applied to the engineering practice of the ascent trajectory design of ASM,and the research offers reference for the ascent trajectory design of ASM.

Key words:air-breathing supersonic missile;ascent trajectory;tangent circles;virtual moving target;online planning and tracking

中圖分類號(hào):TJ765;V412

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1004-499X(2015)04-0012-07

通訊作者:孫瑞勝(1978- ),男,副教授,博士,研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)。E-mail:srscom@163.com。

作者簡(jiǎn)介:明超(1989- ),男,博士研究生,研究方向?yàn)轱w行器軌跡優(yōu)化與制導(dǎo)控制。E-mail:nust802mc@126.com。

基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11176012);江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃工程(KYLX15-0394)

收稿日期:2015-07-30