江榮芬

求二面角的平面角是立體幾何學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)，也是高考的熱點(diǎn)之一.解題時(shí)可以先求兩個平面的法向量所成的角，由于一個平面的法向量不唯一，長度不等且有兩個方向，二面角的平面角范圍是O≤θ≤π.二面角的大小與其兩個面的法向量所成的角是“相等”還是“互補(bǔ)”成為難點(diǎn)和關(guān)鍵，本文擬給出一個簡單的判斷方法.

先來分析一下二面角與兩法向量nl，n2所成角的關(guān)系，以便突破上述難點(diǎn)：

已知二面角a-ι-β，在二面角內(nèi)任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PA⊥a，PB⊥β，垂足分別為A，B，則ι⊥上平面PAB，設(shè)ι∩平面PAB于點(diǎn)0，連結(jié)OA，OB，則OA上⊥ι，OB⊥ι，記∠AOB=θ，所以θ為二面角a-ι-β的平面角.平面a的一個法向量n1，平面β的一個法向量為n2，將這兩法向量的起點(diǎn)均移至點(diǎn)P，當(dāng)兩法向量同時(shí)指向平面或者同時(shí)遠(yuǎn)離平面（如圖1，圖2），則二面角的平面角θ與兩法向量n1，n2所成的角互補(bǔ)，即θ=π-，概括為“同向互補(bǔ)”；

將這兩法向量的起點(diǎn)均移至點(diǎn)P，當(dāng)兩法向量一個指向平面，另一個遠(yuǎn)離平面（如圖3，圖4），則二面角的平面角θ與兩法向量nl，n 2所成的角相等，即θ=，概括為“異向相同”.

理清了概念，我們再來看兩道例題：

例1 （2014全國卷）如圖5，三棱柱ABC-A1BlC1中，側(cè)面BBlC1C為菱形，AB⊥B1C.

（1）證明：AC=AB1；

（2）若AC上AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值，

解析 （1）略.（2）因?yàn)锳C⊥AB1，O為B1C的中點(diǎn)，所以AO=CO.又因?yàn)锳B=BC，所以△BOA≌△BOC，所以O(shè)A⊥OB，

點(diǎn)評 二面角的平面角求法：第一步分別求出兩個平面的法向量；第二步計(jì)算這兩法向量所成的角的余弦值；第三步借助具體的圖形判斷二面角的平面角與兩法向量所成的角是相等還是互補(bǔ)關(guān)系，然后得出結(jié)論，這一步始終困擾著大家.先將向量n1=（1，√3，√3）起點(diǎn)放在坐標(biāo)系原點(diǎn)O，觀察向量nl的方向，再將其起點(diǎn)移至二面角A-A1Bl-C1內(nèi)的任意一點(diǎn)，判斷得向量n1指向平面AB1A1，按同樣的方法判斷得向量n2遠(yuǎn)離平面A1B1C1，故二面角A-A1Bl-Cl的平面角與兩法向量n1，n2所成的角相等.

例2 （2014重慶卷改編）如圖7，四棱錐P-ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=π/3，M為BC上一點(diǎn)、，且BM=1/2，MP⊥AP.

（1）求PO的長；

（2）求二面角A-PM -C的余弦值.

解析 連結(jié)AC，BD，OM，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是以O(shè)為中心的菱形，則AC∩BD=O，且AC⊥BD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為正交基底，建立如圖7所示的空間直

點(diǎn)評 將向量起點(diǎn)放在坐標(biāo)系原點(diǎn)O（原點(diǎn)O也為二面角A-PM-C內(nèi)的一點(diǎn)）觀察向量n1的方向，判斷得向量nl指向平面AMP，按同樣的方法判斷得向量n2也指向平面PMC，故二面角A-PM-C的平面角與兩法向量n1，n2所成的角互補(bǔ).