平板折疊桌的優(yōu)化設計模型*

李旭1， 王世朋2， 劉家保3

(1.合肥學院 數學與物理系，合肥 230601； 2.合肥市第七中學，合肥 230088； 3.安徽新華學院 公共課教學部，合肥 230088)

摘要：針對不同形狀和大小的折疊桌，通過對桌面周圍木條往下移動撐起桌面所發(fā)生的動態(tài)變化過程進行研究，得到相應模型和加工參數，并利用MATLAB軟件工具，模擬創(chuàng)意折疊桌的動態(tài)變化.

關鍵詞：MATLAB；折疊桌； 優(yōu)化設計；數學模型

doi:10.16055/j.issn.1672-058X.2015.0011.005

收稿日期：2015-04-25；修回日期：2015-05-27.

基金項目：*合肥學院自然科學研究項目(13KY04ZR)；國家級大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目(201312216030，201312216031，201312216032，201312216033).

作者簡介：李旭(1982-)，男，安徽六安人，講師，碩士，從事智能算法理論及應用研究.

中圖分類號：TP391文獻標志碼：A

某公司生產一種可折疊的桌子[1，2]，為了增大有效使用面積，以長方形木板的寬為直徑截取了一個圓形作為桌面，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板.桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動的自由度.使用者只需提起木板的兩側，便可以在重力的作用下達到自動升起的效果，相互交叉的木梁宛如下垂的桌布，桌子外形由直紋曲面構成，造型美觀.

1目標任務

問題1給定長方形平板尺寸為120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木條寬2.5 cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53 cm.建立模型分析折疊桌的加工參數.

問題2對于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設計要求，討論長方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設計加工參數，例如平板尺寸、鋼筋位置、開槽長度.

問題3根據任意設定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實可行的最優(yōu)設計加工參數，使得生產的折疊桌盡可能接近客戶期望的形狀.

2問題的分析與建模

2.1問題1分析與求解

如圖1所示，將桌面放在水平面上，以圓形桌面下表面圓的圓心為坐標原點，平行桌腿木條的方向為y軸，z軸垂直于桌面，建立空間直角坐標系[3，4].

圖 1　建立的空間直角坐標系

圖 2　折疊桌旋轉a角度后的狀態(tài)圖

圖 3　折疊桌旋轉狀態(tài)圖

在木板平鋪的情況下，用鋼筋軸EF與線段AC的距離減去相應的木條所對應的半弦長(Li)，求出平攤的情況下每根木條在桌面上的連接點到鋼筋軸的距離.在轉動到最大角度的情況之下，利用空間中兩點間的距離，求出每根木條在桌面的連接點到其在鋼筋軸上的連接點之間的距離.兩者之間相減，得出每根木條的開槽長度Di″ =Di-Di′，其中Di表示第i根木條分別與桌面圓和鋼筋軸交點之間的距離；Di′表示第i根木條在鋼筋軸上的交點與圓桌上的交點的距離.

利用以上模型，可得出每個木條端點的坐標表達式：

從而表示出桌腿成形后的桌腿邊緣線.

2.2問題2分析與求解

圖 4 折疊桌正視圖

圖 5　折疊桌正視圖

其中Ei為桌腿旋轉后第i根木條與桌面以及鋼筋軸交點之間的距離.

利用Matlab編程[7，8]得到曲線如圖6所示.從圖6可以看出當木條寬度為5 cm時，此時目標函數達到最優(yōu)，值為170.1 cm，同時運行程序可得x=40.918 cm，則木條的個數為16根.

圖 6　寬度與槽長的相關曲線

2.3問題3分析與求解

根據不同的桌面邊緣形狀，確定不同的桌面邊緣曲線，而根據桌面的寬度d以及高度h確定平板長度L，寬度M.

假設木條的數量為n，則每根木條的寬度N=M/n，第i個木條在圓桌表面的x軸標Gix可以根據木條的寬度求得，而第i個木條在圓桌表面的y軸坐標Giy則由桌面邊緣曲線方程決定.即

由問題1的模型可以得出

可得到桌腳邊緣的變化曲線，因為桌面邊緣上的點距離桌面中心軸的大小與桌面邊緣的形狀有關，所以桌腳邊緣形狀會隨著桌面邊緣的形狀變化而變化.

由問題2得出的結論可知，當4個支點形成的矩形與圓形外切的4個頂點在豎直方向重合時為最穩(wěn)定狀態(tài).則可知

利用問題1和問題2的思想得出對應的設計參數.

3模型推廣和優(yōu)缺點

對以上圓形桌面折疊桌的建模分析，可以推廣到一般標準桌面圖形來設計折疊桌.假設桌面一般圖形都是為正多邊形，每個多邊形都能做成圓的內切多邊形，即回歸到圓形桌面的情況下，也就可以以問題1和問題2建立的模型進行近似模型計算，設計出客戶需求的折疊桌，這樣可以設計更多新穎的桌面圖形，盡可能滿足客戶的要求.

所建立模型簡單易于推廣，但是對于折疊桌的受力分析討論較少，模型還有較大的改進空間，這些問題有待進一步解決.

參考文獻：

[1] 韓佳成.Robert Van Embricqs.平板折疊邊桌[J].設計，2012(8)：1-8

[2] 張煜.折疊椅設計中的理性靈韻[J].裝飾，2009(11)：118-119

[3] 呂林根，許子道.解析幾何[M].4版.北京：高等教育出版社，2006

[4] 黃廷祝.線性代數與空間解析幾何[M].2版.北京：高等教育出版社，2003

[5] 米爾斯切特(美).數學建模方法與分析[M].北京：機械工業(yè)出版社，2009

[6] 楊啟帆.數學建模[M].杭州：浙江大學出版社，2006

[7] 張志勇.MATLAB教程[M].北京：北京航空航天大學出版社，2010

[8] 薛山.MATLAB基礎教程[M].北京：清華大學出版社，2011

The Optimal Design of the Folding Table

LI Xu1， WANG Shi-peng2， LIU Jia-bao3

(1.Department of Mathematics and Physics，Hefei University，Hefei 23060，China;

2.Hefei NO.7 Senior High School，Hefei 230088，China ;

3.Department of Public Courses，Anhui Xinhua University，Hefei 230088，China)

Abstract：Focusing on different shapes and sizes of the folding table，studying the dynamic changes with the downward movement of batten surrounding the table surface，this paper gets the model and corresponding processing parameters and then uses the Matlab software to simulate the dynamic changes of the folding table.

Key words： Matlab；folding table；optimal design；mathematics model