陸賢彬+丁江濤

導(dǎo)數(shù)作為工具，其功能十分強(qiáng)大，可以研究函數(shù)的單調(diào)性、可以研究函數(shù)的極值（或最值），還可以研究在某種條件下不等式（恒）成立的問(wèn)題等.用導(dǎo)數(shù)處理這些問(wèn)題，思路明確、方法簡(jiǎn)單、易于掌握，并且能凸顯問(wèn)題之間的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化以及相互貫通的辯證關(guān)系.下面我們就以“簡(jiǎn)”的視角來(lái)理解一下作為工具的導(dǎo)數(shù).

1.導(dǎo)數(shù)是用相對(duì)簡(jiǎn)單的雨數(shù)研究復(fù)雜的雨數(shù)

我們看下面幾個(gè)導(dǎo)數(shù)：

若f（x）=c（c是常數(shù)），則f'（x）=0；

若f（x）=ax+b，（a，b是常數(shù)且a≠O），則f'（x）=a；

若f（x）=ax?+bx+c，（a，b，c是常數(shù)且a≠0），則f'（x）=2ax+b；

若f（x）=ax?+bx?+cx+d，（a，b，c，d是常數(shù)且a≠0），則f'（x）=3ax?+2bx+c；

可見(jiàn)，導(dǎo)數(shù)可以將研究“常數(shù)”轉(zhuǎn)化成研究“0”；研究“一次函數(shù)”轉(zhuǎn)化成研究“常數(shù)”；研究“二次函數(shù)”轉(zhuǎn)化成研究“一次函數(shù)”；研究“三次函數(shù)”轉(zhuǎn)化成研究“二次函數(shù)”等等……也就是說(shuō)通過(guò)研究低一次的函數(shù)來(lái)研究高一次的函數(shù)，這自然簡(jiǎn)單了.

我們?cè)倏聪旅鎺讉€(gè)導(dǎo)數(shù)：

若f（x）=1nx，則f'（x）=1/x；

若f（x）=x+1nx，則f'（x）=1+1/x；

若f（x）=logax，（a是常數(shù)且a>0，a≠1）則f'（x）=；

可見(jiàn)，導(dǎo)數(shù)可以將研究“對(duì)數(shù)”轉(zhuǎn)化成研究“分式”，當(dāng)然要簡(jiǎn)單些，我們還可以再列舉一些，同學(xué)們可以自己試試.

2.導(dǎo)數(shù)是用相對(duì)簡(jiǎn)單的方法替代復(fù)雜的方法

我們看一個(gè)例子：求函數(shù)f（x）=（x-2）?（x-1）的單調(diào)增區(qū)間.

方法一：不用導(dǎo)數(shù)處理，從函數(shù)單調(diào)性的定義人手.

設(shè)xl

因此可以分別在區(qū)間（-∞，4/3），（4/3，2），（2，+∞）上研究函數(shù)的單調(diào)性.

不再做下去了，下面還有點(diǎn)復(fù)雜，同學(xué)們自己可以做一下.這里不是介紹方法而是想說(shuō)明一下：用這一方法處理起來(lái)比較復(fù)雜.

方法二：用導(dǎo)數(shù)處理.

f'（x）=2（-2）（x-1）+（x-2）?=（x-2）（3x-4）.由f'（x）>O得函數(shù)f（x）一（x-2）?（x-1）單調(diào)增區(qū)間為（-∞，4/3），（2，+∞）.

比較一下，明顯地看出：方法2簡(jiǎn)單.

事實(shí)上，對(duì)于方法1，要比較任意兩個(gè)白變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小，而且白變量所在的區(qū)間還需要先確定，這本身也很難，對(duì)于方法2，只要先求出基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解一個(gè)關(guān)于x的二次不等式就行了.

3.導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性進(jìn)而解決一系列問(wèn)題

運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì)，其核心是研究函數(shù)的單調(diào)性.這是因?yàn)槿绻篮瘮?shù)的單調(diào)性，我們就可以畫出它的草圖，結(jié)合.可觀察函數(shù)的“極值”，進(jìn)而可求“最值”、“值域”，也可處理“函數(shù)的零點(diǎn)”、“不等式恒成立”等問(wèn)題，判斷函數(shù)的單調(diào)性是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)性質(zhì)的基石.問(wèn)題是如何才能做到既直觀、義準(zhǔn)確呢？

首先“以數(shù)定形”，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，我們可以用“關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式”來(lái)刻畫“函數(shù)的單調(diào)性”：若，則函數(shù)是增函數(shù)；則y=f（x），x∈A是減函數(shù).所以，研究函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵是判斷導(dǎo)函數(shù)y=f'（x），x∈A的函數(shù)值的符號(hào)，即判斷“f'（x）>o”或“、f'（x）<0”.對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，大多數(shù)同學(xué)會(huì)先求解方程f'（x）=0的根，然后再判斷何時(shí)為“正”、何時(shí)為“負(fù)”，這樣處理也未嘗不可，但由于沒(méi)有抓住問(wèn)題的關(guān)鍵——解不等式，有時(shí)容易犯錯(cuò)，我們可以嘗試“以形助數(shù)”.

以三次多項(xiàng)式函數(shù)為例，設(shè)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x） =ax?+bx+c（a≠0），試討論其單調(diào)性.

分析：對(duì)其中的a和△進(jìn)行討論，共分四種情況，我們分別作出其導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的草圖：見(jiàn)（圖1～圖4）.

結(jié)合這些.，所有三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性一目了然.這里強(qiáng)調(diào)的是：當(dāng)△>o時(shí)，宜將f'（x）因式分解，寫成兩根式：f'（x）=a（x-x1）（x-x2），這樣處理不僅可以快捷地作圖，而且能直觀地判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào).

仍以上面的題目為例，可以列一個(gè)表，解決一系列問(wèn)題.

求函數(shù)f（x）=（x-2）?（x-1）的單調(diào)增區(qū)間、單調(diào)減區(qū)間、極大值、極小值.

解 f'（x）=2（-2）（x-1）+（x-2）?= （x-2） （3x-4）.

列表：

故求函數(shù)f（x）=（x-2）?（x-1）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，4/3），（2，+∞），遞減區(qū)間是（4/3，2），極大值是4/27，極小值是o.當(dāng)然本題還可以在某個(gè)范圍內(nèi)求最值（如：x∈[0，2]時(shí)，求f（x）的值域）；或是在某種條件下不等式恒成立的問(wèn)題（如：當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，不等式（-2）?（x-1）≤a恒成立，求a的范圍）等等.

用導(dǎo)數(shù)可以解決一系列有聯(lián)系的問(wèn)題，函數(shù)中的很多問(wèn)題從而得到有效貫通，這為我們整體認(rèn)識(shí)函數(shù)提供了一個(gè)很好的平臺(tái).隨著學(xué)習(xí)的深入，我們會(huì)逐步感悟?qū)?shù)的功力，逐步感悟知識(shí)間的聯(lián)系與貫通，逐步感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)是求簡(jiǎn).